初中數學幾何圖形變化與分類案例分析

楊彥

【摘要】 初中數學中的幾何圖形教學具有很強的規律性，教師在授課時應該根據圖形變化進行分類討論，從而有助于學生更快更容易地理解和吸收知識. 本文按照幾何形狀、圖形、位置的變化分類進行討論，并且在教學課堂上不斷地慢慢深入，對圖形分類中出現的問題進行分析和總結.

【關鍵詞】 初中數學；幾何圖形；圖形變化；分類討論；分析

一、引 言

新課標要求學生學習幾何知識時能從原來比較復雜的各類圖形分解出最基礎的圖形，要學會理解圖形中的各元素及圖形整體之間的關系，并根據最直觀的感覺來思考問題. 本節課是初中幾何數學一堂專門的復習課，教師根據學生平常考試和作業中涉及的、比較容易引起錯誤的習題進行歸類和討論，最后在教學課堂上講課時不斷地慢慢深入，對圖形分類中出現的問題進行分析和總結，引導學生加深對幾何圖形的印象，并就根據什么規律如何分類進行討論，從而把復雜的圖形題分類歸納成最基本的圖形，從而更有效地解決此類問題，培養學生敢于探索發現和創新的精神，以及求實、嚴謹的科學態度. 本文列舉了三角形的周長問題、圓心距問題、圓的切線問題、復雜圖形證明問題四個方面，并舉例題來討論幾何圖形的變化與分類問題.

二、教學設計——圖形問題導入

在數學教學中，教師要引導學生對一些圖形進行探討，對其中一些相同或是類似的圖形加以分析、對比、歸納及最后進行總結. 為此，在教學中的重點是教師要鼓勵學生充分利用和挖掘出日常生活中圖形變化的規律，并對造成這種現象和規律的原因分析探討，最后尋找這類圖形的相同點，那么學生解題就變得更加容易了. 例如，在初識幾何圖形的課堂中可以進行如下方式導入：

T：同學們寫作業的時候用過方格紙作業本嗎？S（大家異口同聲）：用過.

T：大家有沒有注意觀察作業本的方格紙是什么形狀呢？我們現在投影儀屏幕上有一張作業本的方格紙（打出幻燈片），同學們看這個紙片是由什么樣的圖形組成的？S：由很多個小正方形組成.

T：我拿出了其中的一部分（詳見圖1），我請同學們數一下投影儀屏幕上所示的正方形有多少個？S：共有8個.

T：同學們你們是怎樣數出來的，而且是能保證正方形的個數不多不少？S：可以分成邊長為1和邊長為2的正方形，然后數數每種不同邊長的正方形分別有多少個，最后把這兩種正方形相加起來就可以了.

T：同學們講得很好，剛才這個方格紙的例子就是數學幾何中的簡單分類了，這就是對圖形的最基礎的分類討論.T：那么再數數看有幾個長方形呢？S：共有10個，可以把長方形分為三種，分別是寬為1，長為2；寬為1，長為3；寬為2，長為3，這三種類型的矩形，而后相加得出結果.

T：分類的標準應該是統一規范的，既不能重復，也不能遺漏. （評：學生通過對簡單圖形的識別，體會分類討論的標準與原則，初步認識到分類討論的必要性. ）

教學點評：此案例采用的是問題圖形導入法，首先在課堂上采用生活中常見的圖形來拋出問題，激發了學生對該幾何圖形的回想，不僅加深了學生對圖形印象，而且達到引起學生興趣的效果；然后拿出具體圖形讓學生進行識別，同時導入分類討論的思想，不僅使學生易于理解，更在潛移默化中灌輸學生“分類討論”這種數學中非常有用的思想方法，從而達到事半功倍的效果.

三、案例教學

1. 三角形的周長問題

例1 已知一個三角形為等腰三角形，且它的兩條邊長分別是3厘米和5厘米，請問：這個三角形的周長是多少？

S：周長分別是11厘米和13厘米.

T：為什么會出現兩個答案呢？S：因為這個等腰三角形的兩條一樣長的腰長沒有確定下來，可以是腰長為3厘米，也可以是腰長為5厘米，所以最后結果不同.

T：同學們講得非常好，因為三角形的三邊沒有確定，所以三角形的形狀大小也會發生變化.

教學點評：在平時做題中學生經常會犯“固定思維”的錯誤，說到等腰三角形很多人只會把它固定到某一種，而實際中“腰長”和“底邊”并沒有確定下來，因此不管是“3”還是“5”都有可能是“腰長”或者“底邊”，但是此題也要考慮一種情況，如果兩條邊長分別是2厘米和5厘米，那么就只能有“腰長”是5厘米一種情況了，因為如果“腰長”是2厘米的話，那么另一“腰長”也為2厘米，此時“2 + 2 < 5”不符合三角形規律（三角形兩邊之和大于第三邊）.

2. 圓心距問題

例2 已知兩個圓的半徑分別為6厘米和9厘米，如果這兩個圓相切，那么圓心距為多少？

S：內切是0，外切是15厘米.

T：為什么有兩種結果？S：因為圖形的位置沒有確定，我們不知道兩個圓是內切還是外切.

T：為什么要對幾何圖形進行分類呢？那是因為：

（1）幾何圖形形狀不唯一確定.

（2）幾何圖形位置不唯一確定.

教學點評：在解題中因為幾何圖形位置不唯一確定，而且幾何圖形形狀也不唯一確定，因此通過對幾何圖形的研究，使學生深刻理解對幾何圖形進行分類的原因，同時通過對分類的原因進行研究，初步學會怎樣進行分類.

3. 圓的切線問題

例3 如圖2，半圓O的直徑ED = 12厘米，△ABC中，已知∠ACB = 90°，∠ABC = 30°. 半圓以2厘米每秒的速度由左邊向右邊滑動，在運動過程中，點D和點E始終都保持在直線CB上滑動，假設運動時間為t，且已知OC = 8厘米. 試問：當t為何值時，△ABC一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？

T：兩種圖形保持相切的關系有哪幾種？

S：有四種關系，分別是線段AC和直線AB與圓左邊相切和右邊相切.

T：解題時同學們應注意圓心O在移動時候圖形中位置的變化關系，考慮周全.

教學點評：在拿到此題時“兩種圖形保持相切的關系有哪幾種”，首先要考慮到圖形相切的定義，在圓與圓的關系中，相切定義既有內切關系也有外切關系，因此，審題時首先考慮到“內切”還是“外切”，在不能確定的情況下就要分為兩種情況來討論了；而本題中是考查直線與圓的位置關系，那么只有一種切線關系了，但是本題不同的是，本題中有“三條線段”，因此解答時應注意圖形移動時到底是與線段AC，AB，還是BC相切.

4. 復雜圖形證明問題

例4 如圖3 ，已知在四邊形ABCD中，AC = BD，∠1 = ∠2，求證： ∠CDA = ∠DCB.

T：根據已知條件我們可以知道AC = BD，∠1 = ∠2. S：是的.

T：我們可以從圖3中看出線段AB是△ABD和△ABC的公共邊，那么我們可以根據學過的三角形證明定理中的哪一個，得出這兩個三角形的什么關系？S：根據三角形邊角邊（SAS）定理，我們知道△ABD和△ABC這兩個三角形全等.

T：因為這兩個三角形全等，所以對應角∠ADB和∠ACB也相等（分析： 根據基本圖形的總結歸納，學生很容易發現例4圖形中包含著軸對稱型的全等三角形，所以學生能夠證明哪幾個三角形會是全等，明確目標后就能準確進行答題，從而提高答題的效率）.

教學點評：很多同學在初拿到此題時會覺得無從下手，因為題設中給的AC，BD和∠1，∠2與要證明的∠CDA，∠DCB貌似沒有任何關系. 但是仔細看圖形就會發現，∠CDA = ∠CDB + ∠BDA，∠DCB = ∠DCA + ∠ACB，因此，只要證明∠CDB = ∠DCA，∠BDA = ∠ACB即可，在圖形中，△ABD和△ABC有一個公共邊AB，因此可以通過這個公共邊來求出△ABD ≌ △ABC，同樣方法求出△DCB ≌ △DCA，因此可以證明∠CDB = ∠DCA，∠BDA = ∠ACB. 此題給我們的經驗是，在幾何圖形中當要求解的問題與題設沒有明顯的位置關系時，可以把要求解的問題拆分成一些基本的幾何圖形，根據基本圖形中相對簡單的圖形關系來探索解題思路，化繁為簡，從而完成求解.

四、總 結

圖形分類討論是一種十分靈活而又重要的解題法，它最關鍵的思路就是明確討論的原因及相關的方法，就是要明白為什么去討論，怎么去討論. 只有思路清晰，那么心中就會有解題框架，答題就會條理分明，過程就能嚴密完整. 通過研究教學過程和效果，學生普遍能學習領會如何根據幾何圖形進行變化分類，但是在遇到一些復雜情況時，很多學生的分析還是不容樂觀的，經常產生遺漏和重復討論的現象. 另外，在實際教學中作者還發現很多學生在畫圖能力、空間想象能力、圖形變化的操控能力等方面比較薄弱，這也是當今教育者在教學上需要改進的地方.