幾類分數(shù)階微分與差分系統(tǒng)解的存在性與多重性

摘要：在數(shù)學(xué)歷史的漫漫長河中，分數(shù)階微積分是一個嶄新的研究領(lǐng)域，它的整個提出與發(fā)展僅僅經(jīng)歷了四個多世紀，從17世紀，著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出了階數(shù)為分數(shù)的積分微分后，我們在諸多應(yīng)用領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了分數(shù)階微分差分系統(tǒng)對于過程的記憶性和遺傳性，因此研究幾類常見的分數(shù)階微分與差分系統(tǒng)解的存在性以及多重性具有非常重要的意義。本文主要介紹了幾類分數(shù)階微分與差分系統(tǒng)的應(yīng)用背景，舉例介紹了典型的分數(shù)階微分與差分系統(tǒng)解的存在性與多重性。

關(guān)鍵字：分數(shù)階微積分；微分系統(tǒng)；差分系統(tǒng)；解的存在性；解的多重性

近年來，分數(shù)階微積分越來越廣泛地應(yīng)用于工程、經(jīng)濟、物理等許多領(lǐng)域，關(guān)于分數(shù)階微分與差分系統(tǒng)是眾多數(shù)學(xué)學(xué)者們研究的熱門對象，本文的主要工作主要分為三個部分：首先，簡要介紹了當(dāng)下分數(shù)階微積分的研究發(fā)展理論和背景；其次重點闡述了幾類常見的微分和差分系統(tǒng)解的存在性和多重性；最后，提出了相關(guān)的結(jié)論。

一、分數(shù)階微積分的研究發(fā)展

不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)不動點定理求解分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性，其中微分系統(tǒng)為，這里的是黎曼-劉維爾分數(shù)階導(dǎo)數(shù)；另外，我們還查閱了與測度相關(guān)的不動點定理解決具有Caradory函數(shù)的分數(shù)階系統(tǒng)解的存在性；甚至，在物理領(lǐng)域的脈沖方程涉及分數(shù)階微分問題方面，也有大量的數(shù)學(xué)科研人員做此類方面的工作。

二、預(yù)備知識

引理2.2（不動點定理） 不妨設(shè)是空間，其中是的一個人凸子集，且令這樣的連續(xù)緊映射，則

（1）映射在上有一個不動點；

（2）存在和，使得

三、幾類分數(shù)階微分系統(tǒng)和差分系統(tǒng)解的存在性和多重性分析

經(jīng)過上文的預(yù)備知識，我們基本了解了分數(shù)階黎曼-劉維爾積分和導(dǎo)數(shù)的定義以及分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，許多不同類型的分數(shù)階系統(tǒng)都是由這幾種分數(shù)階微積分所構(gòu)造的，本文簡單介紹以下幾類常見的微積分系統(tǒng)解的存在性和唯一性。

1.分數(shù)階模型。這一模型來源于生物研究理論中種群的生長競爭關(guān)系，研究這一模型解的存在性以及多解性能夠為生物種群的發(fā)展以及滅絕的預(yù)測帶來幫助。常見的分數(shù)階方程如下：

，這里的，不難發(fā)現(xiàn)，只要根據(jù)預(yù)備知識中的不動點定理即可證明分數(shù)階系統(tǒng)解的存在，且解是唯一的，這樣我們就可以在生物研究應(yīng)用中準(zhǔn)確地分析出生物種群數(shù)量變化、關(guān)系變化以及未來發(fā)展趨勢。

2.分數(shù)階擴散波動方程系統(tǒng)。這一分數(shù)階系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于物理力學(xué)等工程學(xué)科領(lǐng)域，根據(jù)我們熟知的波動原理和擴散原理將實際問題抽象成為數(shù)學(xué)模型，就得到了如下系統(tǒng)：

，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時候是經(jīng)典的擴散方程，即拋物方程；當(dāng)時，是經(jīng)典的波動方程，即雙曲線方程。根據(jù)不動點定理以及求解常微分方程的基本解法，我們可以論證分數(shù)階擴散波動系統(tǒng)的解的存在性與唯一性，研究這一解的特點對于物理學(xué)乃至整個工科領(lǐng)域意義深遠。

3.分數(shù)階黏彈性模型系統(tǒng)。這一系統(tǒng)首次提出了運用導(dǎo)數(shù)進行描繪流體力學(xué)中材料的高度合理性，這一模型大大拓寬了黏性材料研究范圍，為控制學(xué)的發(fā)展帶來了福音，其中最為經(jīng)典的分數(shù)階黏彈性模型系統(tǒng)為：

，這里的，其中表示黏性，表示松弛時間。經(jīng)過多年來分數(shù)階微分方程理論的不斷發(fā)展，我們已經(jīng)初步能夠得到上述分數(shù)階黏性模型系統(tǒng)解的存在性和唯一性，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和特征，將分數(shù)階粘彈性模型系統(tǒng)應(yīng)用于工程領(lǐng)域，這也是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的良好結(jié)合，大大拓寬了數(shù)學(xué)的研究范圍和實用價值。

如前所述，分數(shù)階微分積分系統(tǒng)經(jīng)過四個世紀的發(fā)展，不僅僅理論方面得到了進步，在與其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用方面更得到了長足的完善，盡管分數(shù)階系統(tǒng)看起來復(fù)雜而多變，但是掌握其求解的關(guān)鍵還是在于對根本定義的把握和方式方法的精準(zhǔn)運用，本文針對上述四類常見的分數(shù)階微分系統(tǒng)在各自應(yīng)用領(lǐng)域中的相關(guān)原理進行了論述和分析，希望本文的研究能夠為廣大數(shù)學(xué)以及物理、工學(xué)、醫(yī)學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域的工作者帶來些許幫助，也希望能夠得到各個不同領(lǐng)域的同志們的意見以及交流指導(dǎo)，共同為分數(shù)階微分系統(tǒng)解的發(fā)展做出更有效的貢獻。