數學思想方法教學的探索

楊海燕

【摘要】 從教育的角度來看，數學思想方法比數學知識更為重要，這是因為知識的記憶是暫時的，數學思想方法的掌握是永久的；知識只能使學生受益一時，數學思想方法將使學生受益終生. 因此，必須重視數學思想方法的教學.具體地說就是：激發學生學習數學思想方法的內在動機；結合數學教學內容，在具體情境中教學數學思想方法；按程序性知識學習規律教學數學思想方法；指導學生監控數學思想方法的使用；讓學生在合作學習中運用數學思想方法.

【關鍵詞】 數學知識；數學思想方法；數學教學

中學數學內容（基本要求）的整體結構有兩根強有力的支柱，即數學知識與數學思想方法.數學思想方法產生數學知識，數學知識又蘊載著思想方法，二者好比鳥之雙翼，須臾不離，缺一不可.從教育的角度來看，數學思想方法比數學知識更為重要，這是因為知識的記憶是暫時的，數學思想方法的掌握是永久的；知識只能使學生受益一時，數學思想方法將使學生受益終生.日本學者米山國藏指出：“無論是對于科學工作者、技術人員還是數學教育工作者，最重要的是數學的精神、思想和方法，而數學的知識只是第二位.”世界著名數學家波利亞在60年代曾做過統計，普通中學的學生畢業后在其工作中需要用到數學的（包括數學家在內）約占全部學生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數學知識.正是基于這樣的分析，波利亞認為：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學生——未來用數學和不用數學的人，那么他在教解題時應當教三分之一的數學和三分之二的常識（即是指一般性的思想方法或思維模式）.”這就是說，在數學教學中，必須重視數學思想方法的教學.那么怎樣在數學教學中進行數學思想方法的教學？筆者的觀點是：

一、激發學生學習數學思想方法的內在動機

要想使學生主動學習并掌握數學思想方法，必須讓學生認識到數學思想方法能幫助自己提高學習效率，改善學習成績.這樣才有可能受到激勵，產生學習數學思想方法的動機.因此，在數學教學中，教師要注意通過演示、講解、討論等，突出數學思想方法在學習和解決問題中的作用和價值，使學生認識到數學思想方法對學習有改善作用.

例如，問題1：對于每個實數x，設f（x）是4x + 1，x + 2和-2x + 4三個函數中的最小值，求f（x）的最大值.

分析：題中沒有直接給出f（x）的表達式，想通過抽象的數量關系分析求解，顯然是困難較大，但是如果運用數形結合的思想方法，將問題與函數圖像聯系起來，利用圖像的直觀作用，就容易弄清f（x）的具體內容，確定取最大值的點的位置，使原題順利解出. 即在同一平面角坐標系中，作函數

y = 4x + 1 ①

y = x + 2 ②

y = -2x + 4 ③

的圖像，如圖1，觀察圖像即得f（x）的最大值是直線y = x + 2與直線y = -2x + 4的交點E的縱坐標，即函數f（x）有最大值■.

為了激發學生學習數學思想方法的的興趣，教師還可以讓學生比較、評價自己使用數學思想方法和不使用數學思想方法條件下的學習成績，要讓學生明白，優良的數學成績是正確應用數學思想方法的結果，來激勵學生學習數學思想方法的主動性.從而看到數學思想方法運用所帶來的好處.

二、結合數學教學內容，在具體情境中教學數學思想方法

因為數學思想方法的應用往往離不開具體的數學內容，所以數學思想方法的教學應作為學生面臨的實際學習任務的一部分來教，通過提供數學思想方法可以應用的情境，讓學生逐步學會數學思想方法.

例如，“垂線”概念的教學設計：

活動一：操作

如圖2，讓學生把課前準備好的“相交線模型”中的其中一根木棒固定，把其中的另一根木棒繞固定點轉動，觀察轉動過程中，把你認為兩根木棒比較美觀的特殊位置固定.

活動二：畫圖

引導學生用幾何圖形表示兩根木棒的特殊位置，并標上字母（如圖3）.

活動三： 測角

引導學生用量角器測量圖3中的四個角.

活動四：形成概念

讓學生為這一特殊情形命名，并用自己的語言下定義，然后與書本上比較異同.

活動五：反思

讓學生反思垂線概念是怎樣得到的，與相交線概念的聯系.

以上的教學過程，其滲透的是從一般到特殊、運動與靜止、數學抽象、數學美等重要的數學思想方法. 學生通過數學活動，形成了豐富的垂線概念的表象，水到渠成地得到垂線的定義，當學生對垂線概念自主建構的同時，也獲得了對數學思想方法的體驗.

數學思想方法與數學知識的結合是非常緊密的，是相互滲透、互相融合的，只要教師在教學中有意識地進行滲透、傳授，學生就能獲得大量的關于解決問題的一般的特殊的數學思想方法.因為能提高人的學習記憶和思維效率的數學思想方法是無數的，雖然某些簡單的數學思想方法可以很快地學會，但大部分數學思想方法的學習是不能立竿見影的，所以數學思想方法的訓練是長期、反復和螺旋上升的.

三、按程序性知識學習規律教學數學思想方法

數學思想方法也是一種程序性知識，其教學應符合程序性知識的學習規律.先是提供數學思想方法應用的實例，通過師生共同分析歸納出有關的數學思想方法，再在教師指導下進行該數學思想方法的應用練習.比如，“逆向思考方法”的教學，教師從“司馬光砸缸”的故事開始，讓學生討論“司馬光砸水缸救人”運用的方法，當學生從故事中概括出：將“人救出水”辦不到時，就讓“水離開人”，那么“逆向思考的數學方法”也就水到渠成了.然后讓學生嘗試解題：池塘里睡蓮覆蓋的面積每天增大 1 倍，若經17天，可長滿整個池塘.問長滿半個池塘需要多少天？有的學生從正向思考，解法較繁，有的學生逆向思考，解法較巧.即由“每天增大 1 倍”知，從覆蓋一個池塘退回覆蓋半個池塘只需1 天，故長滿半個池塘需17 - 1 = 16（天）.當學生體會到好的問題解決通常要應用有效的數學思想方法時，就能自發地運用所學習的數學思想方法來調控其學習.

接著，讓學生運用該數學思想方法進行練習（練習題略）.

在數學思想方法教學中，重視數學思想方法的發現，強調讓學生多進行在一系列相似情境和不同情境中的變式操作，這對數學思想方法的掌握是大有裨益的.

四、指導學生監控數學思想方法的使用

在數學思想方法運用過程中，學生需要不時地檢測數學思想方法運用的程度，分析當前的學習任務是否滿足數學思想方法運用的條件，利用數學思想方法取得了哪些進展等.

例如，解關于x的方程：x4 - 10x3 - 2（a - 11）x2 + 2（5a + 6）x + 2a + a2 = 0.

這是一個關于x的四次方程，學生解決這一問題的常規方法是降次，通過因式分解將4次降為2次，但按這樣的方法解決問題并非容易.這時，教師要引導學生自我提問：“我的解題方法能夠徹底解決問題嗎？”“如果不行，我能換一個思考角度，或者換一種解題方法嗎？”等.事實上，如果換一個思考角度，采取逆向思維方法思考，將x視為常量，而將a看為變量，問題就轉化為解關于a的二次方程a2 - 2（x2 - 5x - 1）a + （x4 - 10x3 + 22x2 + 12x） = 0的問題.解該方程得a = x2 - 6x 或 a = x2 - 4x - 2.到此，我們再把x看為變量，a視為常量，解關于x的二次方程，得x1，2 = 3± ，x3，4 = 2± .

“自我提問”就是讓學生通過自我意識相應地調節自己的思維和行動.在數學思想方法教學中，教師要不斷提醒學生數學思想方法應用的適用條件，教會他們通過“自我提問”監控利用數學思想方法時所取得的進展，問題一旦發現，則要教他們如何嘗試矯正并加以評價，并逐步把外部指導內化為學生自己監控和調節過程.

現代認知心理學認為所有的研究都要強調教學生知道何時、何處應用已學過的數學思想方法的重要性，教會他們注意正在使用的數學思想方法在什么場合使用以及是否適用，則效果更加好.比如，在解題教學中，先讓學生獨立思考解題的思路，然后組織學生討論，在討論中，讓學生說出自己的解題過程，大家對照過程和結果，看看誰的方法最好，從而尋找最佳解題思路，這是訓練數學思想方法的一種有效方法.因為有效，它對數學思想方法的概括和保持是關鍵性的.

五、讓學生在合作學習中運用數學思想方法

所謂合作學習，是指教學活動中學生相互討論、互相提問、互相幫助、共同學習的形式.它被現代認知心理學家視為數學思想方法教學中的一種重要的教學組織形式.

在合作學習中，通過學生間的相互觀察和模仿，可以更貼近地觀測他人巧妙使用的數學思想方法，通過“跳一跳”使自己掌握新的數學思想方法.在合作學習中，由于學生之間更密切地接觸交流，能更清楚自己與其他同學在掌握數學思想方法上的差距，從而產生“奮起直追”的念頭，起到學習數學思想方法的激勵和鞭策作用.

因此，在數學思想方法的教學中，教師應大膽創設寬松的民主氣氛，使學生敢于、樂于思考和討論，讓他們的思維進入自覺的思維情境中，有效地學習數學思想方法.

【參考文獻】

沈文選. 中學數學思想方法[M]. 長沙：湖南師范大學出版社，1996.