從投擲問題到概率論的創立

【摘要】在日常生活中，存款、利息、投資、保險、成本、利潤、彩票等，我們常遇見一些概率問題.概率在生活中應用的范圍越來越廣.概率中的經典問題投擲硬幣，帕斯卡、費馬、惠更斯提出了解題方法.關于投擲骰子點數方面筆者提出了新的解題方法.

【關鍵詞】帕斯卡；費馬；惠更斯；擲硬幣

在生活中，我們會遇到很多難題，當我們從概率的角度進行判斷，然后作出決策時，完全有可能犯錯誤，不可能有絕對的把握正確.只是，我們總希望犯錯誤的概率小一些，能夠使自己獲得更高的成功率.把握住事件出現的概率，我們就能很容易地作出判斷解決問題.投擲骰子點數問題是概率中的經典問題.

一、概率論的概念

概率論是通過大量的同類型隨機現象的研究，從中揭示出某種確定的規律.而這種規律性又是日常中許多事物所具有的.因此概率在日常生活中十分的常見.

二、概率論的起源

三四百年前在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博之風.投擲骰子是他們常用的賭博方式，最初概率論的起源跟賭博有很大的關系.

17世紀，帕斯卡和費馬研究了意大利帕喬里的著作《摘要》，從而兩人建立了概率學的基礎模型.費馬和帕斯卡在通信和著作中建立了概率論的基本原則——數學期望的概念，點數問題是其中的代表例子.惠更斯是概率論學科的奠基者之一.《賭博游戲中的計算》是第一部概率論著作，這本書首次提出了數學期望的概念，創立了“惠更斯分析法”，第一次把概率建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系.

關于點數問題，帕斯卡與費馬分別給出了各自的方法和公式，后來惠更斯也給出了方法.在此，筆者提出闡明自己的新方法，看看是否比前人更加簡單.

三、解題方法

先明確一下問題，甲、乙二人各出同樣的賭注，擲硬幣進行賭博，若正面朝上，甲得1分，乙不得分，若反面朝上，乙得1分，甲不得分.誰先得到事先約定的分數，就贏得全部賭注.問題是在沒有賭完的情況下，如何分配賭本才算公平.

設甲還需贏m次，乙還需贏n次.

對于甲來說，若贏得賭注最少經過m次擲幣，因其最后一次定為甲贏，則不確定的項為（m-1）次擲幣，也就是說在（m-1）項中會出現0次乙.又因為其經過m次擲幣，則其每一種情況出現的可能性為1[]2m，則其所有情況出現的可能性為排列數與可能性之積：C0m-1·1[]2m.甲最多經過（m+n-1）次擲幣才能贏.同理，其不定項為前（m+n-2）次，在其中會出現（n-1）次乙，且經過（m+n-1）次擲幣的可能性為1[]2m+n-1，則其所有出現的可能性為Cn-1m+n-2·1[]2m+n-1.通過遞推或觀察首末次的規律，可知中間項.

此方法對乙同樣適用，不過需將m與n互替使用.

所以甲、乙兩人繼續賭下去，最終能獲勝的概率之比用公式可表達為：

若甲乙用同一枚硬幣進行賭博，但出現的機會確實均等的.

通過二項式展開公式，上下消除跟值，則式子的結果將趨于1，而正反兩面，即m或n次后，正方兩面的概率都將趨于12.

因此，歐洲的拋硬幣決定賭博勝負的辦法，如果在較少的隨機事件中產生結果，那就有可能出現一個勝者，或正或反.但如果兩人的次數趨于無窮大，則其結果趨近于概率，沒有贏家.

同樣，將硬幣換作骰子，其六個點數出現的概率為固定的16，只是每個點數出現的頻率和投擲次數有關，即上面的m和n.

四、概率論的實際應用

經過以上探討之后，我們再來看看生活中概率論的實踐，是否符合概率和頻率之間的關系.

彩票的概率問題，已經成為當下最基本存在的概率性問題，不管是3D彩球還是7色球，其每一期開獎結果中，每一個數字出現的概率都一定，比如3D彩球的概率都為37.

但是，7個彩球里，隨機地挑選三個彩球出來的綜合概率則是373，再加上7個數字的隨機組合與排列，其數列有：

共計73個數列，而在這些數列中，每一期只會出現一個，則其概率為173，

則每一期出獎結果的中獎率為373·173.

由此可見，3D彩球的中獎概率已經很少，但是在彩票購買站點，負責人依舊會將每一期的數字進行排列，從而總結規律提供給彩民參考.而這個數據記錄，則是概率發生的次數，而其中所有的數列發生的頻率趨近于概率的時候，則極有可能中獎.

不只是彩票購買存在如此的概率計算，生活中其他很多項目也涉及概率與頻率的關系問題，在此筆者就不一一累述.

總結

筆者通過數學積分方式及生活概率問題的闡述，簡單明確地闡述了概率問題與頻率問題之間的關系，同時也確定了隨機事件的發生次數越多，頻率就趨近于概率的這一理論.