高考向量方法解題與教學研究

趙麗娜

【摘要】向量是我國高中數學新課程中的必修內容，向量具有代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀，是解決幾何問題的有力工具，集中體現了數形結合的思想.本文從向量的本質理解出發，探討高考向量試題，以期對我國向量教學提供新的視野.

【關鍵詞】課程改革；高考數學；向量

向量是刻畫幾何對象的重要工具，大多數教材定義向量是有大小有方向的量.向量既具有圖形的直觀性，又有代數推理的嚴密性.從而向量是一個具有幾何和代數雙重身份的概念.既表現為過程操作，又表現為一種對象、結構.向量概念又是代數與幾何的交匯，所以教學更應該具有思維發展的層次性和階段性.

1.高考向量方法解題的案例分析

案例1 【2012年高考江西理科試題】在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則|PA|2+|PB|2|PC|2=.

分析 如圖，將直角三角形放入直角坐標系中，設A（a，0），B（0，b），a，b>0，則Da2，b2，Pa4，b4，所以|PC|2=a42+b42=a216+b216，|PB|2=a42+b4-b2=a216+9b216，|PA|2=a4-a2+b42=9a216+b216，所以|PA|2+|PB|2=a216+9b216+9a216+b216=10a216+b216=10|PC|2，所以|PA|2+|PB|2|PC|2=10.

點評 向量法解題是程序化算法，是解決幾何問題的主要方法.

案例2 【2012年高考天津理科試題】已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設點P，Q滿足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，則λ=.

解析 如圖，設AB=b，AC=c，則|b|=|c|=2，b·c=2.

又 BQ=BA+AQ=-b+（1-λ）c，CP=CA+AP=-c+λb，由BQ·CP=-32，得[-b+（1-λ）c]·（-c+λb）=（λ-1）|c|2-λ|b|2+（λ-λ2+1）b·c=-32，

即4（λ-1）-4λ+2（λ-λ2+1）=-32，

整理4λ2-4λ+1=0，

即（2λ-1）2=0，解得λ=12.

點評 回路解題是向量解題特有的解題方法.

2.高中向量概念教學建議

在向量教學中，教師普遍采用課本統一的教學程序和教學策略，在傳授過程中對向量做一定的簡單化處理，建立單一標準的基本表征，認知環境的單一化，導致學生對向量概念的本質認識模糊.而用向量解決問題通常有三個過程：形譯成向量→向量運算→向量譯成形.學生表征的轉化能力較弱，教師沒有采取更多的教學手段（包括計數器、信息技術整合等），所以學生對向量的掌握停留在初級水平上，只建立在向量的求解步驟或計算公式的死記硬背和機械應用之上，沒有建構起解決問題的思路，缺乏問題探究與體驗過程，難以產生廣泛、靈活的遷移.因此，應該強調認知途徑的多樣化、概念表征的多元化必須采取“數量化”的方法，也就是代數化幾何的處理方法.例如，【2013年新課標高考數學試題】已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則AE·BD=.對平面向量的正交分解的理解，可以從物理背景、幾何直觀、坐標表示等方法來適應不同層次學生理解的需要，同樣，信息技術作為學習的認知工具，可實現運動變化的可操作和可視性，并將各種元素的變化與聯系同時呈現，可以更好地幫助學生在教師的輔導下進行充分自主地觀察、嘗試、猜想、發現、思考、分析、提問等探究式的活動，從而更好地發展數學的思維、領悟向量的本質.

【參考文獻】

[1]秦德生，郭民，等.高考與大學自主招生考試數學考點大全與真題解析[M].東北師范大學出版社，2013.

[2]張景中，等.繞來繞去的向量法[M].北京：科學出版社，2010.