定積分中極坐標(biāo)方程表示圖形的困惑

【摘要】用極坐標(biāo)系描述的曲線方程稱作極坐標(biāo)方程，通常表示r為θ的函數(shù)，這不同于直角坐標(biāo)系下的方程.由于同學(xué)們對極坐標(biāo)不熟悉，造成對于一些極坐標(biāo)方程表示的圖形很迷惑.這里由一個(gè)極易引起疏忽的例子來說明作出極坐標(biāo)方程的圖形時(shí)需要注意的幾個(gè)方面.

【關(guān)鍵詞】極坐標(biāo)；圖形

大部分剛剛邁出高中校門開始接觸高等數(shù)學(xué)的學(xué)生對極坐標(biāo)都不熟悉，而我們在學(xué)習(xí)定積分的過程中，計(jì)算由曲線圍成的面積和曲線的弧長時(shí)都需要作出曲線的圖形來輔助我們更直觀地解題.因此對于不熟悉極坐標(biāo)的學(xué)生來說這就是解題路上一個(gè)極大的障礙.

一般情況下，接觸過極坐標(biāo)系的學(xué)生只知道極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式為x=ρcosθ

y=ρsinθ①或ρ2=x2+y2

tanθ=y[]x（x≠0）②，通常他們也會(huì)利用公式把不熟悉的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再把圖形畫出來.但是這個(gè)方法不是萬能的，可能一個(gè)很簡單的極坐標(biāo)方程表示成直角坐標(biāo)方程會(huì)很麻煩，有時(shí)候甚至不能表示.例如：在學(xué)習(xí)定積分的幾何應(yīng)用時(shí)我們會(huì)要求計(jì)算曲線圍成的面積或曲線的弧長，而后面學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)時(shí)也需要知道曲線所表示的圖形.

一名學(xué)生提出一道困惑很久的問題：ρ=asin2θ，它叫四葉玫瑰線，說明它有四個(gè)花瓣，可是他怎么畫也只有兩個(gè)瓣.他是這樣做的：方程ρ=asin2θ兩邊同時(shí)乘以ρ2，得到ρ3=aρ2sin2θ，而sin2θ=2sinθcosθ，利用ρ=x2+y2和x=ρcosθ，y=ρsinθ，即得到直角坐標(biāo)系下的方程：x2+y232=2xy.觀察發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程左邊是非負(fù)的，因此右邊xy也應(yīng)是非負(fù)的，說明x和y必須同號，即方程所對應(yīng)的圖形只能在一、三象限和原點(diǎn)有圖像，這不是說明了四葉玫瑰線其實(shí)只有兩個(gè)花瓣嗎？

這樣的想法乍一看沒什么錯(cuò)誤，其實(shí)不然，兩步都出錯(cuò)的原因在于忽略了ρ的符號.第一步在極坐標(biāo)系下畫圖形的時(shí)候，當(dāng)θ從0變化到π2，ρ從0變化到a再變化到0，這個(gè)圖形拿到直角坐標(biāo)中確實(shí)是第一個(gè)花瓣，但是當(dāng)θ從π2變化到π時(shí)，ρ從0變化到-a再變化到0，就不是第三象限的花瓣了，出錯(cuò)的原因是首先這時(shí)他把極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)混為一體，把圖形放在第三象限，其次他不知當(dāng)ρ為負(fù)數(shù)時(shí)怎樣在極坐標(biāo)系下作出圖形.

為了解決問題，我們先來簡單介紹極坐標(biāo)系.在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn).引一條射線OX，叫做極軸.再選定一個(gè)長度單位和角度正方向（通常取逆時(shí)針方向）.這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.對于平面上任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長度，用θ表示從OX到OM 的角度，ρ叫做M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對ρ，θ就叫做M的極坐標(biāo).一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負(fù)值.對于點(diǎn)Mρ，θ是負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定為：

[1]作射線OP，使

SymbolPC@ XOP=θ.

[2]在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使|OM|=ρ.

有了這些規(guī)定，我們再返回來看當(dāng)θ從π2變化到π時(shí)，在極坐標(biāo)系下的圖形是什么樣的，這個(gè)時(shí)候ρ要取到負(fù)值，按照規(guī)定-ρ，θ=ρ，θ+π，此時(shí)θ+π從

3π2變化到2π，這個(gè)圖形放在直角坐標(biāo)系下位于第四象限，因此是第四象限的花瓣.當(dāng)θ從π變化到3π2時(shí)，ρ從0變化到a再變化到0，這是直角坐標(biāo)系下第三象限的花瓣，當(dāng)θ從3π2變化到2π時(shí)，ρ從0變化到-a再變化到0，此時(shí)ρ仍要取到負(fù)值，按照規(guī)定-ρ，θ=ρ，θ+π，θ+π從5π2變化到3π，也就是從π2變化到π，這正好就是直角坐標(biāo)系下第二象限的花瓣.因此當(dāng)θ從0變化到2π的過程中，四個(gè)花瓣就是按照一四三二象限的順序生成的.

現(xiàn)在我們就很容易看出第二步化為直角坐標(biāo)方程時(shí)的錯(cuò)誤，只利用了ρ=x2+y2，而忽略了ρ=-x2+y2，所以正確的四葉玫瑰線的直角坐標(biāo)方程應(yīng)為±x2+y23=2xy.

注意到這些，當(dāng)我們再作極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系下的圖形時(shí)就會(huì)清晰有條理地完成了.

【參考文獻(xiàn)】

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