線性代數(shù)教學(xué)中的實用案例

摘 要：本文討論了將線性代數(shù)在各領(lǐng)域內(nèi)的一些應(yīng)用作為案例引入線性代數(shù)的教學(xué)之中，從而提高教師的授課質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，增加課堂教學(xué)的開放性。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；實用案例；教學(xué)創(chuàng)新

中圖分類號：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）29-002-01

線性代數(shù)已經(jīng)作為一門成熟的理論被諸多學(xué)科廣泛應(yīng)用，但在教學(xué)過程中很容易發(fā)現(xiàn)，由于這門學(xué)科研究問題的抽象性，雖然在理論深度上可能不及高等數(shù)學(xué)，但在學(xué)習(xí)難度上則有過之而無不及。

為了解決這個問題國內(nèi)外很多教師嘗試著將線性代數(shù)的實際案例編入線性代數(shù)教材，用行列式，矩陣等知識得具體應(yīng)用來引發(fā)學(xué)生的想象力，而由于國內(nèi)教材大多數(shù)仍采用傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材，因此作為教師則須將一些案例作為引入或應(yīng)用舉例加入教學(xué)過程之中，來調(diào)動學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的獨立思考。在這里可以舉出一些線性代數(shù)的具體應(yīng)用，來作為教學(xué)中的案例參考。

一、線性代數(shù)與經(jīng)濟學(xué)

為了研究現(xiàn)實經(jīng)濟錯綜復(fù)加的各種關(guān)聯(lián)與影響，經(jīng)濟學(xué)家們往往將經(jīng)濟領(lǐng)域各因素錯綜復(fù)雜的相互關(guān)系簡化，并嘗試通過建立數(shù)學(xué)模型的方式來進行研究。

一般均衡理論假設(shè)，當(dāng)市場中商品的供給量與需求量恰好相當(dāng)時，市場實現(xiàn)均衡，而華西里，列昂惕夫提出了一個簡單的數(shù)學(xué)模型來描述這種問題：

假設(shè)一個經(jīng)濟由煤炭，電力，鋼鐵三個部門組成，各部門之間的分配如表1-1所示，其中每一列中的數(shù)表示該部總產(chǎn)出的比例，如表中第二列，將電力的總產(chǎn)出分配如下：40%給煤炭部門，50%給鋼鐵部門，剩下10%給電力部門，因所有產(chǎn)出都必須分配，每一列的分?jǐn)?shù)之和等于1。記符號PC，PE，PS分別代表煤炭，鋼鐵電力部門年度總產(chǎn)出的價格，求平衡價格使各部門的收支平衡。

表1-1 一個簡單的經(jīng)濟問題

而此類問題，實際可以通過建立以PC，PE，PS為自變量的線性方程組進行求解，當(dāng)涉及經(jīng)濟部門較少時，我們?nèi)匀豢梢圆捎孟ǎ坏┮紤]到國民經(jīng)濟領(lǐng)域的諸多部門時，則需利用線性代數(shù)中的克拉默法則通過計算機來進行計算。

二、線性代數(shù)與密碼學(xué)

密碼學(xué)是一門古老又神秘的科學(xué)，從古羅馬時代開始，羅馬人就開始利用將字母后移四位的方式來給信息加密，比如：GIFT，通過加密可以變成：KMJX。然而這種方法由于無法改變字母出現(xiàn)的頻率，因此實際上很容易破譯，在1912年希爾提出了用矩陣給信息加密的方法，通過將字母在字母表中的位置所對應(yīng)的數(shù)字來表示字母，將文字信息轉(zhuǎn)化成矩陣，進而用一個可逆矩陣來左乘信息矩陣，從而得到加密之后的信息，一旦需要解碼，則用逆矩陣左乘加密之后的矩陣則得到原始信息。例如：ALREADY GO 對應(yīng)數(shù)字為 利用矩陣加密后

如果不知道加密矩陣則無法識別信息，而要解密，則必須通過求出加密矩陣的逆矩陣來左乘加密后的信息矩陣。這種加密方式就是所謂的希爾密碼，也是線性代數(shù)在密碼學(xué)中的一項重要應(yīng)用。

三、線性代數(shù)與生態(tài)學(xué)

1900年美國政府計劃采伐太平洋西部的廣闊森林，而環(huán)境保護學(xué)家嘗試說服政府放棄這一計劃，因為大量采伐森林，有可能導(dǎo)致居住在森林里的斑點貓頭鷹面臨滅絕的風(fēng)險，而木材商們則認(rèn)為即使一部分森林被采伐，貓頭鷹種群仍然可以生存下來，雙方爭執(zhí)不下，而最后還是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家利用特征值理論建立了數(shù)學(xué)模型為這場爭論提供了科學(xué)參考。

綜上所述，線性代數(shù)本身作為一門實用性很強的理論工具，在諸多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，在傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)過程中加入具體的案例，會引起學(xué)生的興趣，也使教學(xué)更為生動活潑，希望上述案例能夠為從事線性代數(shù)教學(xué)工作的教師提供一些參考。

參考文獻(xiàn)：

[1] Davide.C.Lay著.線性代數(shù)及其應(yīng)用.機械工業(yè)出版社.2005.

[2] 邱森編著.線性代數(shù)探究性課題精編.武漢大學(xué)出版社，2011.

[3] 劉衛(wèi)鋒，周長芹.線性代數(shù)教學(xué)中的矩陣應(yīng)用實例.中國科技信息.2009.12.