對初中數學問題的直觀性實踐

林松杰

摘要：如何提高學生對初中數學問題的認識，獲得良好的數學教育是每位初中教師都在思考的問題，尤其是在面對學生比較難接受、難消化的函數和幾何問題時，一種好的解題方法就顯得至關重要。本文針對這些問題，從直觀性角度出發，給學生提供一種別樣的解題思路。

關鍵詞：初中數學；直觀性；符號；圖像

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0102

符號、圖像、代數式、方程、解析式等都是數學語言的呈現形式，特別是圖像、符號都比較直觀地表現出數學中許多量之間的關系，在日常教學中，我們應該引導學生運用這些數學語言，直觀地去發現數學問題，并解決此類問題?！稊祵W課程標準》對于第三階段的教學目標特別提到了“初步建立幾何直觀”，當然直觀不是幾何所特有，在“數與代數”領域也同樣需要直觀，這是對于“數學基本活動經驗”的呈現形式之一。筆者根據教學素材有針對性的大膽嘗試，在此以浙教版初中數學為內容，進行一些思考和嘗試。

一、符號的直觀性

學生對于數學中常用的符號要認識清楚，一些細小的變化就代表了不同的含義，特別是七年級新生對于絕對值、相反數、平方根、算術平方根的含義容易出現混淆，我們引入符號后就容易理解相互的區別和聯系。

例. 七年級上冊《3.1平方根》教學中，對于文字表述轉化成數學語言表述強調就容易讓學生理解，如“9的平方根是多少？4的算術平方根是多少？”可以嘗試用再寫一遍“±■=（ ），■=（ ）”這樣就強調了平方根與算術平方根的區別與聯系。

數學符號在“圖形與幾何”領域也存在很多，如垂直（⊥），平行（∥），直角（Rt∠），為了簡潔點我們自己也可以創造一些符號，如角平分線（ ），等腰三角形（ ），從而把題目中的文字大大省略了。八年級上冊等腰三角形復習時，常常對于“三線合一”的性質進行拓展，把這個命題的條件、結論進行變動，出現多個命題的證明，但是對于命題的真正運用不會強調，如果我們對于有些命題進行直觀的符號表示，那對學生學習幾何的意義就不一樣了。如

+⊥ 表示“一個三角形中，一個內角的角平分線與對邊的高重合，那么三角形為等腰三角形”，這一符號表達式就讓學生對于兩線重合圖形一出現就能直觀地找到等腰三角形，大大提高了對于圖像的把握。

例. 在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，E為BC中點，求DE的長。

分析：AD是∠BAC的平分線，又是BD的高，如果延長BD交AC于F，則△ABF是等腰三角形，則D是BF的中點，DE是△CBF的中位線，即DE=1/2CF=1/2（AC-AB）。

我們可以在日常教學中嘗試著試用符號法，讓學生積累活動的經驗。

1. 關系式的直觀性

在初中數學的“數與代數”領域，代數式、方程、不等式、函數占了很大的比重，學生往往在解決問題方面有一定的難度，特別是要找出兩個變量的變化規則，這時用圖解法就能比較直觀地分析出數量關系。因此對于數量關系的建立非常重要。

在初中數學一次函數應用中，學生經常會遇到分段函數的問題，那么該如何讓學生體會到解析式與自變量的取值關系，自覺嘗試用數軸來解決問題呢？特別是一些稅收、醫療費、電費、水費等令學生望而生畏的問題，請數軸來幫忙可能會降低不少難度。

例. 公司員工的收入按規定要交所得稅，標準如下：收入1000元以內不交稅；收入超過1000元，而不超過1500元部分的稅率是5%；收入超過1500元，不超過3000元部分的稅率是10%?，F在知道小李的月收入是1850元，小張的月收入是2750元，問小李和小張各應繳納多少所得稅。

分析：通過在數軸上展示工資與交納的稅率之間的關系，可以讓學生一目了然。

上交稅費 0元 0-25元 25-175元

解：小李：（1850-1500）×10%+25=60元

小張：（2750-1500）×10%+25=150元

答：小李上交60元，小張上交150元稅費。

在題解的過程中用25元去代替工資中的1500元，從中讓學生體會到分段函數的解析式與自變量范圍的關系，從而找出這類問題的實質及解題方法。反之，已知某人上交稅費數量去計算此人的工資，我們也可以通過上交稅費的范圍得出工資的范圍。通過數軸的幫助形象直觀地展示了工資與稅費之間的關系。

例. 八年級下冊《2.3一元二次方程的應用》教學過程中，對于例1的分析筆者作了圖示法。

某花圃用花盆培育某種花苗，經過試驗發現每盆的盈利與每盆的株數構成一定的關系。每盆植入3株時，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元。要使每盆的盈利達到10元，每盆應該植多少株？

分析： 每盆株數 單株利潤

基準 3 3

新的水平 （3+x）株/盆 y=（-0.5x+3）元/株

每盆盈利=（-0.5x+3）×（3+x）=10

圖示法比較直觀的分析出題意中所涉及的數量關系，同時也能直觀地看出變量之間的關系，這一種方法同樣在解決二次函數問題中非常有用，可以大大提高學生對于數學問題本質的理解，同時也可以根據圖示中的信息對新的問題進行思考與拓展，發現新的數學問題。

2. 圖像的直觀性

函數圖像能比較直觀地反應兩個變量之間關系，我們在函數教學中應該強調圖像的作用，讓學生從圖像中去發現求二元一次方程組的解、一元一次不等式（組）的解、一元二次方程的解等問題與函數圖像交點坐標之間的關系。

例. 九年級上冊《1.3反比例函數的應用》教學中安排了用純圖像解決問題的例題。

如圖，一次函數y=kx+b的圖像與反比例函數y=■的圖像相交于A、B兩點，

（1）利用圖中條件，求反比例函數和一次函數的解析式

（2）根據圖像寫出使一次函數的值大于反比例函數的值的的取值范圍；

分析：函數圖像上的點坐標滿足函數解析式，因此容易得到m=-2，則n=-2，由此得到A（-2，1），B（1，-2），再得到一次函數解析式。問題（2）的解決用圖像就能直觀地寫出，-2

圖像的直觀性對于求比較復雜的方程解的個數或符號問題幫助更大，利用等式的性質對一些方程進行變式，轉化成兩個函數交點坐標問題。

例. 九年級上冊《2.4二次函數應用3》教學內容

利用二次函數的圖象求方程x2+x-1=0的近似解。

分析：（方案一）設y=x2+x-1，則方程的解就是該函數圖像與x軸交點的橫坐標?？梢援嫵霾輬D，求出近似解。

我們還可以引導學生進行思考，轉化成更基本的函數模型，提出方案二，移項得x2=-x+1到設y1=x2，y2=-x+1，兩個基本函數在同一坐標系中交點的橫坐標的近似值就是原方程的近似解。自然還會產生方案三、方案四，我們可以讓學生比較方案的最優化問題。

本題的講解過程中，我們可以用幾何畫板軟件進行輔助教學，直接在平面直角坐標系中進行操作，學生就可以直觀地看到交點及方程解。

初中數學的學習是一種對數學現象的理解，有許多問題都是從表象中去發現數學問題及數學本質。我們應該大膽嘗試，引導學生對數學問題進行直觀的猜測和嚴密地推理，提高學生對數學問題的認識，獲得良好的數學教育。

參考文獻：

[1] 姚愛斐.數軸讓解題更直觀[J].中學數學教學參考：中旬，2009（11）.

（作者單位：浙江省慈溪市勝山初級中學 315300）