善用錯誤效應 提高教學的有效性

☉江蘇省張家港市鳳凰中學 許春紅

善用錯誤效應 提高教學的有效性

☉江蘇省張家港市鳳凰中學 許春紅

一、錯誤是正確的先導

1.正確面對數學學習中的錯誤

學習錯誤是學生在數學學習過程中必然產生的，有教學經驗的教師很容易發現：每屆學生在學習過程中常常犯一些類似的錯誤，這說明這些錯誤是數學認知中的盲點.在國內較大的數學論壇K12中，我們有時可以看到學生提出此類問題：“老師上課的內容我聽的懂啊，但是當自己做題目時卻往往有各種各樣的錯誤，有些是計算上的，有些是知識理解上的，有些是方法選擇上的，最難的是無從下手的！可是一聽老師講，怎么就這么簡單.這該怎么辦呢？”這一現象，我們稱之為數學學習中的“懂而不會”，在初中生學習數學的過程中普遍存在，久而久之，有些學生因此而喪失了學好數學的信心.

2.認真分析錯誤產生的原因

在數學學習中，通過展示以往或現在的學生和教師在學與教的過程中產生的偏差或錯誤，通過多邊互動，在集體識錯、思錯和糾錯的過程中，促使認知結構進行新的同化和順應，使學生在情感、能力和學習效果上產生的積極作用，這就是數學教學中的錯誤效應.

分析學生數學學習過程中錯誤產生的原因，是幫助教學更有效的一種手段，它不僅能使教師清晰地認識到教學過程中出現的不足并及時進行修補，而且從有效性的角度而言，利用錯誤產生的效應縮短了解決問題的時間，筆者認為這正是錯誤效應的最大好處，大大有利于改善我們的教學.另一方面，從這些錯誤的原因來看，與初中數學章節知識難度的上升、學生學習習慣帶來的差異、學習心態穩定與否的區別、家庭教育的全面性與穩定性等都有一定的關系，本文將從數學知識的角度來進行分析.

3.有效利用錯誤效應資源

筆者認為，學生在進入初中之后，隨著初中數學更具形式化、更抽象，學生對知識的理解遇到了困難.眾所周知，因為進度較快和對數學形式化的結果不能熟練理解與掌握，久而久之，困難堆積形成了思維障礙，這些障礙造成了學生學習過程中大量錯誤的積累，在得不到及時的解決后造成了數學科成績較低，這種現象普遍存在于如今的初中新生之中.因此，應將這些錯誤的成因進行歸類，并利用這些常見的錯誤引導學生分析、理解，利用錯誤產生的效應對教學產生一些積極的、指導的作用，減少其學習過程中類似錯誤的產生，提高數學教與學的有效性，使學生正確看待錯誤產生的緣由，并幫助其提高數學的思維能力，這對教師而言是具有重要意義的一項工作.

二、錯誤效應的有效應用

④x=4時的函數值與x=2008時的函數值相同，則對稱軸為直線則所以m=1006，原函數為y=x2-2012x-3，則x=2012時的函數值為-3，故本命題正確.

1.基本功錯誤效應

數學的基本功，也就是傳統的雙基教學，一直是我國數學教學的優良傳統，也是課程改革中堅持并發揚下來的東西.從初一到初三上學期，學生一直致力于學習數學的新知，在此過程中打下堅實的基礎顯得尤為重要.相比小學數學，初中數學學習的特點發生了巨大的變化：新知的進度完全超乎學生的想象，使得初一新生學習數學非常疲憊；正是因為對形式化數學概念、定理等沒有本質上的深刻認知，導致學生覺得數學的題型變化多端，即使能理解教材中的數學基本知識的表象，也難以完全應對千變萬化的試題；初中數學中運算水平要求的層次陡然上升，在計算上一般計算水平的學生止步不前等.這些都是雙基缺失的具體表象，在這些困難的背后，造成學生不斷在數學學習中出現錯誤.如何解決和利用這些錯誤，使得學生學習更堅實、更有效，進而提升學生的思維能力呢？來看一個案例.

案例1：（2012年張家港模擬）已知二次函數y=x2-2mx-3，給出下列命題，則正確的是_______.

①該二次函數的圖像與x軸一定有兩個公共點；

②當自變量x≤1時，y隨x的增大而減小，可知此時m=1；

③將圖像向左平移3個單位后，若經過原點，可知此時m=-1；

④若x=4時的函數值與x=2008時的函數值相同，則x=2012時的函數值為-3.

識錯：（1）學生對問題的錯誤成因并非教師所能掌控的.對于①，一般學生能正確分析二次函數的圖像與x軸的交點，錯誤原因在于對判別式的錯誤理解和不會使用判別式判斷公共點的個數.對于②，錯誤原因在于沒有利用數形結合思想，不能正確分析二次函數增減變化與其對稱軸之間的關系.對于③，學生對問題沒有基本的反轉思想，是最容易出錯的一個選項.對于④，錯誤的成因在于學生不能理解函數值相同的兩個點關于二次函數的對稱軸對稱，不知道從這一環節突破可大大減少問題的運算量.

思錯：本題考查了二次函數的性質、二次函數的圖像與幾何變換、拋物線與x軸的交點，綜合性較強，體現了二次函數的特點.二次函數基本問題是中考的必考問題，對此類問題的教學注重教師引導下的錯誤效應分析，即以學生錯誤分析為主的啟發式教學，從方向性上給這種問題以探求的指點.此題屬于二次函數的基本功題目，基本概念和基本運算體現的較為突出，需要教師引導學生從錯誤入手分析，指導學生分步解答.

糾錯：本題是考查二次函數基本知識的一道試題，可以說是基本功的再現.對于這樣的問題，二次函數的基本圖形、對稱軸的變化、與x軸的交點判斷、利用對稱思想求解對稱軸、解決二次函數的平移等知識是二次函數基本功的重要組成.在這樣的問題中還體現了數形結合思想和函數與方程思想.

分析：①根據函數與方程的關系，利用判別式解答.

②利用條件分析二次函數的對稱軸，利用數形結合可得函數的增減變化趨勢.

③將m=-1代入二次函數y=x2-2mx-3的解析式，求出其與x軸的交點坐標，然后進行判斷.

④利用對稱思想，可知該二次函數的對稱軸，進而可得m的值，將x=2012代入解析式進行檢驗即可.

解析：①由Δ=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，得它的圖像與x軸有兩個公共點，故本命題正確.

③將m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3.當y=0時，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=-3，將圖像向左平移3個單位后不過原點，故本命題錯誤.

故答案為①④.

2.整合能力錯誤效應

有別于基本功的錯誤，這里筆者要談的正是整合能力方面的錯誤.整合能力，是學生學習到一定程度，將知識進行系統化后出現的.這方面的錯誤效應，其錯誤的體現相對級別更高、難度更大，要求教師精心分析學生的錯誤產生的緣由，并在整合能力上對教學進行下一步的思考，來提高知識銜接處的教學的有效性.

圖1

案例2：（2009年浙江嘉興）如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB＞1.以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC，設AB=x.

（1）求x的取值范圍；

（2）若△ABC為直角三角形，求x的值.

識錯：本題是一道綜合性、整合性較強的試題.學生錯誤的原因在于：其一，對△ABC成為直角三角形的情形分類不夠；其二，在正確分類的前提下，對求解過程中x的值是否滿足（1）中的結論沒有考慮.

思錯：本題屬于函數問題中的探究整合性問題，主要考查分類討論思想和學生的運算能力.筆者發現很多學生在分類討論思想上忽視或欠缺，如做第二問時只考慮一種情況等，因此教學中要提醒學生分類的標準，做到不重不漏.整合性問題是學生做題時錯誤較多的問題，又是值得教師挖掘和關注的問題，從整合性問題中得到的典型錯誤，將這類錯誤的效應集中體現在教學之中，既豐富了教學的真實性，也提高了整合性問題教學的有效性.

糾錯：對這樣的問題，應將問題分解成基本、簡單的小型問題，請學生針對解答中出現的錯誤分組求解，請學生自行分析他人出現錯誤的緣由，通過組與組之間的比較來突破整合性較強的問題.

分析：（1）根據三角形的基本性質：兩邊之和大于第三邊以及兩邊之差小于第三邊，找尋關于x的不等式，進而得出x的取值范圍.

（2）對Rt△ABC進行分析，用勾股定理對存在性進行分類討論.

（2）①若AC為斜邊，則12=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，此方程無實根.

②若AB為斜邊，則x2=（3-x）2+12，解得，滿足1＜x＜2.

③若BC為斜邊，則（3-x）2=12+x2，解得，滿足1＜x＜2.

三、巧用錯誤出精彩

利用錯誤效應來改善教學，大大提高了教學的效率，而且消除了教學中易錯問題發生的可能性.筆者認為，在如今的初中數學課堂教學中值得教師去嘗試和運用，筆者有以下一些思考.

（1）初中數學教學不僅僅是傳遞知識，也要關注學生的情感、態度、價值觀等.從錯誤效應入手的教育觀念就是改變過去教學中過于抓難題、重訓練，而不注重知識反思的傾向，關注學生從錯誤中去尋找學習能力的培養和學習能力的獲得，也讓教師體會到從錯誤中找尋數學教學不同方式的可能性，為創新教學方式開辟新的道路.

（2）結合“錯誤效應”教學方式，把學習知識的過程變成教學、反思、小結、吸收的過程，需要教師將解題教學的內容更細致化、網格化.教師要多引導學生走進自己錯誤的地方，走向自身問題所在的節點.新課程改革不只是局限于教師改變傳統的課堂教學方法，還應注重從多元化的角度去教學、思考、反思教師自身，讓學生學會從錯誤效應中學習、鞏固、提高，使學生真正地善于發現問題、改善思維、規避錯誤、有自主學習能力.

課堂因差錯而精彩.筆者在數學基本功和整合能力兩個方面的數學教學中，正是從錯誤效應的視角出發，以錯誤為載體，尋找應對這些典型錯誤的方法，讓學生在糾錯和改錯中感悟道理、領悟方法、發展思維、實現創新.可以說，學生出錯對教師而言也是一種機遇和挑戰.期待我們在數學教學中能閃耀出更多的教育智慧.

1.展國培.有效教學，從關注學生開始［J］.中小學數學（初中），2013（1）.

2.崔景南.當學生偏離教師航向時［J］.數學通報，2008（9）.

3.金鳳明.庖丁解牛與數學解題［J］.上海中學數學，2008（4）.