分析探索導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘要：在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)部分的知識(shí)是相當(dāng)重要的部分，它是高中數(shù)學(xué)后繼課程的基礎(chǔ)，也是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用比較廣泛。就數(shù)學(xué)本身而言，導(dǎo)數(shù)主要是研究“數(shù)字”的各種關(guān)系，并且與高中的很多知識(shí)都具有非常緊密的聯(lián)系，因此在教學(xué)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，不妨將導(dǎo)數(shù)融入其他知識(shí)的教學(xué)當(dāng)中，也許能夠獲得更好的成果。日后應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)教學(xué)水平，為社會(huì)輸入更多的數(shù)學(xué)人才。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題

導(dǎo)數(shù)所涵蓋的知識(shí)量比較大，在教學(xué)過(guò)程中，往往需要教師耗費(fèi)較多的時(shí)間與精力去講解導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)所在，導(dǎo)致在后續(xù)教學(xué)中，不僅影響了教學(xué)的進(jìn)度，而且學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解也處于模棱兩可的階段，無(wú)論是解題還是具體應(yīng)用，都沒(méi)有取得一個(gè)理想的成果。在此，本文主要分析、探索導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、導(dǎo)數(shù)在代數(shù)解題中的運(yùn)用

高中代數(shù)解題要比初中困難很多，需要學(xué)生掌握好相關(guān)知識(shí)，利用知識(shí)體系去解題，而不是單一的知識(shí)概念，導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，其比較明顯的就是在代數(shù)解題中的運(yùn)用，本文將對(duì)此做出詳細(xì)的闡述。

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，其常見(jiàn)的解題就是利用導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的單調(diào)性，這屬于高中常見(jiàn)習(xí)題，不僅可以提高學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解，還能鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。但是，很多學(xué)生并不了解如何利用導(dǎo)數(shù)去求解函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解函數(shù)的單調(diào)性，就是用一個(gè)不熟練的數(shù)學(xué)技能，解開(kāi)新的數(shù)學(xué)難題。本文認(rèn)為，利用導(dǎo)數(shù)去求解函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)從導(dǎo)數(shù)本身出發(fā)，例如，對(duì)于函數(shù)f（x）=x3+3x2求其單調(diào)區(qū)間。分析對(duì)于這一道題目我們觀察發(fā)現(xiàn)它的最高次冪是3次直接運(yùn)用函數(shù)圖像去觀察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是十分困難的，由于其是可導(dǎo)的，所以我們就可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解。解題方式如下：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f’（x）=3x2+6x，當(dāng)f’（x）>o時(shí)，x>o或x<-2，即函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（0，+∞）上是單調(diào)遞增的；當(dāng)f’（x）<0時(shí)，-2

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)，為避免學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)遇到較大的阻礙，我們可以利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值。例如，求函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x在單調(diào)區(qū)間[l，5]上的最大值。分析這個(gè)題目給出了函數(shù)解析式要求區(qū)間上的最大值，我們根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)便可以輕松地計(jì)算出其極值。解題方式如下：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f（x）=-3x2+6x+9，所以在區(qū)間（-1，3）上是單調(diào)遞增的，即f’（x）>0，在區(qū)間（-∞，-1）、（3，+∞）上是單調(diào)遞減的，即f’（x）<0，所以我們得出對(duì)于區(qū)間[l，5]在[l，3]范圍內(nèi)f’（x）>0，即是遞增的，在[3，5]范圍內(nèi)，f’（x）<0，即是遞減的，所以在x=3處取得最大值，即f（3）=27。從例題來(lái)看，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值的過(guò)程中，并不是十分的困難。值得注意的是，利用導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值的過(guò)程中，有很多的要點(diǎn)需注意。第一，導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值是比較有效的方式，但要注意導(dǎo)數(shù)的求解方式，一味得帶入并不能得到正確結(jié)果；第二，函數(shù)極值并不一定是確定數(shù)值，還有可能是-∞，或者是+∞，這種情況又是會(huì)被學(xué)生忽略。

二、導(dǎo)數(shù)在幾何解題中的運(yùn)用

除了函數(shù)以外，導(dǎo)數(shù)還可以用來(lái)解析幾何題目。幾何是高中數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，幾何需要學(xué)生擁有較強(qiáng)的空間想象能力，否則很難順利解題。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解析幾何題時(shí)，能夠得到以下效果：首先，導(dǎo)數(shù)可以將幾何的要求設(shè)為未知量，在數(shù)值的轉(zhuǎn)化后，能夠得到準(zhǔn)確的結(jié)果，而不是一味地去琢磨固有數(shù)值。其次，導(dǎo)數(shù)在解析幾何題的過(guò)程中，可以當(dāng)作案例為學(xué)生講解知識(shí)，有助于學(xué)生建立屬于自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，在日后的應(yīng)用過(guò)程中，不會(huì)受到其他因素的影響。第三，導(dǎo)數(shù)解析幾何題是高中數(shù)學(xué)的必經(jīng)階段，也是數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)部分。例如：用一條不限長(zhǎng)度的鋼絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的框架其長(zhǎng)、寬的比是2：1（要求寬的長(zhǎng)度小于等于8m），那么，當(dāng)其長(zhǎng)寬各為多少時(shí)面積最大，最大面積是多少？解題方式如下：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為xm，那么其長(zhǎng)為2xm，其中0

生產(chǎn)生活中，常常會(huì)遇到在一定條件下使得利潤(rùn)最大、效率最高、用料最省、強(qiáng)度最大等問(wèn)題這些問(wèn)題稱為優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化問(wèn)題往往可歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題而導(dǎo)數(shù)是求最值的有力工具。因此熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題就常重要.用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是認(rèn)真分析實(shí)際問(wèn)題然后將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題再用導(dǎo)數(shù)求解這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

本文對(duì)導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用展開(kāi)了分析與探索，從客觀的角度來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，可以解決很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)提供較大的幫助。在今后的教學(xué)工作中，教師需要對(duì)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)、在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用方式展開(kāi)深入研究，除了要建立更加有效的應(yīng)用體系之外，還要顧及導(dǎo)數(shù)的有效性以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的限制性，充分促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)步，提高教學(xué)水平。

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