高中數學教學中的“舉一反三”

唐培杰

為適應新課標的理念，讓學生在高考中考出理想成績，作為現行教育制度下的高中數學教師，筆者認為，合理地將知識分解、融會貫通并能運用于解題中是教師們應急切探究的出路。為此，在教學中進行了“舉一反三”的嘗試后，筆者感受到它既能讓學生通過建模找到解題中的定式，又能激發學生探究的靈感，給筆者的教學帶來出乎想象的收獲。既要“舉一”，又要“反三”，筆者認為應該從以下方面來看待此問題。

一題多解

一題多解，即一道題目有多種途徑可以解決。比如，在《立體幾何》中的證明問題，可以用空間圖形解決，也可以用代數的方法即空間向量來解決。例一：如圖，已知ABCD為矩形，AD=2AB，F分別是線段BC的中點，PA⊥平面ABCD。求證：DF⊥平面PAF。

方法一：要證明DF⊥平面PAF，只需證明DF⊥PA且DF⊥AF，易證PA⊥DF；而證明DF⊥AF，有兩種途徑可選：其一，可利用三角形勾股定理的逆定理（代數方法）；其二：可利用角的關系證明∠AFD=90°（幾何方法）。方法二：（空間向量坐標法）可利用AB、AD、AP兩兩互相垂直，滿足建系的要求；設出AD的長度，就可以寫出各個點的坐標，利用向量數量積為零，可得直線間的相互垂直，從而得到線面垂直。

又如，證明三點共線的問題，可以通過證直線斜率相等、向量相等、點在直線上等多個方法解決。例二：求證三點A（-1，0），B（3，8），C（-4，-6）共線。方法一：斜率法。易得KAB=2，KAC=2，又AB、AC有公共點A，所以三點共線；方法二：向量法。易得，所以共線，又AB與AC有公共點A，即A、B、C三點共線。方法三：點在直線上。易得直線AB的方程，然后將C點坐標代入驗證即可。

一題多變