函數思想方法在中學數學教學中的應用

黃煥先

【摘要】 函數是數學的一個重要概念，函數思想是中學數學教學的重要思想，而函數思想方法則是解決數學問題的重要方法. 本文探討利用函數思想方法在中學數學教學中的應用.

【關鍵詞】 函數；函數思想方法；初中數學

函數概念，首先出現在初中數學課本. 初中課本對函數概念是這樣描述的：“設在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果對于變量x的每一個確定的值，變量y都有唯一確定的值與它對應，那么就說，x是自變量，y是x的函數.”

函數概念的出現，開始了變量教學的新起點，打破了在此之前的常量教學的舊格局，許許多多的數學問題都可以利用函數概念來解析，利用函數思想方法來處理，甚至對于一些數學難題，一旦用上了函數思想方法，即迎刃而解，達到非常好的效果. 因此，我們必須十分重視函數概念的教學，重視函數思想方法的應用.

一、函數思想方法的特性

函數思想方法，就是用運動和變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，通過函數的形式，把這種關系表示出來并加以研究，從而獲得問題的解決辦法. 函數思想方法，作為中學數學的思想方法，它具有以下特性：

1. 函數概念的抽象性引起函數思想方法的復雜性

函數概念，體現一個變量與另一個變量的一種對應，也體現一個集合到另一個集合的一種映射，在初中數學來講，則是一個變數與另一個變數的一種關系. 什么叫對應，什么叫映射，什么叫關系，對初中生來說，是非常陌生的，這些抽象詞匯，造成了學生對函數概念理解上的困難. 因此，函數思想方法作為函數概念的外延，就顯得非常復雜了. 一個連函數概念都不理解的人，怎么能掌握函數思想方法呢？函數與圖像的親密對應，引發了數形結合方法；函數的等價變換，引發了化歸思想方法；還有其他的，如換元法、配方法、綜合法、分析法等. 正確認識函數思想方法的復雜性，使教師更加重視函數概念的教學，更加重視函數思想方法的研究，提高教學的責任心.

2. 函數概念的生活性引起函數思想方法的廣闊性

函數概念雖然很抽象，但函數的具體應用卻滲透到我們生活中的各個領域. 可以說，我們的生活離不開函數，我們的每一個生產活動也離不開函數，許多關于數量的科學研究問題，只有引入函數才能表達清楚. 生活中的每一個問題，只要引入變量，就可以與函數聯系起來，而函數的變化千姿百態，目不暇接，于是，就產生千姿百態的函數思想方法. 例如初中數學的路程問題、濃度問題、一次方程和二次方程的解法問題，高中數學體現在生產中的增產節支問題、生產的成本核算問題、一次不等式和二次不等式的求解問題、解三角形問題、面積問題、體積問題等，都可以引入變量，轉變為函數問題. 這一轉變，使人們的函數思想方法打開了更為廣闊的前景，解決問題思路也就左右逢源.

3. 函數變化的奇異性引起函數思想方法的多樣性

函數的變化經常出現奇妙的效果，三角形的邊與角的關系通過三角式聯系得天衣無縫，懂得了這些道理，不上山者能測山高，不過河者能測河寬，就顯得不足為奇了. 二次函數與拋物線的聯系也是如膠似漆，看見二次函數就應該想到拋物線，看見拋物線也應該想到二次函數，二次函數的變化便引起拋物線的運動，而拋物線的運動又使二次函數變得奇異無窮. 一次函數與直線的關系也是如此，一次函數的變化與直線的運動，引出許多美妙的數學問題，呈現出多姿多彩的思維效果. 本來是生活中的實際問題、如產值最大問題、原料最省問題，還有生產設計問題、最優決策問題，列出了函數，掌握了函數與函數圖像的變化規律，那么，解決問題就如囊中取物.

二、函數思想方法在初中數學教學中的應用

函數概念是初中數學概念的靈魂，函數思想方法是數學方法的主線，它能把數學概念、數學命題、數學原則、數學方法貫穿起來，使得數學內容達到更高層次的和諧與統一. 因此，函數概念和函數思想方法在初中數學教學中起到了統帥的作用. 數學教師若能抓住函數思想方法這條主線，再把其他思想方法連貫起來，應用于教學的各個環節，可以肯定地說，教學效果是很好的. 我們在這方面作了一些有價值的探索.

1. 函數思想方法應用于數學教學的全過程

函數的概念是動態的概念，函數思想方法是一種動態的思想方法，這正符合動態式的數學教學的要求. 引進函數概念之后，實現了數與點的結合、函數與圖形的結合，還實現了數與形的靈活轉換、符號語言與圖形語言的靈活轉換. 我們要幫助學生從局部的、靜止的、割裂的認知結構中解放出來，學會運用動態的、變化的、聯系的觀點來理解數學知識，這乃是提高數學質量的重要途徑. 正是考慮到動態教學的新理念，于是，應該把體現動態思想方法的函數思想方法應用于教學的全過程，在課堂教學、課外作業、科研輔導等教學環節，只要能用函數思想方法來處理的，都應運用. 這需要毅力，需要創造，需要教師從現有教材中挖掘與函數概念有關系的數學知識點，然后考慮運用函數思想方法解決它.

例1 若關于實數x的不等式（k2 - 2k - 3）x2 - （k - 3）x - 1 < 0恒成立，求k的取值范圍.

這不是一個簡單的一元二次不等式，而是已知這個不等式恒成立，反過來求k的取值范圍. 這與函數概念有關嗎？誠然，不等式的左邊可以看做關于變量x的函數，記為y = （k2 - 2k - 3）x2 - （k - 3）x - 1，它的圖像是拋物線，按題意，不等式恒成立，也就是說，函數值y恒小于零，則函數的圖像，即拋物線總在x軸的下方，并且與x軸沒有交點. 根據拋物線的這個特點，可以確定，拋物線開口向下，二次項系數a = k2 - 2k- 3 < 0，又可以確定，拋物線全部落在下半平面，與x軸沒有交點，則二次方程沒有實數根，Δ = （k - 3）2 + 4（k2 - 2k - 3） < 0. 這是一次成功的轉化，把題意轉化為解下列不等式組：

a = k2 - 2k - 3 < 0，Δ=（k - 3）2 + 4（k2 - 2k - 3） < 0

（k + 1）（k - 3） < 0 ①（5k + 1）（k - 3） < 0 ② - < k < 3.

故k的取值范圍是- < k < 3.

這個數學問題的解決，確實是運用了函數思想，把不等式問題轉化為函數問題，再把函數問題轉化為圖形問題，最后又把圖形的特征轉化為另一個不等式組的計算，這樣的一條龍似的解題過程相當流暢，不僅充分體現了函數思想與方程思想、數形結合思想、轉化思想的高度統一，同時也是函數思想方法解決問題的一個典型范例.

例2 已知（1 - 2x）7 = a0 + a1x + … + a7x7，求代數式a1 + a2 + … + a7的值.

這個問題初中生能解決嗎？初看起來，有點像二項展開式，是高中的問題. 按高中知識來做，那就得把左邊按二項式定理展開，對比兩邊系數，分別求出a1，a2，…，a7的值，最后把它們加起來，就得代數式a1 + a2 + … + a7的值，難度不小啊！

認真觀察一下，這也是一個函數問題. 把已知問題看做函數，記為y = （1 - 2x）7 = a0 + a1x + … + a7x7.

當x = 0時，y = （1 - 2 × 0）7 = a0 = 1；

當x = 1時，y = （1 - 2 × 1）7 = a0 + a1 + … + a7 = -1，

所以a1 + a2 + … + a7 = （a0 + a1 + … + a7） - a0 = -1 - 1 = -2.

一個看起來似乎是高中的數學問題，用了函數思想方法，卻變成了初中生也能接受的數學問題. 函數思想方法的功能不小啊！

2. 函數思想方法要與其他數學知識緊密結合

函數思想方法確實是解決數學問題的有力武器，但絕不是萬能武器. 不是說所有數學問題都能用函數思想方法解決，而是說，凡能轉化為函數問題的，就應該盡量轉化. 這也體現函數概念與其他數學知識的緊密結合.

3. 函數思想方法應用于解決實際數學問題

我們的生活空間是一個巨大的數學空間，生活中的每一個實際問題大都能轉化為數學問題，其中相當大的部分可以用函數思想方法來處理. 為了強化函數思想方法的應用，更為了培養學生運用函數思想方法解決實際問題的能力，讓學生學會解決身邊發生的經濟問題，學會解決經濟發展過程中的一些社會問題. 為此，我們應該努力創設良好的學習環境，使學生在學習中得到鍛煉.

例3 數學競賽隊的3位教師和若干名參賽學生準備乘飛機到北京參加全國性比賽，按當地飛機票價，乘飛機往返每人需交3000元. 但民航服務站對師生乘坐飛機有優惠的臨時規定：第一種優惠方案是教師買全票，學生買半票；第二種優惠方案為師生一律按六折優惠購票. 你認為，應采取哪一種優惠方案？

這是發生在學生身邊的與經濟有關的生活問題，采取哪種方案，當然應以節約為原則，哪種方案為競賽隊節約開支，就采取哪種方案. 考慮把旅費與學生人數建立函數關系，若設學生人數為x，兩種優惠方案的旅費分別為y1和y2，則

y1 = 3000 × 3 + 1500x = 9000 + 1500x，

y2=3000 × 0.6 × （x + 3） = 1800 × （x + 3）.

y1 < y2 ？圳 9000 + 1500x < 1800x + 5400 ？圳 x > 12；

y1 > y2 ？圳 9000 + 1500x > 1800x + 5400 ？圳 x < 12；

y1 = y2 ？圳 9000 + 1500x = 1800x + 5400 ？圳 x = 12.

當學生人數多于12人時，采取第一種優惠方案；當學生人數少于12人時，采取第二種優惠方案；當學生人數等于12人時，采取哪種優惠方案都可以.

函數思想方法在解決數學問題中的確起到非常重要的作用，我們應加強這一方法的教學探討和學習訓練，把數學教學推向新水平.

【參考文獻】

[1]顧繼玲，章飛.初中數學新課程教學法[M]：第一版.北京：開明出版社，2003.

[2]曾國光.中學生函數概念認識發展研究[J].數學教育學報，2002，11（2）：99.