幾何直觀：滲透數學思想方法的重要途徑

居海霞

[摘 要] 國家檢測試題導向和《課標》中提到的教材編寫、設計試題等，都圍繞著十個核心詞，幾何直觀是其中之一. 幾何直觀的介入，可以扶持概念表述、豐盈計算算理、明晰解題思路，能幫助學生滲透相關的數學思想方法.

[關鍵詞] 幾何直觀；滲透；思想方法

在2012國家基礎教育質量監測中，有這樣一道小學數學題：

下面4幅圖中，陰影部分能用表示的是（ ）

這是一道幾何直觀題. 幾何直觀是2011年版《數學課程標準》中提出的十個核心詞之一. 關于“十個核心詞”，《數學課程標準》在第61頁指出：“它們是義務教育階段數學課程內容的核心，也是教材的主線. ”同時，在第59頁指出：“在設計試題時，應該關注并且體現本標準設計思路中提出的幾個核心詞. ”可見，不管是國家檢測試題導向，還是《課標》中提到的教材編寫、設計試題等，都圍繞著相關核心詞. 幾何直觀作為其中之一，對學生數學思想方法的培養起著重要作用.

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，幫助學生直觀地理解數學. 筆者試圖從以下幾方面闡述如何利用幾何直觀滲透數學思想方法.

幾何直觀——扶持概念表述

數的概念，比如小數、分數、百分數等，對于學生來說比較抽象，但借助幾何直觀，可以有效幫助學生構建概念.

夏青峰老師在“認識小數”一課中，是如下通過幾何直觀幫助學生構建“小數”概念的.

課中，師生一起得出：把整數“1”平均分成10份，其中的一份是0.1. （如圖1所示）

接著，教師舉了這樣的反例和正例：

可以發現，第（1）（2）小題不是把整數“1”平均分成10份，所以其中的一份不能表示為“0.1”，第（3）小題是正例. 接下來，教師把圖2中的（3）和之前的“0.1圖”（圖1）對比，學生發現表示0.1的兩個圖形不一樣，但都表示把整數“1”平均分成10份，表示其中的一份. 這樣，通過反例襯映、正例凸顯，學生找到了“0.1”所表示的意義. 在此基礎上，再將之前“0.1圖”放大，啟發學生思考：放大圖中的陰影部分，表示的還是0.1嗎？

這樣，表示“0.1”的圖可以不一樣，也可以是同一幅圖“放大”或“縮小”，但變來變去，部分與整體的關系不變，從而突出小數的概念本質. 這里，幾何直觀起到了視覺化、形象化的效果.

幾何直觀同樣可以幫助學生認識分數、百分數等數的意義，如圖4所示.

這里，第一個圖表示了分數的意義，第二個圖表示了百分數的意義，所以，在教學這些概念時，可借助幾何直觀，把抽象的概念變得簡明. 同時，也可以通過幾何直觀設計如上述“國測”之類的習題，以考查學生是否將概念本質掌握到位.

幾何直觀——豐盈計算算理

首先，我們來看一看幾何直觀在計算算理中的應用. 比如，在小數乘法計算教學中，可以通過以下兩種途徑來幫助學生理解計算法則.

以0.15×3為例：

左圖中，將整數1平均分成100份，其中1小格表示0.01，15小格表示0.15，3個0.15合起來是0.45. 右圖中，先將整數1平均分成10份，每份表示0.1，3個0.1合起來是0.3；再將整體1平均分成100份，每份表示0.01，3個0.05，總共合起來0.45. 這里，借助幾何直觀用不同的方式呈現了乘法計算，“數”與“形”實現了完美統一，乘法法則也因此變得豐滿起來.

其次，幾何直觀可以為學生發現計算規律積累經驗. 在2013年全國第十一屆深化小學數學教學改革觀摩交流會中，來自北京的薛錚老師在“積的變化規律”一課的導入部分，就巧妙地運用了幾何直觀.

課中，教師創設了這樣的導入情境：“一只小熊乘著熱氣球以同樣的速度上升，小熊飛2秒、4秒、6秒、8秒，能飛多高？”

如圖6所示，學生在具體情境中感悟到：在速度不變的情況下，上升的高度隨著時間的變化而變化.

在此基礎上，教師提出這樣的問題：“如果10秒、20秒、30秒，乃至更多秒，會怎樣？”引導學生思考其中的“變”與“不變”， 為接下來探索積的變化規律積累經驗.

再者，幾何直觀可以為計算的多途徑提供背景材料，如圖7所示：

左邊的方格圖給學生提供了觀察的背景材料，同時提供了想象的空間，將最底層的5個方格移1個給頂層，這樣，每一層方塊的個數相等（右圖）. 從中，形象地得出了3+4+5=4+4+4=4×3，計算得以多途徑，同時，學生也找到了此類計算的最佳方法.

以上所舉，不管是計算法則，還是計算規律或計算多途徑，本與圖無關，但幾何直觀的介入，使計算的算理得以豐盈. 正如波利亞所說：“圖形不僅是幾何題目的對象，而且對于與幾何圖形一開始沒關系的題目，圖形也是一種重要的幫手. ”

幾何直觀——明晰解題思路

利用幾何直觀，在解決問題時可以使解題思路更加明晰. 張莉老師在“解決問題”一課中，運用幾何直觀，使得一些本來模糊的數量關系直觀、明了.

例題 ？搖每個方陣有8行，每行有10人，3個方陣一共有多少人？

有這樣三種算式：

（1）8×10×3=240（人）；

（2）3×8×10=240（人）；

（3）3×10×8=240（人）.

從題目的條件出發，前兩個算式學生不難表述每一步所求，但第三個算式卻很難用語言表述. 課中，教師及時提供了幾何直觀圖（圖8），使得學生對第三個算式的數量關系一下子就豁然開朗了.

把3個方陣看成1個整體，3×10表示的是整體中一行的人數，再乘8，表示方陣的總人數. 在這里，教者充分發揮幾何直觀在解決問題過程中的作用，利用直觀來描述問題、解釋算理，發展了學生幾何直觀能力和解決問題的能力.

利用幾何直觀，在解決問題中還可以幫助學生將思維變得有序、形象化. 在2013年全國第十一屆深化小學數學教學改革觀摩交流會中，來自安徽的喻巧月老師在“搶數”一課中，也正是通過幾何直觀幫助學生理解，將看不見的“數”轉化為看得見的“形”，一步一步地找到“搶數”取勝的策略.

課中，師生從最簡單的“搶3”開始研究，游戲規則為：兩人從1開始輪流報數，每人最少報1個數，最多報兩個數，誰搶到“3”誰勝. 在明確游戲規則后，師生開始分析并尋找策略，這時課件呈現相配合的線段圖：

學生發現：對方報1個數，我就報2個數；對方報2個數，我就報1個數. 所以后報就一定能搶到3. 線段圖的展示，比單一的、抽象的數來得形象、直觀，便于學生理解、發現、體會、感悟解題策略.

在找到“搶3”取勝策略后，教師繼續通過線段圖啟發學生尋找“搶6”的取勝策略.

這樣，學生通過觀察、比較，發現了“搶6”與“搶3”的聯系，體驗了化歸的方法，并在此基礎上進行猜想：用這樣的方法搶下去，還能搶到幾？這里，“幾何直觀”是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態. （蔣文蔚）

其實，不管是表征數學概念，還是豐盈運算算理，或是探索規律和解決問題，幾何直觀的介入，都是幫助學生滲透相關的數學思想方法，這正是《課標》之要求，也是今后考試評價之標向.