巧用變量代換

【摘要】變量代換法可以將高等數(shù)學中不能直接求解的問題轉化成容易解決的問題，并對其應用進行總結，理順解題思路，提高解題能力.

【關鍵詞】高等數(shù)學；變量代換；應用

【中圖分類號】O13

【文獻標識碼】B

變量代換法不僅是一種非常有效的解題方法，也是一種重要的解題技巧，尤其是處理一些比較復雜的問題，效果顯著.合理采用代換可以提煉題目包含的信息，顯現(xiàn)其本質，疏導量與量之間的相關性，對發(fā)現(xiàn)解題思路，優(yōu)化解題過程有著重要的作用.

一、變量代換的應用

通常認為，高等數(shù)學是由微積分學，較深入的代數(shù)學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科，主要內容包括：極限、微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、級數(shù)、常微分方程等.變量代換法可以對極限、微積分、級數(shù)、常微分方程等不能直接求解的問題運用變量代換，顯現(xiàn)題目本質.也就是變換題目中的量與量，化繁為簡，化難為易，將比較困難的問題轉化成容易解決的問題.

1.變量代換在函數(shù)中的應用

巧用變量代換法化簡函數(shù)表達式、求解函數(shù)值等問題.

例1已知f（xn）=lnx，求f（e）.

解由于題中函數(shù)表達式不是我們習慣的形式，可先把函數(shù)表達式化為我們習慣的形式，根據(jù)題意，不妨設xn=e，則x=e1n.從而有f（xn）=f（e）=lne1n=1n.

2.變量代換在極限運算中的應用

（1）在求函數(shù)極限的問題中，經(jīng)常用到兩個重要極限，即limx→0sinxx=1和limx→∞1+1xx=e，有很多函數(shù)都可通過變量代換轉換成兩個重要極限的形式，從而求極限.

（2）對某些無理根式，巧用變量代換使其化為有理式，從而求解.

（3）二元及多元函數(shù)求極限可作變量代換，轉化為一元函數(shù)求出極限.

3.變量代換在求導中的應用

（1）對比較復雜的函數(shù)，尤其是復合函數(shù)求導

設函數(shù)y=f（μ）在μ點可導，函數(shù)y=g（x）在x點可導，則y=f[g（x）]在x點可導，且dydx=dydμ·dμdx=f′（μ）g′（x）.

（2）對隱函數(shù)求導

由方程F（x，y）=0確定的函數(shù)求導，需方程兩邊同時對x求導，注意y是x的函數(shù).

（3）對積分上限類函數(shù)求導

例2求F（x）=∫x31e4tdt的導數(shù).

4.變量代換在積分中的應用

換元積分法的基本思想就是用一個新的變量代換某個表達式，或用某個表達式代換變量，從而使被積函數(shù)轉化為新變量的、容易求積分的被積函數(shù).換元積分法常見的有湊微分、根式代換、三角代換等.

（1）湊微分.也叫第一換元積分，使用第一換元積分的關鍵在于被積函數(shù)存在導數(shù)關系.其基本思路為：∫f[g（x）]g′（x）dx=μ=g（x）∫f（μ）dμ.

例3求∫2xex2dx.

（2）根式代換

根式代換是指積分表達式中含有無理根式的代換.

（3）三角代換

三角代換是指積分表達式中含有x2+a2，x2-a2，a2-x2等形式的代換.

5.變量代換在微分方程中的應用

在常微分方程中，許多類型的常微分方程求解是依靠變量代換這一重要方法來完成的，下面我們就針對變量代換在幾類微分方程中的應用進行探究.

（1）齊次方程dydx=φyx

通過變量代換u=yx化為以u為未知函數(shù)的可分離變量方程.

（2）高階微分方程y″=f（x，y′）

通過變量代換u=y′，將原方程化為兩個一階微分方程求解.

例4求方程2xy′y″=1+y′2的通解.

二、結論

本文從多個角度介紹了變量代換法在數(shù)學學習中的廣泛應用，充分顯示了變量代換法是眾多數(shù)學方法中易于掌握而且行之有效的方法.它不僅是一種重要的解題技巧，也是一種重要的數(shù)學思維方法.正確恰當?shù)剡\用變量代換會使問題簡化、易解，起到事半功倍的作用.

當然，盡管變量代換法是一個應用很廣的數(shù)學方法，但并不是所有的問題都可以用該方法來解決，在做題的時候一定要謹慎.總之，我們應當不斷地總結經(jīng)驗，提高根據(jù)不同問題正確恰當?shù)厥褂米兞看鷵Q法解決問題的能力，不能盲目地、草率地使用該方法，避免出現(xiàn)錯誤.

【參考文獻】

[1]毛海勤.淺談變量代換在高等數(shù)學的應用[J].數(shù)學學習與研究，2010（23）.

[2]謝鳳艷.在高等數(shù)學中如何巧用變量代換法求解.硅谷，2011.