數形相映 激蕩思維

袁園

小學階段，無論是教材編排意圖還是教學目標要求，需滲透、應用、培養的數學思想方法有很多種，數形結合是其中重要的一種思想方法。簡而言之，數形結合思想就是根據“數”與“形”之間的對應關系，通過“數”與“形”的相互轉化來解決數學問題的思想。“數”與“形”是事物兩方面的屬性，“數”與“形”的結合，不僅是客觀事物的自然連接，更溝通了思維的聯結。“數”的抽象與“形”的直觀相結合，能把復雜的問題簡明化、具象化、生動化。因此，在數學教學中，根據教學內容，適時、有機地滲透和運用數形結合方法，尤為必須且必要。現結合個人的教學實踐，淺談在教學中數形結合思想方法的滲透。

一、數形結合，理解算理

計算教學是小學數學的重要內容。掌握正確的計算方法、準確進行計算，是計算教學的基本目標。加強計算題的練習強度則通常是教師的常用方法，而真正要提高學生的計算能力，算理的理解是基礎。不理解算理的計算，方法是機械的，記憶是暫時的，達不到計算思維的融會貫通，計算也就失去了靈活機智。因此，在計算教學中幫助學生理解算理，在理解算理的基礎上再加強訓練，學生的計算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何讓學生理解算理？數形結合的方法很實用，不僅在小學低年段適用，同樣，高年段的學生也需要圖形的直觀幫助他們拓展思維，以形促思，以形助數，達到理解的目的。

在教學分數除法（一），即“分數除以整數”這節課時，對于■÷3的意義和計算方法，我要求學生利用畫圖的方法，將“數”的問題轉化為對“形”的分析、思考。學生將一張長方形的紙按豎著方向平均分成7份，其中四份用紅色彩筆涂滿，用以表示■。然后，將這張紙再按橫著方向平均分成3份，再用藍色彩筆涂出■的■。從圖上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其實就是求■的■是多少。很顯然，學生通過“折一折、涂一涂”的小操作，借助圖形語言，利用已學過的分數乘法的意義，解決了有關分數除法的問題，從而理解了分數除法的意義，并從中推斷出分數除以整數的計算方法。

本學年，我擔任六年級的數學教學，最近正在組織學生進行總復習。復習內容涵蓋小學六年的數學知識。在復習“數的運算”一節時，對異分母的加減法，有個學生這樣分享他的學習感受：我記得當時在學習這個內容時，老師的課件做得很生動，讓我們通過圖形的演示認識到，分數單位相同，分子才能相加減，所以異分母分數相加減時要先通分，我記得很牢……可見，合適的圖形及圖形演繹對學生理解算理的重要性。

二、數形結合，明確概念

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，常常以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。在小學階段，數學概念很多，如果僅憑死記硬背，沒有對數學概念本質的理解、把握，將影響知識的應用與遷移。某些數學概念的教學，需借助相應的直觀圖形，反復讓學生感知，獲得體驗，建立表象，進而明確概念的內涵，獲得拋卻具體圖形之外的純粹的數學概念的理解。

如“周長”這一數學概念，是三年級上學期的知識。對三年級的學生來說，“周長”概念還是比較抽象的，如果不借助具體的圖形，讓學生經歷由表象到抽象的思維過程，他們是很難明確概念的本質意義的。我聽過一節課，上課老師先后用樹葉、課桌面、數學書封面、1元硬幣等具體物體，讓學生通過看、摸、繞、測，獲得感知，經過思維的層層遞進，完成對“周長”概念的最終理解和明確。這其間，有一條思維的路徑，是具體的“形”在牽引，指向思維深處，最終又擺脫“形”的束縛，建立純粹的數學概念，即有“見山是山”到“見山不是山”的意味。

三、數形結合，巧妙解題

“數”和“形”是客觀事物的兩種屬性，兩者之間有著必然的內在聯系。在解題時，在數形結合、數形轉化之間，化抽象為具體，化復雜為簡明，化無形為有形，往往能突破原有思維的局限性，迅速找到解題的關鍵點。在這一過程中，學生不僅體會并應用到數形結合的思想，而且能深切感受到數學的奇妙，激發熱愛數學的情感，增強學習數學的熱情。

在學習了“圓”這一單元后，學生在練習時遇到了這樣一道判斷題：邊長是2厘米的正方形和直徑是2厘米的圓，圓的面積比較大。當時我先讓學生講解判斷的方法。一位學生是這樣講解的：我算出了正方形的面積是2×2等于4平方厘米，圓的面積是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以這道題是錯的。其他學生都認可他的做法，這也是最常規的思路。這位學生講完后，一位叫小月的學生高高地舉起了手：“老師，我有不同的解法。”小月走上講臺，拿起一根粉筆，在黑板上畫出了如圖1所示的圖形：“我畫得不標準，但是我相信大家能看得懂。這樣畫了之后，很容易就能得看出哪個圖形的面積大。”數秒的安靜后，學生自發地報以熱烈的掌聲。“我看懂了！”“這樣畫一畫，很快就有了答案！”“這種方法很簡便！”在同學們的肯定聲中，小月高興而又自豪地笑了。這種解題技巧其實就是數形結合的具體應用。

■

圖1 圖2

后來我在教室的黑板一角開辟了一塊“趣味數學”園地，每周由學生出一道趣味數學題。這些題目都是學生在課外數學讀本或是網上找到的，題型新穎，既有趣味性，又有挑戰性，很受歡迎。有一次，一個學生出了這樣一道題：計算：“■+■+■+■+■=？”這位出題學生在題目旁邊注明：如果用常規方法來算，就不是趣味數學了。這道題引發了學生的極大興趣，下課時，常常可見到幾個學生圍在一起討論、爭辯。而不同于常規方法的解法，竟真的被學生找到了。學生小鴻在全班講解這道題的解法時說：“這道題其實用通分的方法算很簡單，但出題的同學說了，不能用常規方法。我想了很久，發現這組分數有特點，后面一個數是前面一個數的二分之一。有一次，我無意間畫了一個正方形，然后再把這個正方形平均分成兩份，突然我就有靈感了。上次小月把一道題的解法‘畫出來了，這道題，我也用‘畫的方法算出來了。同學們請看。”小鴻講完，在黑板上畫出了圖形（如圖2），寫出■+■+■+■+■=1-■=■。學生以一陣熱烈的掌聲對他的解法表示贊賞。

這兩個案例讓我想到了美國數學家斯蒂恩曾說過的一句話：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并創造性地思索解法。”數形結合，讓思維在轉化之間獲得別有洞天的啟發、柳暗花明的喜悅，在巧妙解題的過程中感受數學的神奇。

數形結合不僅是重要的數學思想，也是常用的數學方法。“數缺形少直覺， 形少數難入微”。在教學實踐中，應根據教材內容、特點，找到數形結合的關鍵點，恰當地滲透、運用數形結合方法，提高教學效度，豐富學生感知，發展學生思維，促進學生基本數學思想方法的形成。

（責編 金 鈴）endprint

小學階段，無論是教材編排意圖還是教學目標要求，需滲透、應用、培養的數學思想方法有很多種，數形結合是其中重要的一種思想方法。簡而言之，數形結合思想就是根據“數”與“形”之間的對應關系，通過“數”與“形”的相互轉化來解決數學問題的思想。“數”與“形”是事物兩方面的屬性，“數”與“形”的結合，不僅是客觀事物的自然連接，更溝通了思維的聯結。“數”的抽象與“形”的直觀相結合，能把復雜的問題簡明化、具象化、生動化。因此，在數學教學中，根據教學內容，適時、有機地滲透和運用數形結合方法，尤為必須且必要。現結合個人的教學實踐，淺談在教學中數形結合思想方法的滲透。

一、數形結合，理解算理

計算教學是小學數學的重要內容。掌握正確的計算方法、準確進行計算，是計算教學的基本目標。加強計算題的練習強度則通常是教師的常用方法，而真正要提高學生的計算能力，算理的理解是基礎。不理解算理的計算，方法是機械的，記憶是暫時的，達不到計算思維的融會貫通，計算也就失去了靈活機智。因此，在計算教學中幫助學生理解算理，在理解算理的基礎上再加強訓練，學生的計算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何讓學生理解算理？數形結合的方法很實用，不僅在小學低年段適用，同樣，高年段的學生也需要圖形的直觀幫助他們拓展思維，以形促思，以形助數，達到理解的目的。

在教學分數除法（一），即“分數除以整數”這節課時，對于■÷3的意義和計算方法，我要求學生利用畫圖的方法，將“數”的問題轉化為對“形”的分析、思考。學生將一張長方形的紙按豎著方向平均分成7份，其中四份用紅色彩筆涂滿，用以表示■。然后，將這張紙再按橫著方向平均分成3份，再用藍色彩筆涂出■的■。從圖上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其實就是求■的■是多少。很顯然，學生通過“折一折、涂一涂”的小操作，借助圖形語言，利用已學過的分數乘法的意義，解決了有關分數除法的問題，從而理解了分數除法的意義，并從中推斷出分數除以整數的計算方法。

本學年，我擔任六年級的數學教學，最近正在組織學生進行總復習。復習內容涵蓋小學六年的數學知識。在復習“數的運算”一節時，對異分母的加減法，有個學生這樣分享他的學習感受：我記得當時在學習這個內容時，老師的課件做得很生動，讓我們通過圖形的演示認識到，分數單位相同，分子才能相加減，所以異分母分數相加減時要先通分，我記得很牢……可見，合適的圖形及圖形演繹對學生理解算理的重要性。

二、數形結合，明確概念

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，常常以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。在小學階段，數學概念很多，如果僅憑死記硬背，沒有對數學概念本質的理解、把握，將影響知識的應用與遷移。某些數學概念的教學，需借助相應的直觀圖形，反復讓學生感知，獲得體驗，建立表象，進而明確概念的內涵，獲得拋卻具體圖形之外的純粹的數學概念的理解。

如“周長”這一數學概念，是三年級上學期的知識。對三年級的學生來說，“周長”概念還是比較抽象的，如果不借助具體的圖形，讓學生經歷由表象到抽象的思維過程，他們是很難明確概念的本質意義的。我聽過一節課，上課老師先后用樹葉、課桌面、數學書封面、1元硬幣等具體物體，讓學生通過看、摸、繞、測，獲得感知，經過思維的層層遞進，完成對“周長”概念的最終理解和明確。這其間，有一條思維的路徑，是具體的“形”在牽引，指向思維深處，最終又擺脫“形”的束縛，建立純粹的數學概念，即有“見山是山”到“見山不是山”的意味。

三、數形結合，巧妙解題

“數”和“形”是客觀事物的兩種屬性，兩者之間有著必然的內在聯系。在解題時，在數形結合、數形轉化之間，化抽象為具體，化復雜為簡明，化無形為有形，往往能突破原有思維的局限性，迅速找到解題的關鍵點。在這一過程中，學生不僅體會并應用到數形結合的思想，而且能深切感受到數學的奇妙，激發熱愛數學的情感，增強學習數學的熱情。

在學習了“圓”這一單元后，學生在練習時遇到了這樣一道判斷題：邊長是2厘米的正方形和直徑是2厘米的圓，圓的面積比較大。當時我先讓學生講解判斷的方法。一位學生是這樣講解的：我算出了正方形的面積是2×2等于4平方厘米，圓的面積是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以這道題是錯的。其他學生都認可他的做法，這也是最常規的思路。這位學生講完后，一位叫小月的學生高高地舉起了手：“老師，我有不同的解法。”小月走上講臺，拿起一根粉筆，在黑板上畫出了如圖1所示的圖形：“我畫得不標準，但是我相信大家能看得懂。這樣畫了之后，很容易就能得看出哪個圖形的面積大。”數秒的安靜后，學生自發地報以熱烈的掌聲。“我看懂了！”“這樣畫一畫，很快就有了答案！”“這種方法很簡便！”在同學們的肯定聲中，小月高興而又自豪地笑了。這種解題技巧其實就是數形結合的具體應用。

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圖1 圖2

后來我在教室的黑板一角開辟了一塊“趣味數學”園地，每周由學生出一道趣味數學題。這些題目都是學生在課外數學讀本或是網上找到的，題型新穎，既有趣味性，又有挑戰性，很受歡迎。有一次，一個學生出了這樣一道題：計算：“■+■+■+■+■=？”這位出題學生在題目旁邊注明：如果用常規方法來算，就不是趣味數學了。這道題引發了學生的極大興趣，下課時，常常可見到幾個學生圍在一起討論、爭辯。而不同于常規方法的解法，竟真的被學生找到了。學生小鴻在全班講解這道題的解法時說：“這道題其實用通分的方法算很簡單，但出題的同學說了，不能用常規方法。我想了很久，發現這組分數有特點，后面一個數是前面一個數的二分之一。有一次，我無意間畫了一個正方形，然后再把這個正方形平均分成兩份，突然我就有靈感了。上次小月把一道題的解法‘畫出來了，這道題，我也用‘畫的方法算出來了。同學們請看。”小鴻講完，在黑板上畫出了圖形（如圖2），寫出■+■+■+■+■=1-■=■。學生以一陣熱烈的掌聲對他的解法表示贊賞。

這兩個案例讓我想到了美國數學家斯蒂恩曾說過的一句話：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并創造性地思索解法。”數形結合，讓思維在轉化之間獲得別有洞天的啟發、柳暗花明的喜悅，在巧妙解題的過程中感受數學的神奇。

數形結合不僅是重要的數學思想，也是常用的數學方法。“數缺形少直覺， 形少數難入微”。在教學實踐中，應根據教材內容、特點，找到數形結合的關鍵點，恰當地滲透、運用數形結合方法，提高教學效度，豐富學生感知，發展學生思維，促進學生基本數學思想方法的形成。

（責編 金 鈴）endprint

小學階段，無論是教材編排意圖還是教學目標要求，需滲透、應用、培養的數學思想方法有很多種，數形結合是其中重要的一種思想方法。簡而言之，數形結合思想就是根據“數”與“形”之間的對應關系，通過“數”與“形”的相互轉化來解決數學問題的思想。“數”與“形”是事物兩方面的屬性，“數”與“形”的結合，不僅是客觀事物的自然連接，更溝通了思維的聯結。“數”的抽象與“形”的直觀相結合，能把復雜的問題簡明化、具象化、生動化。因此，在數學教學中，根據教學內容，適時、有機地滲透和運用數形結合方法，尤為必須且必要。現結合個人的教學實踐，淺談在教學中數形結合思想方法的滲透。

一、數形結合，理解算理

計算教學是小學數學的重要內容。掌握正確的計算方法、準確進行計算，是計算教學的基本目標。加強計算題的練習強度則通常是教師的常用方法，而真正要提高學生的計算能力，算理的理解是基礎。不理解算理的計算，方法是機械的，記憶是暫時的，達不到計算思維的融會貫通，計算也就失去了靈活機智。因此，在計算教學中幫助學生理解算理，在理解算理的基礎上再加強訓練，學生的計算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何讓學生理解算理？數形結合的方法很實用，不僅在小學低年段適用，同樣，高年段的學生也需要圖形的直觀幫助他們拓展思維，以形促思，以形助數，達到理解的目的。

在教學分數除法（一），即“分數除以整數”這節課時，對于■÷3的意義和計算方法，我要求學生利用畫圖的方法，將“數”的問題轉化為對“形”的分析、思考。學生將一張長方形的紙按豎著方向平均分成7份，其中四份用紅色彩筆涂滿，用以表示■。然后，將這張紙再按橫著方向平均分成3份，再用藍色彩筆涂出■的■。從圖上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其實就是求■的■是多少。很顯然，學生通過“折一折、涂一涂”的小操作，借助圖形語言，利用已學過的分數乘法的意義，解決了有關分數除法的問題，從而理解了分數除法的意義，并從中推斷出分數除以整數的計算方法。

本學年，我擔任六年級的數學教學，最近正在組織學生進行總復習。復習內容涵蓋小學六年的數學知識。在復習“數的運算”一節時，對異分母的加減法，有個學生這樣分享他的學習感受：我記得當時在學習這個內容時，老師的課件做得很生動，讓我們通過圖形的演示認識到，分數單位相同，分子才能相加減，所以異分母分數相加減時要先通分，我記得很牢……可見，合適的圖形及圖形演繹對學生理解算理的重要性。

二、數形結合，明確概念

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，常常以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。在小學階段，數學概念很多，如果僅憑死記硬背，沒有對數學概念本質的理解、把握，將影響知識的應用與遷移。某些數學概念的教學，需借助相應的直觀圖形，反復讓學生感知，獲得體驗，建立表象，進而明確概念的內涵，獲得拋卻具體圖形之外的純粹的數學概念的理解。

如“周長”這一數學概念，是三年級上學期的知識。對三年級的學生來說，“周長”概念還是比較抽象的，如果不借助具體的圖形，讓學生經歷由表象到抽象的思維過程，他們是很難明確概念的本質意義的。我聽過一節課，上課老師先后用樹葉、課桌面、數學書封面、1元硬幣等具體物體，讓學生通過看、摸、繞、測，獲得感知，經過思維的層層遞進，完成對“周長”概念的最終理解和明確。這其間，有一條思維的路徑，是具體的“形”在牽引，指向思維深處，最終又擺脫“形”的束縛，建立純粹的數學概念，即有“見山是山”到“見山不是山”的意味。

三、數形結合，巧妙解題

“數”和“形”是客觀事物的兩種屬性，兩者之間有著必然的內在聯系。在解題時，在數形結合、數形轉化之間，化抽象為具體，化復雜為簡明，化無形為有形，往往能突破原有思維的局限性，迅速找到解題的關鍵點。在這一過程中，學生不僅體會并應用到數形結合的思想，而且能深切感受到數學的奇妙，激發熱愛數學的情感，增強學習數學的熱情。

在學習了“圓”這一單元后，學生在練習時遇到了這樣一道判斷題：邊長是2厘米的正方形和直徑是2厘米的圓，圓的面積比較大。當時我先讓學生講解判斷的方法。一位學生是這樣講解的：我算出了正方形的面積是2×2等于4平方厘米，圓的面積是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以這道題是錯的。其他學生都認可他的做法，這也是最常規的思路。這位學生講完后，一位叫小月的學生高高地舉起了手：“老師，我有不同的解法。”小月走上講臺，拿起一根粉筆，在黑板上畫出了如圖1所示的圖形：“我畫得不標準，但是我相信大家能看得懂。這樣畫了之后，很容易就能得看出哪個圖形的面積大。”數秒的安靜后，學生自發地報以熱烈的掌聲。“我看懂了！”“這樣畫一畫，很快就有了答案！”“這種方法很簡便！”在同學們的肯定聲中，小月高興而又自豪地笑了。這種解題技巧其實就是數形結合的具體應用。

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圖1 圖2

后來我在教室的黑板一角開辟了一塊“趣味數學”園地，每周由學生出一道趣味數學題。這些題目都是學生在課外數學讀本或是網上找到的，題型新穎，既有趣味性，又有挑戰性，很受歡迎。有一次，一個學生出了這樣一道題：計算：“■+■+■+■+■=？”這位出題學生在題目旁邊注明：如果用常規方法來算，就不是趣味數學了。這道題引發了學生的極大興趣，下課時，常常可見到幾個學生圍在一起討論、爭辯。而不同于常規方法的解法，竟真的被學生找到了。學生小鴻在全班講解這道題的解法時說：“這道題其實用通分的方法算很簡單，但出題的同學說了，不能用常規方法。我想了很久，發現這組分數有特點，后面一個數是前面一個數的二分之一。有一次，我無意間畫了一個正方形，然后再把這個正方形平均分成兩份，突然我就有靈感了。上次小月把一道題的解法‘畫出來了，這道題，我也用‘畫的方法算出來了。同學們請看。”小鴻講完，在黑板上畫出了圖形（如圖2），寫出■+■+■+■+■=1-■=■。學生以一陣熱烈的掌聲對他的解法表示贊賞。

這兩個案例讓我想到了美國數學家斯蒂恩曾說過的一句話：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并創造性地思索解法。”數形結合，讓思維在轉化之間獲得別有洞天的啟發、柳暗花明的喜悅，在巧妙解題的過程中感受數學的神奇。

數形結合不僅是重要的數學思想，也是常用的數學方法。“數缺形少直覺， 形少數難入微”。在教學實踐中，應根據教材內容、特點，找到數形結合的關鍵點，恰當地滲透、運用數形結合方法，提高教學效度，豐富學生感知，發展學生思維，促進學生基本數學思想方法的形成。

（責編 金 鈴）endprint