例析探索規律型問題

朱兵

【摘要】 近年來有關規律探索型題目在初中數學中考試題中頻繁出現，這類題目要求學生學會觀察，懂得分析，善于歸納、總結，不僅有利于促進學生數學知識和數學方法的鞏固和掌握，也有利于學生思維能力的提高和自主探索、創新精神的培養.

【關鍵詞】 規律型；初中數學；探索型；解決；歸納；總結

近年來，探索規律型的題目成為數學中考的一個熱點，目的是考查學生觀察分析及探索的能力. 題目分為題設和結論兩部分，通常題設部分給出一些數量關系或圖形變換關系，通過觀察分析，要求學生找出這些關系中存在的規律. 這種數學題目本身存在一種數學探索的思想，體現了數學思想從特殊到一般的發現規律，是中考的一個難點，越來越引起考生重視. 本文就這類題目加以歸類解析.

一、數字規律探索型

此類問題一般是有規律地呈現一組數字，為便于發現規律，常可將每個數字化為有規律的等式，并通過豎排易于用代數式、方程、函數、不等式等數學模型表示事物的數量關系、變化規律的過程.

例1 觀察一列數3，8，13，18，23，28，…，依此規律，在此數列中比2000大的最小整數是 _____ .

分析 觀察數列，可發現規律：后一個數比前一個數大5，故3 = 3 + 5 × 0；8 = 3 + 5 × 1；13 = 3 + 5 × 2，18 = 3 + 5 × 3， …，第n個數為3 + 5（n - 1） = 5n - 2，所以5n - 2 > 2000，解得n > 400.4，則答案為5 × 401 - 2 = 2003.

二、數式型規律探索型

此類問題一般是給定一些代數式、等式或不等式，猜想其中蘊含的規律，一般解法是先寫出代數式的基本結構，然后通過橫比（比較同一等式中不同的數量關系）或縱比（不同等式間相同位置的數量關系），找出部分特征，寫出符合條件的等式.

例2 觀察下列各式：2 × 4 = 32 - 1，3 × 5 = 42 - 1，4 × 6 = 52 - 1，…，10 × 12 = 112 - 1，…，用關于n的等式表示這個規律： _____ .

解析 觀察等式，可發現規律：等式左邊是兩個連續偶（或奇）數的積，右邊是夾在這兩個連續偶（或奇）數中間的奇（或偶）數的平方與1的差.故n（n + 2） = （n + 1）2 - 1（n 為大于等于 2的正整數）.

三、幾何變換規律探索型

此類問題一般是有規律地呈現一組圖形，讓學生首先觀察圖形，從中發現圖形的變化方式，再將圖形的變化以數或式的形式反映出來，從而得出圖形與數式的對應關系，總結出圖形的變化規律，進而解決相關問題.

例3 已知△ABC的面積為1，連接這個三角形各邊中點得到一個小三角形的面積為，又連接這個小三角形各邊中點得到一個更小的三角形的面積為，……如此繼續下去，到第n次這樣作出的三角形的面積為 _____ .

解析 利用相似三角形的性質，面積比等于相似比的平方，那么每次分出的小三角形和前一個三角形的相似比為，到第n次這樣作出的三角形和原三角形（面積為1）的相似比為n，因此它的面積為n2 = n.

四、循環排列規律探索型

此類問題一般是將數字循環排列起來，其中隱含著一定的規律. 規律的挖掘和表征是解決問題的關鍵.

例4 如圖1，在直角坐標系中，已知點A（-3，0），B（0，4），對△OAB連續作旋轉變換，依次得到△1，△2，△3，△4，…，則△2013的直角頂點的坐標為_____ .

解析 此題是對點的坐標變化規律的考查了，難度不大，仔細觀察圖形，得到每三個三角形為一個循環組依次循環是解題的關鍵，也是求解的難點. 根據勾股定理列式求出AB的長，再根據第四個三角形與第一個三角形的位置相同可知每三個三角形為一個循環組依次循環，然后求出一個循環組旋轉前進的長度，再用2013除以3，根據商為671可知第2013個三角形的直角頂點為循環組的最后一個三角形的頂點（8052，0）.

五、數形結合規律探索型

此類問題一般是以呈一定規律發展的圖形為載體，解題時應根據圖形的結構猜想其數量上的變化規律，再由這種規律確定問題答案. 解決此類問題需要把圖形中有關數量的變化規律“數學化”地準確表達出來，再推到計算.

例5 在圖2中，每個圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規律堆疊而成，照此規律，第10個圖案中共有 _____ 個小正方形.

解析 觀察圖案不難發現，圖案中的正方形按照從上到下成奇數列排布，寫出第n個圖案的正方形的個數，然后利用求和公式寫出表達式，再把n = 10代入進行計算即可得解. 如第1個圖案中共有1個小正方形，第2個圖案中共有1 + 3 = 4（個）小正方形，第3個圖案中共有1 + 3 + 5 = 9（個）小正方形……第n個圖案中共有1 + 3 + 5 + … + （2n - 1） = = n2（個）小正方形，所以，第10個圖案中共有102 = 100（個）小正方形.

從上述求解過程中不難發現，規律探索型問題中，一般隱含著某種規律或數學關系，解決此類問題，需要運用歸納、猜想、合情推理等思維方法. 因此，數學教學中，教師應該注意培養發現關系和揭示的能力，這也是數學思維能力的重要組成部分.