一組易混、易錯的電路計數問題

在課堂上組織學生學習了人教版高二數學“分類計數原理與分步計數原理”后，布置學生課后完成教科書和教輔材料上的有關練習.第二天上數學課的時候，實習教師告訴我，學生對昨天作業中的三道題有很大的爭議.現將這三道題及其解法列舉如下：

題1（教科書中習題） 如圖，一條電路在從A處到B處接通時，有多少條不同的線路？

解法一（教參中的解法）不同的線路有3+1+2×2=8種.

解法二（部分學生的解法）∵每個電鍵都有開、閉兩種狀態，

∴這個電路從A處到B處不論接通與否，共有28種狀態，

其中不接通的有1×1×1×1×（1×22+22×1-1）=7種，

∴這個電路從A處到B處接通有28-7=249條不同的線路.

題2（教輔材料中的練習）在由電鍵組A與B所組成的并聯電路中，如圖，要接通電源，合上電鍵，使電燈發光的方法有多少種？

解法一（教輔材料編者給出的解法）因為只要合上圖中的任一電鍵，電燈即發光，故可用分類計數原理，共有2+3=5種使電燈發光的方法.

解法二（部分學生的解法）∵每個電鍵都有開、閉兩種狀態，

∴不論電燈發光與否，共有25種狀態，

而其中電燈不發光的只有1種，

∴使電燈發光的方法共有25-1=31種.

題3（教輔材料中的練習）由電鍵組A與B所組成的串聯電路中，如圖，要接通電源，合上電鍵，使電燈發光的方法有多少種？

解法一（教輔材料編者給出的解法）只有在合上A組中某個電鍵之后，再合上B組中3個電鍵中的任意一個，才能使電燈的電源接通，電燈才能發光.根據分步計數原理有2×3=6種不同的接通方法使電燈發光.

解法二（部分學生的解法）∵每個電鍵都有開、閉兩種狀態，

∴不論電燈發光與否，共有25種狀態，

而其中電燈不發光的有1×23+1×22-1=11種，

∴使電燈發光的方法共有25-11=21種.

解法三：（部分學生的解法）∵只有A組和B組都接通時，才能使電燈發光，

∴根據分步計數原理有（22-1）×（23-1）=21種不同的接通方法使電燈發光.

在講評時，把以上解法羅列在黑板上，引導學生進行辨析，首要問題是先搞清楚這三個問題有什么區別，特別是問題1與問題2，3的區別.

按照教參的解法和教輔材料編者給出的解法，是將這三個問題看成同一模型的問題了.通過認真的審題，同學們認識到問題1與問題2，3實際上有著本質的差別：

問題1中“一條電路在從A處到B處接通”的關鍵是“一條”，這是解題的前提，因此教參中的解法是正確的.若將問題1中的“一條”去掉，則解法二是正確的.

問題2，3只要求電燈發光就可以了，至于有幾條線路接通并沒作具體限制，因此，問題2，3的解法一是錯誤的，解法二、三是正確的.

分清了以上三個問題后，對以下兩個問題也就有了正確的解法.

題4教室里安裝有6盞日光燈，6個開關，1個開關只控制一盞燈，則開燈照明的方法有多少種？

解每盞燈的開關有開與關2種可能性，6盞燈共有26=64種可能性，6盞燈的開關全關只有一種可能性，故有64-1=63種開燈照明的方法.

題5一電路由電池A與兩個并聯的電池B和C串聯而成.設A，B，C損壞的概率分別為0.3，0.2，0.2，求電路發生間斷的概率.

解設電池A，B，C正常的事件分別記為A，B，C，電路正常的事件記為D，

則P（D）=P（ABC+ABC+ABC）.

∵P（A）=0.3，P（B）=0.2，P（C）=0.2，

∴P（A）=0.7，P（B）=P（C）=0.8.

又事件A，B，C相互獨立，事件ABC，ABC，ABC互斥，

∴P（D）=0.7×0.8×0.8+0.7×0.8×0.2+0.7×0.2×0.8=0.672.

∴P（D-）=1-P（B）=0.328.

即電路發生間斷的概率為0.328.

通過對以上各題的分析、求解，可以使同學們在今后解答類似問題時，能做到認真審題，認清一些形似問題的些許差別.

實際上，更重要的目的在于，鼓勵學生不盲目地迷信參考答案，大膽質疑，做到善疑和敢疑.所謂善疑就是能理性地懷疑，而不是毫無根據地懷疑.經過認真思考的懷疑，是科技發展的先導；而盲目地懷疑、否定一切是科學發展的大忌.所謂敢疑就是不迷信名人.已有的結論不一定都是正確的，任何人都會犯錯誤.一味盲目地迷信名人，把他們的每一句話都當作經典，就會扼殺自己的想象力.我們應該尊重名人，虛心學習他們的成功經驗，又要有超越他們的勇氣，在他們已有經驗的基礎上，再進行改造、創新.在平時教學中，我們要鼓勵學生敢于挑戰，敢于對已有的觀點提出不同意見.