《垂直于弦的直徑》設計感悟

張德玲

摘要：生活中的數學問題稱之為生活化數學問題。如何在初中數學教學中滲透這一理念呢？本文以《垂直于弦的直徑》為例，從設計理念、目標預設、設計感悟三個層面闡述了筆者的主張。

關鍵詞：生活化；趙州橋；感悟

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0142

一、設計初衷

數學教學應該從學生的生活經驗和已有知識背景出發，采取不同的內容呈現方式，幫助他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，同時獲得廣泛的數學活動經驗。

數學知識離我們很近，學生解決實際問題的過程中，主要問題有兩點：一是學生一見到實際問題就畏懼，根本不去讀題；二是學生對實際問題不熟悉。為此本節課設計了一個實際問題，這樣做的好處：一是具有非常實際的用處；二是與本節課的內容具有直接關系。這個問題解決了，以后見到類似的實際問題就不會感到陌生。

本節課是在學習了圓的概念及弧、弦等概念的基礎上的一節課。本節課有兩個方面的內容：一是圓的軸對稱性；二是垂徑定理及其推論。開始以趙州橋的問題引課題，帶著問題進行學習。圓的軸對稱性主要是學生通過動手操作，得出結論。圓是軸對稱圖形，根據軸對稱性進一步研究圓中相等的弦、弧，學生總結出垂徑定理及其推論。利用此定理再去解決趙州橋的問題。

二、目標預設

1. 經歷探索圓的對稱性及相關性質的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法。2. 理解并運用垂徑定理進行有關計算。3. 學會運用垂徑定理解決一些有關證明計算和作圖問題。

三、教學過程展示

1. 創設情景，提出問題

問題：觀察網絡或者教材上趙州橋圖片并思考問題，它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4m，拱高（弧的中點到弦的距離為7.2m），你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？

2. 新課流程

（1）圓的對稱性

互動探究：用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑對折。

問題1：你發現了什么？

問題2：你能得出什么結論？

（2）垂徑定理及其推論

如右圖AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。

問題1：該圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（學生對折、探究）

問題2：你能發現圖中相等的線段和弧嗎？為什么？（小組合作交流，教師指導）

討論與歸納：①在上圖中連接OA、OB，垂直于弦AB的直徑CD所在的直線既是等腰三角形OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸。②把圓沿著直徑CD折疊，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC與AD分別與BC與BD重合。因此AE=BE，AC=BC，AD=BD，即直徑CD平分弦AB，并且平分AB及弧ACB。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧（優弧、劣弧）。

問題3：一條直線若滿足：①過圓心；②垂直于弦；又可得到什么結論？

學生：平分弦、平分優弧、平分劣弧。

問題4：已知直徑AB，弦CD，且CE=DE，那么又能得到什么結論？（學生自己畫圖，小組討論）

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

問題5：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，為什么不是直徑強調的作用是什么？

學生：如果這條弦是直徑，平分但不一定垂直。

（3）解決趙州橋的問題

如右圖用AB表示主拱橋，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R，經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB交于C，根據前面的結論，D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高，AB=37.4m，CD=7.2m，AD=■AB=■×37.4=18.7m，OD=OC-CD=R-7.2

在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2

即：R2=18.722+（R-7.2）2 解得：R≈27.9（m）

因此趙州橋主橋拱半徑約為27.9m。

3. 變式訓練，熟練技能

練習：判斷：（1）圓是軸對稱圖形，直徑是它的對稱軸。（2）平分弦的直徑垂直于弦。

4. 遷移應用，深化提高

你能利用上面的結論，幫助小明利用尺規作圖的方法，確定右圖殘缺圓盤的圓心嗎？

5. 總結

（1）本節課你認為自己解決最不好的問題是什么？（2）本節課你的收獲。（3）通過這節課的學習，你想進一步探究的問題是什么？

6. 作業：練習1-2題

四、設計感悟

1. 在情景設置中體現生活化。創設情境，求趙州橋主橋拱的半徑，引起學生思考，激活了學生思維，引起學生興趣，要解決這個問題，需要用到本節課知識，從而自然引入新課，并引起了學生的求知欲。數學起源于生活，又作用于生活。數學教學應著力體現“小課堂、大社會”的理會，讓學生根據生活情境發現數學問題，運用所學的數學知識解決實際問題，培養學生綜合運用知識以及做出決策的能力。在新講導入中，創設教學情景，使課堂教學更接近于現實生活。

如教學八年級《變量與函數》時，由許多學生熟悉的問題引入，先讓學生對就量有一定的認識。在此基礎上再通過學生熟悉的問題引出函數概念。引入的問題如人體的體溫隨著時音質變化在每個縣體的時刻溫度不是完全相同的。出租車車費業是隨著行駛路程的遠近而不同等等。雖然函數的定議較為抽象，但在教學中配以大量的事例進行講解，學生還中可以接受的。又如在《抽對稱》教學中，老師給學生準備了一些生活中的圖案請同學們欣賞，可以用實物投影儀體顯示。圖片可以是楓葉、蝴蝶、剪紙、故宮建筑圖片等，另個還有學生自己收集的銀行商標、汽車商標、一些工藝品、剪紙等。通過列舉盡可能的軸對稱圖形，使學生通過豐富的生活實例，欣賞并體會軸對稱圖形，發展學生的審美能力、鑒賞能力。所以，這種“生活化”的情景創設，可以大大激發學生的學習興趣，激發學生學習主動性。

2. 讓學生在數學活動中感受生活化

《數學課程》中強調在特意的數學活動中獲得一些初步的生活體驗，因此教師要想方設法改變教學方式，再聯系生活實際，讓學生在數學活動中獲得生活體驗。學生通過自己動手操作，發現問題歸納出圓是軸對稱的圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，總結出垂徑定理及推論，加深了學生對結論的記憶與掌握。

3. 數學方法數學手段貼近生活化

從數學方法看，要堅持啟發式，創設問題情景，激發學生積極思維，引導它們自己發現和掌握有關規律。教師要并于提出問題引導學生思考。所提出的問題不論是實際問題還是理論問題都應緊密結合數學內容，并編抓成科學的探究程序，使學生能形成一條清晰的思路。本節課根據所學的知識，先把實際問題轉化成數學問題，畫出圖形進行解答，這樣很好地做到了前后呼應，充分體現了學以致用，嘗試讓學生自己解決，然后師生共同訂正的步驟，加以規范，使學生凌亂的思維得到梳理。通過五個問題對新知識的教學，學生互相討論，使學生的思維始終處于活躍、積極的思考狀態，使思維得到不斷的發展。

4. 回歸生活，引導學生把生活中實際問題化歸為數學問題

我們知道，化歸思想是重要的數學思想，前蘇聯著名數學家柯瓦列夫斯卡婭有一句名言：數學解題的過程就是不斷的化歸過程。仔細體會我們平時的每一個數學問題的求解，都是遵循這一原則而展開的，其實質就是經化歸后所得出的問題，應當是已經解決的，或者是較為熟知的、較為容易的、較為簡單的。數學實際問題的解答自然也不例外。通常我們可以將其思路表示如下：

這樣，可以把解答生活化問題思路破譯分解為四個步驟：閱讀理解、建立模型、模型求解、回歸實際。

閱讀理解：認真閱讀題目，理解題意，收集、分析、處理數據，聯想相關的數學知識，為解決數學問題做好準備。

建立模型：針對題意，聯想已有的數學知識，通過抽象、概括，歸納把實際問題化歸為純粹的數學問題，即數學模型。

模型求解：運用具備的數學知識，技能和方法，完成對所建數學模型的解答。

回歸實際：由于數學模型的解答并不一定完全符合問題的實際意義，所以要針對應用問題的實際，對模型的解答進行分析、反思，得出實際問題的正確解答。

參考文獻：

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[2] 湯 會，侯海文.淺談數學教學生活化[J].中國校外教育.2008（5）.

[3] 田玉梅.數學教學“生活化”初探[J].教學研究.2007（5）.

（作者單位：湖北省公安縣實驗中學 434300）