用拋物線弓形面積巧解競賽題

鄭 金

(凌源市職教中心，遼寧 凌源 122500)

證明:如圖1所示，在直角坐標系中，取拋物線上的對稱弓形OBC，其外接矩形為ABCD.

設拋物線方程為y=ax2，C點坐標為(x1，y1)，則對應的第一象限矩形的面積為S=x1y1，為了求凹邊直角三角形ODC的面積S1，可將其分成許多與y軸平行的窄條矩形，則各微元矩形的面積用微分表示為dS=ydx，兩邊積分得面積

圖1

利用拋物線弓形的面積解決有關物理問題，可避免數學積分過程，能化繁為簡，現舉例分析.

例1.以初速度v0斜上拋一個物體，忽略空氣阻力，當拋射角θ為多大時，運動軌跡與水平軸所圍成的面積最大?

解析:以拋出點為坐標原點，水平分速度方向為x軸，豎直向上為y軸，建立直角坐標系，沿坐標軸方向分解斜拋運動，其位移分別為

圖2

例2.由粗細均勻的同一種電阻絲制成的半徑為r的圓環置于勻強磁場中，磁感應強度為B，方向與環面垂直，磁場邊用虛線表示，如圖2所示.現將環以速度v垂直于磁場方向勻速拉出磁場，v的方向與邊界垂直，求此過程中環中產生的熱量為多少.設電阻絲每單位長度的電阻為R0，環電感忽略不計.

由于圓環在磁場中運動全過程的位移為2r，則對應區間的拋物線圖形為弓形，由熱量公式Q=可知，拋物線弓形面積在數值上等于熱量，而弓形的弦長為t=2t0=故熱量為Q=

例3.如圖3所示，水平面上兩導軌的間距為l，左端串聯一個電阻R，金屬棒MN的質量為m，與導軌接觸良好，且電阻和摩擦均不計.勻強磁場垂直于導軌平面，磁感應器度大小為B.金屬棒在外力作用下從靜止開始做勻加速運動，加速度為a，求t秒內電流對電阻R所做的功.

圖3

圖4

解析:電流對電阻R所做的功就是安培力對金屬棒所做的功，也就是電路中產生的焦耳熱.如果求出安培力對位移的平均值，則金屬棒克服安培力所做的功為W=其中位移

由拋物線弓形面積的結論可知圖線與x軸圍成的面積為S==vx，而v=at，所以在t秒內電流對電阻R所做的功即金屬棒克服安培力所做的功為

或者直接求出電功率的瞬時值關系式為

這是關于時間t的一元二次函數，其圖像為過原點開口向上的拋物線，由于所求的安培力對金屬棒所做的功即電路中產生的焦耳熱為W=，表示圖像與t軸圍成凹邊直角三角形的面積，所以

例4.如圖5所示為示波器中的鋸齒形掃描電壓u隨時間t變化的圖像，試求此交變電壓的有效值.

圖5

圖6

根據熱量與熱功率和時間的關系Q=Pt，只要求出瞬時功率對時間的平均值，即可求出熱量Q=.這相當于對瞬時功率的積分，在數值上等于P-t圖像與t軸圍成圖形的面積.因此只要寫出電功率關于時間的一元二次函數，就可計算電流所做的功即焦耳熱.

圖7

圖像的面積具有一定的含義，如圖1所示，圖像上各點對應的象限矩形的面積為S=xy，分成兩部分的面積分別為S1=x和S2=，但數值大小和意義都不同，例如S1=表示的是圖像與x軸圍成的面積，實質是把x軸分成許多微元Δx，每個微元對應一個y值，即對應一個y軸方向的細條矩形，所有細條矩形的面積之和等于圖線與x軸圍成的凹邊三角形的面積.若把y的平均值用一條“中位線”來表示，則凹邊三角形的面積等于中位線與x軸圍成的矩形的面積.或者說，矩形面積公式為S=xy，由于在凹邊三角形ODC中，y=ax2和x是同時變化的，因此無法求出乘積，但可對x軸上各點對應的縱坐標yi進行平均，求出一個平均值，則與x的乘積為面積S=

在利用圖像法求面積時，要注意面積的物理意義，由于圖線跟不同坐標軸所圍的面積具有不同的含義，因此要根據物理意義來確定所求面積是對應哪個坐標軸的.一般來說，相對于哪個量取平均，就用哪個軸上的面積.例如對于圖4，求面積是利用速度相對于位移的平均值，而縱軸表示位移，則面積是對應縱軸的;對于圖7，求面積是利用功率對時間的平均值，而橫軸表示時間，則面積是對應橫軸的.再者，物理量取平均不是隨意的，例如對于圖4，只能把速度取平均，而不能把位移取平均;對于圖7，只能把功率取平均，而不能把時間取平均.能取平均的物理量一般是狀態量，而不是過程量.

1 倪一寧.換個角度看拋體運動［J］.中學物理教學參考，2001(6).

2 李小棣.妙用微積分知識解決一個物理疑難［J］.物理通報，2011(10).

3 王勝利.計算交流電有效值的三種方法［J］.中學物理教學參考，2010(5).