分析探索導數在數學中的應用

摘要：在高中數學中，導數部分的知識是相當重要的部分，它是高中數學后繼課程的基礎，也是高考中的熱點問題，在數學解題中的運用比較廣泛。就數學本身而言，導數主要是研究“數字”的各種關系，并且與高中的很多知識都具有非常緊密的聯系，因此在教學導數的過程中，不妨將導數融入其他知識的教學當中，也許能夠獲得更好的成果。日后應進一步加強導數在數學中的應用，提高數學教學水平，為社會輸入更多的數學人才。

關鍵詞：高中數學導數解題

導數所涵蓋的知識量比較大，在教學過程中，往往需要教師耗費較多的時間與精力去講解導數的基礎知識所在，導致在后續教學中，不僅影響了教學的進度，而且學生對導數的理解也處于模棱兩可的階段，無論是解題還是具體應用，都沒有取得一個理想的成果。在此，本文主要分析、探索導數在數學中的應用。

一、導數在代數解題中的運用

高中代數解題要比初中困難很多，需要學生掌握好相關知識，利用知識體系去解題，而不是單一的知識概念，導數在數學中的應用，其比較明顯的就是在代數解題中的運用，本文將對此做出詳細的闡述。

1.利用導數求函數的單調性

導數在數學中的應用，其常見的解題就是利用導數，求解函數的單調性，這屬于高中常見習題，不僅可以提高學生對導數的理解，還能鍛煉學生的邏輯思維能力。但是，很多學生并不了解如何利用導數去求解函數的單調性，對于他們來說，用導數來求解函數的單調性，就是用一個不熟練的數學技能，解開新的數學難題。本文認為，利用導數去求解函數的單調性，應從導數本身出發，例如，對于函數f（x）=x3+3x2求其單調區間。分析對于這一道題目我們觀察發現它的最高次冪是3次直接運用函數圖像去觀察函數的單調區間是十分困難的，由于其是可導的，所以我們就可以運用導數的性質來求解。解題方式如下：函數f（x）的導數為f’（x）=3x2+6x，當f’（x）>o時，x>o或x<-2，即函數f（x）在（-∞，-2），（0，+∞）上是單調遞增的；當f’（x）<0時，-2

2.利用導數求函數的極值

函數作為高中數學的重要組成部分，是學生要學習的重點知識，為避免學生在學習函數知識時遇到較大的阻礙，我們可以利用導數求解函數的極值。例如，求函數f（x）=-x3+3x2+9x在單調區間[l，5]上的最大值。分析這個題目給出了函數解析式要求區間上的最大值，我們根據函數導數的性質便可以輕松地計算出其極值。解題方式如下：函數f（x）的導數為f（x）=-3x2+6x+9，所以在區間（-1，3）上是單調遞增的，即f’（x）>0，在區間（-∞，-1）、（3，+∞）上是單調遞減的，即f’（x）<0，所以我們得出對于區間[l，5]在[l，3]范圍內f’（x）>0，即是遞增的，在[3，5]范圍內，f’（x）<0，即是遞減的，所以在x=3處取得最大值，即f（3）=27。從例題來看，導數在求函數極值的過程中，并不是十分的困難。值得注意的是，利用導數在求函數極值的過程中，有很多的要點需注意。第一，導數求函數極值是比較有效的方式，但要注意導數的求解方式，一味得帶入并不能得到正確結果；第二，函數極值并不一定是確定數值，還有可能是-∞，或者是+∞，這種情況又是會被學生忽略。

二、導數在幾何解題中的運用

除了函數以外，導數還可以用來解析幾何題目。幾何是高中數學的一大難點，幾何需要學生擁有較強的空間想象能力，否則很難順利解題。應用導數解析幾何題時，能夠得到以下效果：首先，導數可以將幾何的要求設為未知量，在數值的轉化后，能夠得到準確的結果，而不是一味地去琢磨固有數值。其次，導數在解析幾何題的過程中，可以當作案例為學生講解知識，有助于學生建立屬于自己的數學知識體系，在日后的應用過程中，不會受到其他因素的影響。第三，導數解析幾何題是高中數學的必經階段，也是數學考試的重點部分。例如：用一條不限長度的鋼絲圍成一個長方形的框架其長、寬的比是2：1（要求寬的長度小于等于8m），那么，當其長寬各為多少時面積最大，最大面積是多少？解題方式如下：設長方形的寬為xm，那么其長為2xm，其中0

生產生活中，常常會遇到在一定條件下使得利潤最大、效率最高、用料最省、強度最大等問題這些問題稱為優化問題。優化問題往往可歸結為求函數的最大值或最小值問題而導數是求最值的有力工具。因此熟練應用導數解決實際應用問題就常重要.用導數解決優化問題的基本思路是認真分析實際問題然后將其轉化為數學問題再用導數求解這個數學問題。

本文對導數在數學中的應用展開了分析與探索，從客觀的角度來說，導數在數學中的應用，可以解決很多的數學問題，為數學學習和教學提供較大的幫助。在今后的教學工作中，教師需要對導數的教學、在數學中的應用方式展開深入研究，除了要建立更加有效的應用體系之外，還要顧及導數的有效性以及導數應用的限制性，充分促進學生學習的進步，提高教學水平。

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