關于泛函分析課程教學的建議

[摘 要]本文通過對泛函分析課程的特點的具體分析，根據自己的實踐教學經驗，對教學提出了三條建議：1.以實維歐氏空間為原型，建立泛函分析研究的抽象空間；2.重視課程基本理論發展框架、注重數學思想方法體系的構建；3.注重對概念的理解和掌握。

[關鍵詞]泛函分析 教學 建議

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）16-0111-02

泛函分析是現代數學的基礎學科之一，是綜合了分析、代數和幾何等學科而形成的。作為一門分析數學課程，泛函分析中的概念、定理等理論知識相當豐富，又很抽象，知識的連貫性和邏輯性都很強，其對數學基礎的要求比較高。因此，學生在學習泛函分析時感到抽象，不易理解，學習起來很困難。同時，一些高校不斷擴大學生公選課的數量，這使得泛函分析課時受到了大幅擠壓。又因為泛函分析通常設置在三年級，此時不少學生要準備考研，還有一些學生已經忙于找工作，這些都影響到泛函分析的教學效果。因此，如何提高課堂教學效果是高校有關教師的一個重要研究課題。

一、以實維歐氏空間為原型，建立泛函分析研究的抽象空間

實n維歐氏空間Rn是在n維實向量空間En上賦予歐氏距離而生成的，Rn中元素就是En中的元素，而且還滿足別的性質，故Rn不僅是距離空間。Rn特點：1.任何兩個元素（向量）可進行線性運算，即Rn可看成一個線性空間。2.每個元素（向量）都對應著它的長度（模），而這個長度恰是向量的端點到原點的歐氏距離。3.Rn作為向量空間，不僅有范數和距離的概念，還有兩個向量之間夾角和描述夾角的內積概念，而且一個向量與自身的內積剛好是其范數的平方（把內積和內積與范數的這種關系抽象出來，得到內積空間的概念）。以實n維歐氏空間Rn為原型，逐步建立泛函分析所研究的三大抽象空間：

1.距離（度量）空間：只具有拓撲結構，是從平面和現實的三維空間等具體模型中抽象出來的。其中任何兩點之間只有距離關系而已（性質不夠豐富，不能滿足很多實際問題的需要）。

2.賦范線性空間：具有拓撲結構、代數結構，是以Rn特點1、2及它與歐氏空間距離的關系為模型，抽象出的一類特殊的距離空間。

3.內積空間：具有拓撲結構、代數結構、幾何結構。

把經典分析與代數結合起來是泛函分析方法的特征，這使得初看起來相距甚遠的數學分支之間建立聯系并相互結合。上述分析揭去了抽象空間的抽象、晦澀的外殼，而針對這些抽象空間的抽象外觀，初學者可采用以下兩種方式來適應：（1）在學習高度一般性的理論之前，首先來認識比較熟悉而又不是特別抽象的函數空間，這樣會充分體會到抽象空間是源于現實需要、基于現實土壤的，然后再去學習一般的抽象空間理論（由特殊到一般）。（2）最大可能地借用有限維空間中的概念、術語與思維模式，用以形成對無限維空間的清晰可見幾何直觀。

二、重視課程基本理論發展框架、注重數學思想方法體系的構建

任何數學課程的基本結構都是由兩根強有力的支柱支撐著，即數學基礎知識和數學思想方法，它們是整個課程的和諧統一體。數學思想是指人們對數學理論和內容的本質認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為數學思想方法。數學課程中的每章每節甚至每道習題的求解過程，都是數學基礎知識與數學思想方法的有機結合體，而數學思想方法又寓于數學知識之中，通常有數學知識是“軀體”，數學思想方法是“靈魂”之稱。正是由于數學思想方法的作用，才使數學課程不是由零散的知識和孤立的事實組成，有形的數學知識結構正是由這種無形的數學思想方法作為紐帶而連接起來。

1.很多教材在結構上缺乏整體性，知識體系上缺乏系統性，在章節之間缺少過渡和總結；教材與實際結合少。學生往往可以學懂零散的概念定理、會做一些習題，但沒有掌握課程基本理論框架，也就談不上構建數學思想方法體系。這就需要教師在課程教學中要重視課程基本理論發展框架、注重數學思想方法體系的構建，幫助學生提高數學思想方法素養。我們必須遵循簡潔、明晰的原則，在宏觀上，要讓學生知道我們在做什么（解決什么問題），怎么做（方法），還能做什么（相關問題）；注重理論的基本框架、知識點間的關系、理論的實質、解決問題思路的分析與方法的總結；盡量使用深刻而又通俗的語言來刻畫概念和定理，使抽象的定義和理論易于理解和接受，而不至于令人望而生畏，也不會索然無味；而關于課程的整體性、連貫性，需要教師對教學內容作細致的剖析和耐心的講解。

例如，講授不動點定理時，第一步，先做引入：若函數f：[0，1]→[0，1]連續，則平面上直線y=x與f的函數圖像至少相交于一點x0，即■x0∈[0，1]使f（x0）=x0，即x0是個不動點（用介值定理可證）。第二，歸結問題：假設取定y1∈[0，1]，則y1=f（x）是一個一元方程。不妨將方程變形為x=f（x）-f1+x，記Tx=f（x）-y1+x，則T是一個映射，原方程變形為Tx=x，則解原方程就是求x*使x*=Tx*，即成為求映射的不動點問題。第三步，提出問題：映射的不動點是否總存在（不是）？不動點何時存在（即滿足怎樣的條件）？是否所有的方程都可以化為求不動點問題（不是）？滿足什么條件的方程可化為不動點問題？第四步，給出定義和定理。第五步，證明定理（用“迭代逼近法”，此方法也提供了用一個序列逼近不動點的思路并給出了相應的誤差估計式）。這樣講授不動點定理，學生會很自然地接受，否則直接給出定義和定理，學生會覺得莫名其妙。

2.要求學生撰寫各章總結小論文，組織課外習題討論與答疑。撰寫各章總結小論文，對所學內容作分析、概括、總結，可以加強學生對所學內容及相關課程的理解領會。

3.引導學生在學習過程中主動思考。由于課程內容抽象、概念多，理論性強，邏輯嚴密，各部分內容滲透交叉，所以在學習過程的每一個環節中都應主動多問“為什么”，“如果……”，在每一階段做總結、歸納，這些可以培養學生良好的學習習慣而終身受益。

三、注重對概念的理解和掌握

數學學科的特點是高度的抽象理論與嚴密的邏輯推理相結合，學習數學的目的在于提高抽象思維能力、邏輯推理能力、數學運算能力以及應用數學解決實際問題的能力。任何一門數學課的內容都是由基本概念、基本理論、基本運算和應用四部分組成，要學好泛函分析，實際上就是要在這四個方面潛心鉆研。概念是最基本的思維形式，而數學中的推理和論證實際上都是在尋求不同概念間的關系。對概念準確到位的理解和掌握是進行推理論證的前提。因此，數學概念的教學是整個數學教學的一個關鍵環節。那么，怎樣組織教學才能使學生更好地掌握概念呢？需要注重以下四方面：

1.注重概念的起源，聯系現實原型講解概念。數學概念都是從實際需要中抽象出來的，如空間的完備性、最佳逼近元、有界線性算子（連續線性泛函）、算子（泛函）的范數等這些簡單概念，都是由科學和實踐的需要而產生的。講清它們的起源，并與相關概念作比較，這樣學生既不會感到抽象，又容易形成生動活潑的學習氛圍。

2.注重刻劃概念的本質。一個概念在其形成過程中，有時附帶著一些無關特征。因此教師應抓住重點，善于引導學生準確把握概念的本質，減少乃至消除不利因素的干擾。如空間的完備性、空間的同構、稠密子集等概念，刻劃概念的本質尤為重要。

3.理解概念的條件。定義都是判定語句，它由題設和結論兩部分組成，我們要對定義中的條件加以分析，討論其能否減弱或替換。

4.注重概念的對比。學習概念的目的，就是為了實踐應用。因此要讓學生能夠運用概念解決問題，并在此過程中通過積極思考加深對概念的認識，使學生對概念的理解更全面、更深刻。其一，對于相似、易混淆的概念，做好比較。教師在設計練習的時候，對相似概念一定要抓住它們的聯系和區別，通過練習使學生真正掌握它們的判定方法和相互關系。其二，抓住概念間的內在聯系作比較、分析。對于有內在聯系的概念，要作好比較和分析，明確概念間的關系，加深學生對概念本質的理解。例如：度量空間、賦范線性空間及內積空間的“同構”概念的比較。

總之，對概念的講解，一定要注意方法，讓學生理解，切勿讓學生死記硬背。數學科學嚴謹的推理性，決定了搞好概念教學是傳授知識的首要條件。如果學生概念不清，必將表現出思路閉塞，邏輯紊亂，對法則、定理的理解更無從談起。

[ 參 考 文 獻 ]

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[4] 程其襄，張奠宙.實變函數與泛函分析基礎[M].北京：高等教育出版社，1983.

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[責任編輯：左 蕓]