妙用猜想 激活思維

唐恒安

【摘要】 數學猜想是一種數學想象，合理恰當地運用猜想可以鍛煉學生的數學思維，培養學生的創新能力. 本文結合教學實例，論述了在初中數學教學中學生猜想思維的培養策略，以求迸發出智慧的火花.

【關鍵詞】 初中數學；猜想；思維

牛頓曾說過：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現. ”猜想是一種想象，是人的思維依據已知的原理和公式，在探索未知的規律、本質時的一種策略. 眾所周知，數學為我們提供了一些學習證明推理的好機會，合理恰當地運用猜想，可以激發學生的學習興趣，啟發學生大膽思維，讓學生的邏輯思維在“先知先覺”的猜想中得到飛躍和升華. 下面筆者結合教學實例，談談如何在初中數學教學中培養學生的數學猜想思維，以帶領學生從猜想的角度探尋數學知識的奧秘.

一、通過直觀形象，提出猜想

形象材料的最主要特征是具體性、直觀性，借助于事物的形象（表象），引導學生聯想和想象，讓學生在直觀形象中發現問題，形象伴隨著思維，一表一里，相得益彰. 因此，教師可以借助直觀的圖形、數學模型等，通過啟發誘導，充分調動中學生利用表象進行思維，進而為學生直觀生動地建立數學概念.

例如在講等腰三角形“兩個底角相等”這一性質時，我首先讓學生拿出課前準備好的等腰三角形紙片并進行大膽猜想：這個三角形的底角大小是否相等？學生通過直觀的形象，很容易猜想出等腰三角形的兩個底角相等，并通過用量角器量、對折等方式進行了驗證. 為了讓猜想具有一般性，我再次利用多媒體技術去驗證學生的直覺推斷能力：如圖1所示，拖動鼠標，通過使等腰三角形的頂點垂直上下移動，底邊兩個端點同時左右移動，而隨意改變等腰三角形的外形，再通過計算機的測算功能驗證了等腰三角形的兩個底角相等. 同理，猜想并驗證“等腰三角形三線合一”的性質.

通過讓學生以直觀形象先猜測結果，再去驗證，這種猜想尤其適合平面幾何，能有效調動學生學習的積極性，提高教學效果.

二、通過類比，提出猜想

我國古代數學家劉徽說過：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發其一端而已. ”類比猜想是將兩個本質相同的對象進行類比，找出它們類似或相同的規律，這是解決問題的有效捷徑，有利于提高學生舉一反三、觸類旁通的靈活應變能力.

例如有道題目如下：已知a2 + 2a - 1 = 0，b2 + 2b - 1 = 0，且a ≠ b，求ab + 2a + 2b的值. 初看這道題目，很多學生都似乎無從下手，感覺解題過程會很繁瑣. 但如果能引導學生仔細觀察，利用類比、聯想，將原問題轉化為類似問題來解決，便能從已知條件中聯想到一元二次方程的根與系數的關系，從而產生新思路：構造一個以a和b為根的一元二次方程x2 + 2x - 1 = 0，根據韋達定理，a + b = -2，ab = -1，代入原式ab + 2a + 2b = ab + 2（a + b） = -1 + 2 × （-2） = -5. 通過類比，使學生快速地解決了問題，也有利于學生形成知識網絡，遇到類似問題時也能做到舉一反三、觸類旁通.

三、通過歸納，提出猜想

歸納是對考察的對象進行比較和綜合，通過歸納，學生可以對隱藏在其中的某些可能存在的規律提出大膽猜想，把個別事物的特征上升到一類事物特征，再用一般特征去指導個別事物的特征，使學生建立起一種比較牢固的新型的解題方法.

例如在進行“平行四邊形”的教學中，我引入了這樣一道題：根據圖2所示的三個圖所表示的規律，依次下去，第n個圖中平行四邊形的個數是多少？

學生開始仔細觀察起來，第一個圖中共有6個平行四邊形，第二個圖中共有18個平行四邊形，第三個圖中共有36個平行四邊形. 依據這個規律，學生根據平行四邊形的定義進行歸納并猜測每個圖形中平行四邊形的個數可用3n（n + 1）來表示，得到一般規律. 然后通過自畫圖形，驗證了這一猜想，第n個圖形的平行四邊形個數3n（n + 1）與圖號的關系式.

四、通過逆向思維，提出猜想

有時候，循著某一固定思路解決數學難題，會屢遭失敗，我們不妨沿著相反的方向進行思考，會有“柳暗花明又一村”的感覺，這就是逆向思維，也有人稱之為“倒過來想”，這是一種重要的思考能力，能啟迪學生智慧，開拓學生的思路.

例如：如圖3所示，已知圓環的外圓半徑R = 7.5，內圓半徑r = 2.5，求圓環的面積S. 對于這道題目，可逆用平方差公式求圓環的面積S = πR2 - πr2. 再比如化簡（ - ）（ + ）這一題，也可以通過逆用公式 = |a|來進行求解. 已知am = 3，an = 2，求a3m+2n的值，這一道題同樣也可以通過逆用冪的運算性質進行求解，即：a3m+2n = a3m×a2n = （am）3 × （an）2.

通過引導學生擺脫固定的思路和習慣去逆過來思考，提出猜想，并從反面去思考和解答應用問題，能讓學生從不同的方向去思考和理解問題，可以培養學生合情的發散思維，激發學生主動探索、積極思維的潛在能力.

總之，猜想是數學活動不可或缺的重要方法，對學生創造性思維的發展有著十分重要的作用. 我們要以扎實的基礎知識為依據，適時引導并教給學生必要的數學猜想規律和方法，把論證式推理和推測式推理有效結合起來進行數學猜想，才能帶領學生從猜想的角度探尋數學知識的奧秘！

【參考文獻】

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