數學分析課程入門教學的探討

[摘 要]本文通過分析影響大學新生在數學分析課程入門學習中的因素，從教學角度上探討了如何使學生更好更快地適應大學數學分析課程的學習，并對此給出了幾點教學上的建議。

[關鍵詞]數學分析 入門教學 入門學習

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）16-0109-02

一、引言

數學分析課程作為從初等數學向高等數學過渡的橋梁，是全國高校數學系學生步入大學一開始就要面對的一門課程，是整個大學數學課程學習的重要專業基礎課。對于剛剛步入大學校園的新生來說，他們正處于從高中數學到大學數學學習的過渡，仍舊按照中學數學的學習方法來學習數學分析，雖然很努力，卻感到很難學懂，甚至對課程的學習失去信心。在新生數學分析課程入門學習的時期，教師具有舉足輕重的地位，應該在課程教學中注意到學生的特點，進行合理適當的引導，幫助學生盡快適應數學分析課程的學習。本文通過分析影響大學新生在數學分析課程入門學習中的因素，結合自己的教學實踐，就數學分析入門這一階段教學的有關問題作一些探討。

二、影響大學新生數學分析課程入門學習的因素

（一）課程內容容量的大幅度提高

數學分析課程內容豐富，該課程研究的對象是定義在實數集上的函數，所采用的方法或工具是極限以及建立在極限基礎上的微分、積分以及級數，主要內容是應用極限、微分、積分以及級數研究函數的連續性、可微性、可積性等分析性質。很多大學對數學分析課程教學的安排是每周六學時，共上三個學期，是整個數學課程中學時最多的，這也足以體現出該課程包含的知識容量很大。同時，數學分析課程的大部分內容對新生來說都是陌生的，原有的知識基礎已遠不能用來解決新的問題，原有的學習方法已遠不能用來掌握新的知識，加之數學分析與中學數學內容跨度較大，在知識層面上的銜接也不夠協調，這就導致了很多學生不能很快適應，形成學習數學分析課程的困難。此外，數學分析課程一節課的教學內容也是中學階段所遠遠不能及的，在中學數學的學習中，一節課或許就是一個定義、一個公式或者一個定理，學生只需理解和掌握并會應用即可，而數學分析一節課會有豐富的內容，會是多個定義、多個公式或者多個定理，會講到多個知識點，多個方法，這些知識點和方法之間往往還是需要融會貫通的，這些也是對數學分析課程入門學習需要及時適應的地方。

（二）思維方式的不同

中學數學研究的量大部分是不變的量，研究的圖形大部分是由點、直線、平面構成的規則圖形，“數形結合”就可以做到“依形判數、就形論數”，因此，中學數學知識容易用文字語言來描述，用圖形語言來解釋。而在數學分析課程中，所研究的量是變量和變量之間的相互關系，遇到的圖都是由曲線、曲面構成的不規則圖形，我們常常從確定的、有限的常量出發，去描述不定的、無限的變量，也常常從規則的直線、平面出發，去表示不規則的曲線、曲面，通過這種“以靜表動，以直代曲”，達到精確認識的辯證思維過程。例如，新生在數學分析課程中學習的第一個重要概念：數列極限的“ε-N”定義，其中正數“ε”的兩重性，即任意性和確定性，整數“N”的兩重性，即相應性和存在性就深刻體現著“以靜表動，動靜結合”的思維方式。在數學分析課程的學習過程中，如果思維模式仍停留在靜態思維上，必然導致數學概念不清，數學邏輯紊亂和數學推理的不嚴格。

（三）學習方式的改變

大學數學和中學數學課程內容和特點的不同導致了課程學習方法有著本質的區別。中學數學的學習以教師為主，對每一個知識點，老師會講得很詳細，并進行適當的課堂訓練幫助學生理解，中學數學的教學往往結合考試的要求進行，學生的學習常常重視解題方法而忽視基本概念，善于記憶而不善于理解；而在數學分析的課程學習中將變成在教師指導下以學生為主體的學習方法，課程內容容量的增多使得教師不能對知識點講授面面俱到，課后留給學生練習和消化的任務相應增多，同時數學分析課程的內容必須是在透徹理解基本概念和基本理論的前提下，才能做到靈活應用。

三、數學分析入門階段教學的幾點建議

（一）注重緒論課的教學

緒論課是學生接觸并學習數學分析的第一節課，合理安排對學生今后的學習具有指導性意義，所以顯得尤為重要。在緒論課上，首先，要讓學生了解數學分析的歷史淵源及其在整個數學發展中的地位及作用，通過實例吸引學生，培養學生的學習興趣、努力投入課程學習的決心和信心。為了上好緒論課，作為一名教師要在多方位、多層次的定位上，兼有較深、較豐富的觀念和儲備知識，不僅要熟悉數學理論，還要了解該課程的歷史，明確它與相關學科的密切關系，使學生真正意識到數學分析的思想方法在現實生活中無處不在，這樣才能有效地提高學生學習的興趣。

（二）培養學生的數學思想

1.極限思想

極限理論是整個數學分析課程中最為重要的理論，教師應該把對極限內容的教學作為重中之重，從一開始就注意和注重從多方面引導學生體會極限的思想和方法，培養他們從不同角度去分析和理解極限。可以說，掌握了數列和函數極限的定義，學會了收斂數列和函數性質的證明，就完成了數學分析課程的入門關。

2.對比與分類思想

對比與分類是數學分析中常用的方法，對比產生差異，進而形成分類，分類形成共性，又深刻體現差異。對概念和方法的對比、分類，不僅可以幫助學生將所學知識條理化、系統化，又可以幫助學生理解和掌握所學知識，從而得到清晰的科學方法。在數學分析課程的入門教學中，我們就應該讓學生逐漸掌握這種思想方法。如對數列極限“ε-N”定義和函數極限“ε-δ”定義的對比，再如極限求解方法的總結，函數間斷點的分類等。

3.抽象與概括思想

抽象與概括思想在數學分析中是普遍存在的，很多內容的學習過程都是把實際問題的共同屬性、本質特征抽取出來，并把它們結合在一起進行概括的過程，對于新生，教師應該充分展示這種抽象與概括的過程，有助于加深他們對所學知識的理解和掌握。如在數列極限定義的教學過程中，可以從“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等實際問題出發，抽象出“項數無限地增大時，通項無限地接近于某一個常數”，最后升華為精確的分析定義。

4.幾何思想在教學中的作用

幾何思想是指將數學中的結論賦予幾何圖形的解釋，從而借助幾何圖形的直觀性來分析和理解數學結論的思想。在數學分析入門教學中，教師應將文字語言、幾何語言及符號語言有機結合起來，應盡可能對所學知識賦予幾何解釋，幫助學生更容易理解理論知識，同時也能夠培養學生的空間想象能力。如對數列極限、函數極限的定義，應賦予幾何形式的定義；對導數定義、定積分以及重積分定義，多結合多媒體進行教學。但應清楚的是，數學分析課程內容的特點決定了幾何解釋的輔助作用，分析語言仍占主導地位。

（三）培養學生自學能力

數學分析課程的學習目的：一方面是要讓學生掌握課程本身的知識，為后續課程的學習打好基礎；另一方面是要培養學生數學綜合素質，掌握獨立分析問題、解決問題的能力，為以后應用數學知識解決實際問題做好準備。在數學分析課程的教學過程中，教師應有意訓練學生的自學能力。例如，在課堂上多提問，引導學生養成勤思考的學習習慣；針對合適的問題進行分組討論，培養學生之間多交流的學習風氣；指導學生查找和閱讀相關文獻，幫助學生掌握查找文獻的良好學習習慣。在我們的教學中，建立了數學分析課程的學習網站，學生根據自身情況對網站內容進行選擇性學習，也達到了良好的效果，培養了學生的自學能力。

要善于發現形式多樣的教學方法，使學生靈活掌握數學分析的知識，充分發揮學生在教學過程中作為主體的主觀能動性，最終使學生養成良好的自學習慣。

四、結束語

總之，對于大學新生數學分析課程的教學既要適應學科發展的進程，又要符合課程教學的實際。良好的開端是成功的一半，數學分析教學的關鍵在于入門教學，而入門教學的目的就是為了讓學生成為課程學習的主人，掌握數學分析的基礎知識，養成良好的數學學習習慣。在數學分析入門教學中讓學生奠定良好的分析基礎，讓學生在后繼課程的學習步入坦途，具有重要意義。

[ 參 考 文 獻 ]

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