函數新干線

杜正穗

【摘要】函數是攻克數學知識體系的利器并一貫是中學數學的核心內容，但非常遺憾它也是學生感到最難學的內容，而且一直沒有得到很好的解決。本文力求用有限的篇幅，通過例題，梳理解題思路，對函數知識進行綜合性的、創造性的應用，以有效地激發學生的思維品質和學習潛能。

【關鍵詞】函數 方法 思路

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）04-0125-02

從20世紀初函數開始進入中學數學，德國數學家菲利克斯·克萊因提出了一個重要的思想——以函數概念和思想統一數學教育的內容，這足見“函數”的重要地位。其觀點和方法貫穿高中代數的全過程，同時應用于幾何問題的解決，由于其邏輯嚴謹性、抽象性、靈活性，學習中會給學生帶來各種各樣的障礙性問題，所以教學方面就必須做到科學化、具體化、形象化。

一、科學化

以函數為綱“綱舉目張”—— 抓住了函數這個“綱”就能帶動學習數學的“目”，以函數為中心進行分類學習，既可將其聯系到一起又能對各章的特點、控制點運用自如：

若涉及三角形ABC中，用正弦定理或余弦定理配合轉化成全部邊長或全部三角分析即可。例4：已知△ABC中，角A、B、C分別對應邊長a、b、c，且mc2=a2+b2，cotC=（cot A+cot B）×1006，求實數m的值，這道題學生會被未知數和復雜的結構嚇住，對第二等式余切轉化成余弦/正弦，利用正弦、余弦定理把所有角轉化成所有邊長整理得a2+b2=2013c2。由相對集中原則把第一等式代入得mc2=2013c2，就獲得m=2013。如此通過少量的題目，掌握知識精髓是學生學好數學最重要的法寶。

3.數列（有規律函數）an=f（n），（n∈N+），以等差、等比數列這兩種基本數列為載體，攻擊通項、求和等內容。數列內容是方法運用型最典型的代表（公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、歸納法、并項法、遞推法、對稱法、類比法……），面對問題不局限于一種思路，而是善于靈活變通獨自開啟新思路，既要有縝密的數學思維，又要有主動探究、敢于猜想的創新精神，與實際生活聯系編制適量新穎題和能力題，提高學生動腦、動手能力和創新思維能力。

4.解析幾何（非典型函數）f（x，y）=0，利用曲線（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線）定義進行線段與線段之間轉化或把握點與點之間轉移獲得有效關系式，運用避實就虛策略可以避免繁瑣的運算，突破難點。具體而言，避實就虛包括兩個環節：（1）選擇：選擇合適的公式、合適的參變量、合適的坐標系等；（2）回避：根據題設的幾何特征，靈活運用曲線的有關定義、性質等，避免化簡方程，求交點、解方程等復雜運算。如：點差法、設而不求都是具體回避措施。例5：設拋物線x2=3y上兩點A、B 的橫坐標剛好是方程x2+px+q=0（p和q為實數）的兩個實數根，求直線AB的方程。解題中虛設二點A（x1，y1）、B（x2，y2）后，由x21=3y1且x21+px1+q=0相減得px1+3y1+q=0，同理px2+3y2+q=0，說明直線px+3y+q=0經過不共線的A、B兩點就破題。

二、具體化

函數主線鋪好后，必須控制好每個獨立知識裝備，通過反復磨練從而實現知識系統化，進而聯系到實用性和實效性。以函數最值類似問題為例，主要進攻方式有（1）配方法（2）放縮法（3）性質法（4）幾何法（5）換元法（6）判別式法。函數最值問題也是高中階段難點之一，通過控制自變量范圍，獲取其單調性破解，也是結構不等式被攻克的有力武器。

1.主角：（1）配方法：針對一元二次結構進行攻擊；（2）放縮法：針對單調不一致，范圍與結構可協調進行攻擊；（3）性質法：利用函數的靈魂單調性確定后進行攻擊，其攻法幾乎做到無堅不摧，只是有時比較繁瑣，適度選用。以上三大方法是代數函數的頂尖武器，各有所長，也有共性。

三、形象化

圖形是無聲的語言，其直觀性可使學生一目了然，重要性無疑不言而喻，在數學學習中，數與形的中樞紐帶就是中場靈魂——平面向量。

“動弦別曲，葉落知秋”，“舉一明三，目機銖兩”——聯系到解題，主要是指從題設中捕捉有用的信息而從局部的突破到整體的豐收，函數問題往往從不同角度創設或轉換題目的設問方式，都能有效地考察學生的思維品質和學習潛能。