新課標下立體幾何中應關注的幾個問題

甘海

立體幾何是高中階段非常重要的一部分內容，高中新數學課程標準中的“立體幾何”主要包含兩個部分，必修2中的“立體幾何初步”和選修2-1中的“空間向量與立體幾何”.如何在新課程理念下對立體幾何進行有效的教學始終是眾多同行研究討論的熱點，筆者結合近幾年來新課程的教學實踐談談立體幾何教學中應注意的幾個問題和體會.

1.對柱、錐、臺、球及其簡單組合體的認知

按照課程標準的要求，教學時首先通過實物模型或借助計算機，讓學生觀察大量的空間圖形，通過直觀感知，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，通過實踐與體驗去發現、確認這些幾何體的本質特征，抽象概括出這些空間幾何體的概念.必修2的前半部分對這些概念比較抽象，在后半部分求空間幾何體的表面積和體積時才有對直棱柱、正棱柱、正棱錐的概念作出明確的表述，這與傳統的立體幾何內容相比發生了很大的變化，因此筆者認為應讓學生觀察后，再利用已有的經驗去感知這些空間幾何體，通過充分的感受去發現它們的本質，理解立幾知識的產生源于發展過程，從而獲得解決問題的情感體驗.

例如對臺體的結構特征的把握上，先讓學生直觀感受臺體是由平行于底面的平面去截棱臺（或圓臺）所得的剩下的幾何體，引導學生發現棱臺的主要特征——有兩個面平行，且所有側棱延長后相交于一點，這樣使得學生對“形”的把握上更加準確，也感知理解了立體圖形的結構特征.

2.點、線、面的位置關系

新課程標準中，對于立體幾何的推理論證的要求是分階段、分層次地達到要求的，其中點、線、面的位置關系一直以來都是立體幾何的重要考查點.由于初中義務教育階段對幾何的推理論證能力的要求有所降低，所以高中數學新課程中“立體幾何初步”階段以論證較為簡單的位置關系為主，而線線與線面的位置關系尤為關注.

圖1 例1 （2009年江蘇卷，16） 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是A1B，A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證：

（1）EF∥平面ABC；

（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C.

分析 本題主要考查直線與平面、平面與平面的

位置關系，考查空間想象能力、推理論證能力.

第（1）問關鍵在于EF∥BC，第（2）問依據A1D⊥平面BB1C1C不難求證.縱觀近幾年的高考試題，我們可以發現考查的線線與線面的位置關系難度系數不大，因此在教學中要引導學生理解并掌握這些基本的推理論證要求.

圖2 例2 給出下列命題：（1）三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=60°，則∠BPC必小于60°；（2）過平面α的斜線l有且只有一個平面與α垂直；（3）四棱錐的四個側面中最多有三個直角三角形.其中，真命題的個數為 個.

分析 命題（1）是假命題.可舉如下反例，如圖2，設PA=AB=1，AC=x， 有PB= 2 ，PC= 1+x2 ，BC= 1+x2-x .令cosθ = 1 2 ， 在三角形PBC中，由余弦定理可得2+1+x2-2· 2（1+x2） cosθ=1+x2-xx=2+ 6 .即當x=2+ 6 時，θ= 60°，故原命題是假命題.

借助身邊的實物比畫操作可知命題（2）是真命題.

圖3

對于命題（3），可以把它放在一個特定的長方體中，如圖3，四棱錐P-ABCD，易證得其各個側面都為直角三角形，即原命題為假命題.

故本題中真命題的個數為1個.

從上例可以看出當難以想象出滿足題意的空間圖形，或者一個立體幾何問題用直接推理的方法不容易想時，不妨換個角度來思考，把它“嵌”入長方體或其他熟悉的幾何體中，化抽象為具體，做到有“體”可循，許多問題就可以迎刃而解.

3.向量法解決復雜的角和距離的運算

向量的引入，開辟了許多立體幾何問題求解的新途徑，借助空間向量來處理異面直線所成的角、線面角、二面角和距離的問題簡單方便.向量法的特點是圖形簡單，思路清晰，降低了思維難度，將幾何問題代數化，解法也相對比較固定，學生操作起來容易接受.

4.開放式的立幾探究題型

根據新課程的教學理念，高中數學課程應“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”，開放式的探究題型就是其中一個很好的教學方式，它有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造過程”.

圖4 例3 如圖4，PA⊥ABCD所在的平面，則當 時，AC⊥BD；當DC⊥ 時，PD⊥DC.

分析 從結論出發往前推測，假如AC⊥BD成立，

由PA⊥BD，可知BD⊥平面PAC，從而PC⊥BD；

假設PD⊥DC成立，又PA⊥CD，可知CD⊥平面PAD，從而得DC⊥AD.因此答案是BD，AD.

這類的問題教師在教學過程中應適當創設開放性問題情境，給予學生充分的思維空間和展示空間，讓學生主動地參與探究，使學生通過觀察、操作、思考和交流，培養學生提出問題和解決問題的能力，讓學生強化應用的意識，感受數學創造的樂趣，也更有利于學生對空間幾何體圖形結構的把握，形成更全面的認知.

總之，新教材中的立體幾何已有別于傳統的立體幾何，它突出了直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算這一逐步分層次的探索研究幾何的過程，也遵循了新知識螺旋式上升的發展規律，更有利于學生的整體發展.因此隨著新課標的實施，教師關鍵要真正領悟數學課程標準的精髓，在新課程理念下關注、研究以上幾類問題的教學，才能更好地培養和發展學生把握圖形的能力、空間想象能力和邏輯推理能力.