閏年的歷史沿革及其數學解釋

【摘要】人類歷史中，為指導農業生產，制定過許多歷法，其中使用最廣的是格里歷，即公歷.公歷有閏年之說，閏年一年為366天，平年為365天.判斷某年是否為閏年有一口訣：四年一閏，百年不閏，四百年又閏.實數理論中的連分數理論，則從理論上說明了現行歷法的科學性.

【關鍵詞】公歷；閏年；連分數理論

在人類幾千年的歷史中，為指導農業生產，制定過許多歷法，比如古埃及歷法、瑪雅歷法、伊斯蘭歷法以及中國以天干地支紀年的陰歷等等.公歷是現在國際通用的歷法，又稱格里歷、陽歷，其前身是儒略歷，儒略歷則是建立在古埃及歷法的基礎上.

公歷有閏年之說，即平年2月28天，一年365天；閏年2月多1天，一年366天.閏年計算規則一般被歸納為口訣：四年一閏，百年不閏，四百年又閏.即

1.普通年能被4整除為閏年，否則為平年.如2012年為閏年，2013年為平年.

2.世紀年能被100整除但不能被400整除為平年，能被400整除為閏年.如1900年為平年，2000年為閏年.

下面從公歷的發展史來看閏年規則的形成，并從數學理論方面驗證其合理性.

一、公歷的發展史

陽歷即太陽歷，以地球繞行太陽一周的時間為依據.根據長期的天文觀測得出，地球繞行太陽一周需365天5小時48分46秒，也就是365.2422天，稱為一個“回歸年”.

古埃及人此時還未觀測到這一精確時間.古埃及的農業生產主要集中在尼羅河沿岸一帶，其農業的發達與尼羅河的泛濫有直接關系.日積月累中，他們觀測到尼羅河泛濫的規律：每次泛濫之間的時間間隔大約是365天.為指導農時，古埃及人設置一歷法年為365天，這就是最初的陽歷.這種規定方法使得一個歷法年比回歸年短0.2422天，4年就短0.2422×4=0.9688天，400年就短96.88天，三個月還多，經過730年，歷法上的時間就比實際時間推進了半年，冬天和夏天正好顛倒過來.對農時已經談不上指導作用了.再過730年，才能回到原來的起點.

公元前46年，羅馬統治者儒略·凱撒對古埃及的陽歷作了修改，規定：一年分為12個月，單月為大月31天，雙月為小月30天，唯有2月29天，全年365天，每隔3年在2月加1天為閏年366天，新歷稱為“儒略歷”.但公元前44年凱撒被刺身亡后，那些頒發歷書的祭司們卻誤將“每隔3年設1年閏年”認為“每三年設一個閏年”.因此，從公元前42年到公元前9年就多設置了3個閏年.這個錯誤到公元前9年才被發現，并由當時羅馬的帝王奧古斯都（即屋大維）下令改正.他宣布從公元前8年至公元4年中不再設閏年，既而從公元8年開始，仍按凱撒規定，每隔3年設1閏年.

當時都認為儒略歷是最準確的歷法.于是在公元325年尼西亞宗教會議上，歐洲基督教國家決定共同采用儒略歷.但儒略歷并不是十分準確的歷法.它4個歷法年比4個回歸年總長1-0.2422×4=0.0312天，逐年累積下去，400年就多出3.12日.這樣，從尼西亞宗教會議算起來，到1582年，已長10日.公元1582年，羅馬教皇格利高里十三世決定改革歷法，采用業余天文學家、醫生利里奧的方案，每400年中去掉3次閏年.其方法是：那些世紀數不能被4整除的世紀年（如1700、1800、1900年等）不再算作閏年，仍算作平年.并規定把1582年10月4日以后的一天算作1582年10月15日，日期一下跳過10天.改革后的新歷法叫“格里歷”.四百年歷法年比四百年回歸年只多0.12天，經過約3333年才多出一日，比儒略歷精確多了.這就是“四年一閏，百年不閏，四百年又閏”這一公歷閏年計算規則的由來.

二、 實數理論的計算方法

一個回歸年為365天5小時48分46秒，化成分數也就是

365天5小時48分46秒=365+524+4824×60+4624×60×60=3651046343200天.

最精確是在43200年里，安排10463個閏年，這樣就確保了在43200年里歷法年和回歸年的總長度一致.但在43200年里如何按某種規律均勻地分配這10463個閏年并且方便地服務日常生活卻是個難題，于是希望用盡可能簡單的數去逼近它.

在實數理論中，當我們希望用一個具有小分母的分數去最佳逼近一個無理數，或是去最佳逼近一個具有較大分母的分數時，使用連分數.

將一個回歸年展開為連分數得

這說明4年中有1個閏年是初步的最好的逼近，但29年中有7個閏年更精確些，33年中8個閏年又精確些（也就是99年中有24個閏年，通用的算法是100年中有24個閏年），128年中有31個閏年更精確（這就是說，頭3個33年加8個閏年，后一個29年加7個閏年，共3×33+29=128年加3×8+7=31個閏年，400年內有3個128年，4個4年，所以400年加3×31+4×1=97天，這與通用算法得到的結果一致）等等.也就是說，即使從數學角度來講，我們現在使用的歷法也還是相當精確的.