高等數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想

[摘 要]高等數(shù)學(xué)是大學(xué)開始階段開設(shè)的課程，高等數(shù)學(xué)相較于初等數(shù)學(xué)有相當(dāng)?shù)某橄笮浴Ｍ瑫r剛剛接觸高等數(shù)學(xué)的大多數(shù)學(xué)生對所要學(xué)的東西的了解是很缺乏的，因此教師教學(xué)中既不能以好學(xué)生作為教學(xué)啟發(fā)的參照系，又必須以代表性的問題來作為教學(xué)的出發(fā)點。教學(xué)中應(yīng)該經(jīng)常思考，如果自己從來沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)，自己會遇到怎樣的困難，怎樣解決這些困難？從而對學(xué)生就會多一點耐心、多一點理解、多一點表揚，少一點權(quán)威、少一點苛求、少一點批評。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)思想

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）24-0076-02

高等數(shù)學(xué)教學(xué)主要的特點在于它是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注意數(shù)學(xué)思想的運用和滲透。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)

高等數(shù)學(xué)教學(xué)時應(yīng)該一切從思路出發(fā)，力圖讓每個學(xué)生搞清知識點間的聯(lián)系。比較重要的是抓住思維的直觀性、合理性和層次性這三個方面：

（一）數(shù)學(xué)思維的直觀性

高等數(shù)學(xué)教學(xué)一般有四種類型：淺入淺出、淺入深出、深入深出、深入淺出。最高境界是深入淺出，高等數(shù)學(xué)中不少內(nèi)容較為抽象，教學(xué)中應(yīng)該能把深奧的道理用非常通俗的語言來敘述，讓人一聽就懂。

（二）思維的合理性

知識的呈現(xiàn)應(yīng)該是水到渠成的結(jié)果，而不是像變魔術(shù)那樣讓學(xué)生感到不可捉摸，更不能故作高深來顯示自己。而要做到這一點，關(guān)鍵是要知道你為什么要教這個知識？要盡可能按照人類認識事物的一般順序來啟發(fā)學(xué)生思考。

（三）思維的層次性

首先，要理清知識的層次關(guān)系。

其次，要注意啟發(fā)的層次性。啟發(fā)一般采用由遠及近的方法來進行，一開始問題可以提得比較宏觀一點，這樣可以更好地拓展學(xué)生的思維，如果學(xué)生思考有困難，可以將問題提得更具體一點，如果學(xué)生還有困難，問題還可以提得再具體一點，……，這樣逐步深入，直到學(xué)生真正理解為止。

二、用數(shù)學(xué)思想將數(shù)學(xué)知識統(tǒng)一起來

教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分滲透數(shù)學(xué)思想方法，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的指導(dǎo)作用、統(tǒng)攝作用，要用數(shù)學(xué)思想這一線索將零散的知識統(tǒng)一起來。讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)思想方法這一高度居高臨下認識高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

下面介紹兩種比較重要的數(shù)學(xué)思想：模式思想和轉(zhuǎn)化思想：

（一）模式思想

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家A.N.懷特海曾經(jīng)指出：“數(shù)學(xué)是在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究的科學(xué)。人們正是通過模式這種有限的東西而達到對無限的宇宙的認識的。”

下面通過■（1+■）x=e這一重要極限（模型）的教學(xué)來具體說明高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何體現(xiàn)模型思想。

眾所周知，■（1+x）■=e，■（1+■）■=e與■（1+■）x=1這三個極限之間的區(qū)別與聯(lián)系也是很多學(xué)生常常出現(xiàn)混淆的地方。為了避免學(xué)生產(chǎn)生混淆，在教材中可以按照以下步驟來分析和掌握這三個極限的共同本質(zhì)并在此基礎(chǔ)上建構(gòu)■（1+■）x=e這一重要極限模型。

首先，提示并引導(dǎo)學(xué)生探究重要極限的本質(zhì)特征。引導(dǎo)學(xué)生歸納出前兩個極限所具有的共同特征，即不管加數(shù)是x還是■，其本質(zhì)都是無窮小。換句話說，就是應(yīng)將學(xué)生的注意力引向判斷與1相加的到底是不是無窮小這一本質(zhì)，而不應(yīng)該讓學(xué)生只是無謂地糾纏，到底是x還是■這一表面現(xiàn)象。然后再進一步歸納出指數(shù)不管是x還是■，它始終等于這個無窮小的倒數(shù)。那么就不僅可以將公式■（1+x）■=e，■（1+■）■=e有機地統(tǒng)一在一起，避免犯■（1+x）■=e，■（1+■）■=e，而且可以與極限■（1+■）■=1更好地區(qū)別開來。當(dāng)然，為了使學(xué)生更好地理解極限■（1+x）■=e的本質(zhì)，在教學(xué)中還可以提出一些問題，如求■（1+x）■，■（1+x）■等更一般的情形來讓學(xué)生通過比較和辨別來更好的認識極限■（1+x）■=e的本質(zhì)特征。

其次，在探究基礎(chǔ)上歸納極限特征。在學(xué)生進行探究的基礎(chǔ)上讓學(xué)生歸納出極限■（1+x）■=e的三個重要特征：底數(shù)與指數(shù)中都有變量；底數(shù)為1和無窮小之和；指數(shù)剛好是底數(shù)中無窮小這一加數(shù)的倒數(shù)。

最后，列出運用重要極限解題的一般步驟。首先識別所求極限是否適用于這一公式（即底數(shù)與指數(shù)中都有變量）；如果適用，則將底數(shù)化為1和無窮小之和的形式（把底數(shù)變成“1+X”的形式）；通過乘或加的方法使指數(shù)中出現(xiàn)的倒數(shù)■（需要注意的是如果用乘法，必須有一因式為常數(shù)）；運用公式求極限。其它有關(guān)運算。

（二）轉(zhuǎn)化思想

匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得在她的名著《無窮的玩藝》一書中對“化歸方法”作過描述：“數(shù)學(xué)家往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題。”高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，并盡可能讓他們養(yǎng)成運用轉(zhuǎn)化思想解決問題的習(xí)慣。

下面以羅必塔法則的教學(xué)為例來進行說明：

我們知道，除了“■”型和“■”型的未定式外，還有“0·∞”型、“∞±∞”型、“00”型、“1∞”型、“∞0”型等類型的未定式。求解這類未定式極限的基本思想是采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，先將它們轉(zhuǎn)化為“■”型和“■”型這兩種基本的未定式。

例：求■xx。

在解決這道問題時，教師可以這樣啟發(fā)學(xué)生：“前面我們已經(jīng)學(xué)過‘■’型和‘■’型的未定式，現(xiàn)在又出現(xiàn)了‘00’ 這是一未定式，如何來求這類未定式的極限呢？”如果學(xué)生不能想到將其轉(zhuǎn)化為“■”型或“■”型的未定式，教師可以進一步啟發(fā)學(xué)生：“可不可以將其轉(zhuǎn)化為‘■’型或‘■’型的未定式呢？”，如果學(xué)生認為可以，那么可以進一步啟發(fā)學(xué)生：“怎樣才能將‘00’型未定式轉(zhuǎn)化為‘■’型或‘■’型的未定式？”通過這樣的啟發(fā)學(xué)生應(yīng)該不難想到：必須將乘方運算轉(zhuǎn)化為乘除運算，而將乘方運算轉(zhuǎn)化乘除運算的基本方法是取對數(shù)。

解：方法一：設(shè)y=xx，取對數(shù)得

lny=xlnx，

■lny=■xlnx=■■=■■=-■x=0，

然后再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性得：ln（■y）=■（lny）=0。

從而有■y=1，即■xx=1。

方法二：利用公式x=elnx將乘方運算轉(zhuǎn)化為乘除運算。

■xx=■exlnx=e■=e■=e■=e■=e0=1。

高等數(shù)學(xué)是高等教育中重要且基礎(chǔ)的課程之一，對高等數(shù)學(xué)理解的深入程度對大學(xué)生今后的發(fā)展常常起著至關(guān)重要的作用。同時高等數(shù)學(xué)又往往是不少大學(xué)生深感頭痛并且難以掌握的課程之一。作為高校教師，我們在考慮高等數(shù)學(xué)整體教學(xué)方案，或者考慮具體知識點的講授的合理性時，我們始終注意數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，并且注意模式思想和轉(zhuǎn)化思想的靈活運用，則往往有事半功倍的效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1997.

[2] [美]約翰·布蘭斯福特，等.程可拉等，譯.人是如何學(xué)習(xí)的[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

[3] 桂德懷.高職高等數(shù)學(xué)課程改革研究綜述[J].中國職業(yè)技術(shù)教育， 2010，（17）.

[4] 朱云生.高職《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)的優(yōu)化探索[J].職業(yè)教育研究，2009，（12）.

[責(zé)任編輯：左 蕓]