談微積分在高中物理中的應(yīng)用

摘 要：微積分是分析連續(xù)過程積累的一種方法，在物理中有著廣泛的應(yīng)用，許多物理概念、物理定律都是以微積分的形式給出。與大學(xué)物理相比，中學(xué)物理中雖然表面上沒有很多的微積分的內(nèi)容，實(shí)際上中學(xué)物理中有一些公式和解題方法都有微積分的思想在其中。本文分析了微積分在力學(xué)中的一些具體應(yīng)用，目的是使學(xué)生理解微積分思想，能熟練地運(yùn)用微積分的方法來解決物理問題。

關(guān)鍵詞：微分積分；高中物理；力學(xué)

中圖分類號：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）30-042-01

數(shù)學(xué)是各門科學(xué)的基礎(chǔ)，是物理學(xué)中的重要工具，它能準(zhǔn)確而又簡潔地表達(dá)物理概念和規(guī)律，是物理的思維語言和方法。中學(xué)物理的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一就是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力，高中數(shù)學(xué)新課程中增加了微積分的初步相關(guān)知識，使得現(xiàn)在的高中生初步掌握了求導(dǎo)和積分的思想及方法，這為解決物理教學(xué)中相關(guān)的一系列問題提供了即方便實(shí)用又強(qiáng)大的工具。

一、微積分的主要思想和方法

微積分思想和方法是把復(fù)雜物理問題有限次的分割，然后在有限小的局部進(jìn)行近似處理。讓分割無限地進(jìn)行下去，局部空間也就無限地變小，因此近似處理變得越來越精確，這樣從理論上就能得到精確的結(jié)果。通過微積分方法中有限向無限的轉(zhuǎn)化來實(shí)現(xiàn)由近似到精確的分析過程，這正是在物理學(xué)中解決問題的思路。具體說明如下。

二、力學(xué)中的微積分應(yīng)用

力學(xué)是物理學(xué)中發(fā)展最早的一個(gè)分支，它與人類的生活與生產(chǎn)聯(lián)系是最為密切。機(jī)械運(yùn)動(dòng)是最簡單、最直觀，也是最便于觀察，最早得到研究的一種運(yùn)動(dòng)形式。下面給出了微積分在力學(xué)中的一些具體應(yīng)用，通過分析使學(xué)生掌握用微積分去分析和解決力學(xué)問題的方法，堤高學(xué)習(xí)效率。以下是微分在高中物理的一些應(yīng)用

1、直線運(yùn)動(dòng)中的速度和加速度

當(dāng)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置s是隨時(shí)間t變化的，即s=s（t）。若時(shí)間間隔Δt=t1-t0內(nèi)物體位置的改變情況為s=s（t1）-s（t0），定義Δs、與Δt的比值為這段時(shí)間的平均速度，記作v =Δs/Δt。v反映了物體在這一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢，其數(shù)值與 t大小有關(guān)，所以用v來描述變速直線運(yùn)動(dòng)是粗略的。若令 t→0，則t內(nèi)的平均速度所趨于的極限值即物體在t=t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡稱速度，記為：

在許多實(shí)際問題中，只有速度還不夠，還需要知道速度隨時(shí)間變化的情況，即要建立“加速度”概念。同速度概念建立一樣，也是先有平均加速度a=vt，然后取t→0的極限得瞬時(shí)加速度a為：

可見，v是位置函數(shù) s對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，a是函數(shù)s對的二階導(dǎo)數(shù)，一般來說，它們也是時(shí)間t的函數(shù)。

極限思想雖是一種常用的科學(xué)思維方式，在這里，學(xué)生不難理解極限思想，但由于沒有運(yùn)算和嚴(yán)格的證明，學(xué)生可能會對公式在心理上少那么一點(diǎn)信服度，在這種情況下，我們可以用積分的方法給學(xué)生嚴(yán)格的推導(dǎo)一下。

設(shè)位置坐標(biāo)初始條件 ，則物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： ，當(dāng) 0，所以 ，因此 。

，又因?yàn)?所以 。因此

這樣能幫助學(xué)生更完整的理解公式。在物理學(xué)中，就是要抓住問題的主要方面而忽略次要方面，從而使得問題的研究簡單可行。所以在物理中采用微積分方法來分析問題，其目的就是在微積分范圍內(nèi)能夠把復(fù)雜問題近似成簡單的基本的可研究的問題。

2、求變力的功

微積分最初就是為了解決變力做功和曲線問題而提出的。中學(xué)教中功的概念是力在受力質(zhì)點(diǎn)位移上的投影與位移的乘積。其中的力大小方向不變且位移沿直線。若力的方向會變，且質(zhì)點(diǎn)自 0至 沿曲運(yùn)動(dòng)，則可將受力質(zhì)點(diǎn)的路徑分成許多小段，每段可視為一方向不變元位移，元位移上力也可視作是不變的。力在元位移上的功稱元功，定義為： 。力的總功近似等于所有元功之和，歸結(jié)為積分： 。

在高中物理中還有很多例子，比如瞬時(shí)速度、電量、感應(yīng)電動(dòng)勢、引力勢能等都用到了微積分思想，微積分思想豐富了我們處理問題的手段，拓展了我們的思維，提高了我們數(shù)理結(jié)合的能力，所以越來越受到高考命題者的青睞。在學(xué)習(xí)的時(shí)候，要學(xué)會這種研究問題的思想方法，并在解題中不斷應(yīng)用，不斷提高我們的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 宋明娟，等著.微積分[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.12.

[2] 劉志君.數(shù)學(xué)方法在高中物理力學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊學(xué)術(shù)研究，2012（11）.