巧用軸對稱知識解決實際問題

陳佩山

摘要：本文研究了“軸對稱變換法”在求線段和的最小值、求線段差的最大值問題中的應(yīng)用與意義，并從原理上進(jìn)行了理論性分析，同時對應(yīng)用中出現(xiàn)的兩種情況——“最大值、最小值問題”進(jìn)行了分類歸納與總結(jié)。

關(guān)鍵詞：特殊方法；軸對稱知識；解決方法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0143

求線段和的最小值和線段差的最大值問題，在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常會遇到，利用軸對稱知識可以比較簡單地解決。下面通過幾個典型的例題來說明軸對稱知識在解決問題中的作用。

軸對稱的性質(zhì)：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。也就是說，在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中的兩個對應(yīng)點到對稱軸上任意一點的距離都相等。

一、利用軸對稱性求線段之和的最小值

例1. 如圖，草原上兩居民點A，B在筆直河流L的同旁，一汽車從A處出發(fā)到B處，途中需要到河邊加水，問選在何處加水可使行駛的路程最短？并在圖中畫出這一點。

分析：將這一問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即已知直線L及同側(cè)的點A和點B，在L上確定一點C，使AC+BC最小。

首先，我們思考若點A和B點分別在直線L的兩側(cè)，則點C的位置應(yīng)如何確定，根據(jù)兩點之間線段最短，點C應(yīng)是AB與直線L的交點，如圖(2)，這就是說，設(shè)線段AB交L于點C，點C′是直線上異于點C的任意一點，總有AC+BC

解：如圖(3)，作點A關(guān)于直線L的對稱點A′，連接A′B交L于點C，則點C的位置就是汽車加水的位置，即汽車選在點C處可使行駛的路程最短。

思考：若點A和B點分別在直線L的兩側(cè)，則點C的位置應(yīng)如何確定？

解：根據(jù)兩點之間線段最短，點C應(yīng)是AB與直線L的交點。

例2：如圖所示，在公路L的一側(cè)有兩個村莊A、B，現(xiàn)要在公路L旁修建一個車站，問車站應(yīng)建在什么地方，才能到A，B兩村莊的距離之和最短？

分析：利用軸對稱的性質(zhì)，如圖，作B點關(guān)于L的對稱點B1， 在直線L上任意定一點M，連接B B1，BM，B1M，根據(jù)軸對稱知識，我們可以求證BM=B1M，所以，我們可得出：點B到河岸L上任意點M的距離等于對稱B1到點M的距離。

要使AM+ B1M最小，必須使A、M、B1三點共線，也就是說，必須使點M，與A B1連線和L的交點N重合，所以，公路旁的N點為到A、B的距離之和最小的點。

證明：M為L上的任意點。因為BM=B1M，所以，BM+AM=B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，結(jié)論成立。

例3. 已知在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，M、N分別是AB，BC邊上的中點，P是對角線AC上一動點，求PM+PN的最小值。

分析：因為動點P在菱形ABCD的對角線AC上，而CD邊的中點G，是N關(guān)于對稱軸AC的對應(yīng)點。所以，PG=PN。因此求PM+PN的最小值就轉(zhuǎn)化為求PM+PG的最小值，連接MG，在△PMG中，PM+PG的最小值就是MG，即PM+PG≥MG(僅當(dāng)M、P、G三點共線時取得最小值)。

解：取CD的中點G，連接PG，∵AC是菱形ABCD的對角線。∴∠PCG=∠PCN，又CB=CD，N是BC邊的中點 ∴CN=CG。又PC=PC，∴△PCG≌△PCN∴PG=PN，連接MG。∴四邊形AMGD為平行四邊形。

∴ MG=AD=8。在△PMG中，(僅當(dāng)P、M、G三點共線時取等號)。故PM+PN的最小值為8。

例4. 如圖，正方形ABCD中，點E在邊BC上，BE=2，CE=1，點P在BD上，求PE+PC的最小值

分析：要想求PE+PC的最小值，關(guān)鍵是確定點P的位置，根據(jù)對稱的知識我們知道點P的位置應(yīng)是，點C關(guān)于直線BD的對稱點和點E連線與BD的交點。

解：因為四邊形ABCD為正方形，所以點C關(guān)于BD的對稱點為A，連接AE交BD于P點，則此時PE+PC的最小值最小，最小值為：PE+PC=AE= 。

二、利用軸對稱性求線段之差的最大值

例5. 已知點A(1，5)，點B(3，-1)兩點，在X軸上取一點M，使AM-BM 取得最大值時，則M的坐標(biāo)為？

解：如圖，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′并延長與x軸的交點，即為所求的M點。此時AM-BM=AM-B′M=AB′。

證明 ：不妨在x軸上任取一個另一點M′，連接M′A、M′B、M′B。

則M′A-M′B=M′A-M′B′

∴M′A-M′B

∵B′是B(3，-1)關(guān)于x軸的對稱點，∴B′(3，1)。

設(shè)直線AB′解析式為y=kx+b，把A(1，5)和B′(3，1)代入得：

k+b=53k+b=1解得，k=-2b=7

(上接第143頁)

∴直線AB′解析式為y=-2x+7。令y=0，解得x=3/2

∴M點坐標(biāo)為(7/2，0)。

例6. 直線L兩側(cè)有A、B兩點，怎樣在直線L上取一點P，使PA-PB最大。

解：如圖，過B作B′關(guān)于L的對稱，連接AB′交L于P，連接AP、BP，此時PA-PB最大。在L上找Q點，連接QA、QB、QB′，QA-QB=QA-QB′

所以總有PA-PB>QA-QB，因此P點是使PA-PB最大的點。

補充：

Q 點如果不與P點重合，那么QB′A總會形成一個三角形，三角形的兩邊之差總是小于第三邊。

所以總有QA-QB

如果點A，B在直線L的異側(cè)，點B′是點B關(guān)于直線L的對稱點，過A，B′的直線與直線L相交與M，直線L上的點到A,B的距離之差的最大值是線段AB′的長度，取得最大值的點是M。