幾類分?jǐn)?shù)階微分與差分系統(tǒng)解的存在性與多重性

摘要：在數(shù)學(xué)歷史的漫漫長河中，分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)嶄新的研究領(lǐng)域，它的整個(gè)提出與發(fā)展僅僅經(jīng)歷了四個(gè)多世紀(jì)，從17世紀(jì)，著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出了階數(shù)為分?jǐn)?shù)的積分微分后，我們?cè)谥T多應(yīng)用領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階微分差分系統(tǒng)對(duì)于過程的記憶性和遺傳性，因此研究幾類常見的分?jǐn)?shù)階微分與差分系統(tǒng)解的存在性以及多重性具有非常重要的意義。本文主要介紹了幾類分?jǐn)?shù)階微分與差分系統(tǒng)的應(yīng)用背景，舉例介紹了典型的分?jǐn)?shù)階微分與差分系統(tǒng)解的存在性與多重性。

關(guān)鍵字：分?jǐn)?shù)階微積分；微分系統(tǒng)；差分系統(tǒng)；解的存在性；解的多重性

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分越來越廣泛地應(yīng)用于工程、經(jīng)濟(jì)、物理等許多領(lǐng)域，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分與差分系統(tǒng)是眾多數(shù)學(xué)學(xué)者們研究的熱門對(duì)象，本文的主要工作主要分為三個(gè)部分：首先，簡(jiǎn)要介紹了當(dāng)下分?jǐn)?shù)階微積分的研究發(fā)展理論和背景；其次重點(diǎn)闡述了幾類常見的微分和差分系統(tǒng)解的存在性和多重性；最后，提出了相關(guān)的結(jié)論。

一、分?jǐn)?shù)階微積分的研究發(fā)展

不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定理求解分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性，其中微分系統(tǒng)為，這里的是黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；另外，我們還查閱了與測(cè)度相關(guān)的不動(dòng)點(diǎn)定理解決具有Caradory函數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)解的存在性；甚至，在物理領(lǐng)域的脈沖方程涉及分?jǐn)?shù)階微分問題方面，也有大量的數(shù)學(xué)科研人員做此類方面的工作。

二、預(yù)備知識(shí)

引理2.2（不動(dòng)點(diǎn)定理） 不妨設(shè)是空間，其中是的一個(gè)人凸子集，且令這樣的連續(xù)緊映射，則

（1）映射在上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

（2）存在和，使得

三、幾類分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)和差分系統(tǒng)解的存在性和多重性分析

經(jīng)過上文的預(yù)備知識(shí)，我們基本了解了分?jǐn)?shù)階黎曼-劉維爾積分和導(dǎo)數(shù)的定義以及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，許多不同類型的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)都是由這幾種分?jǐn)?shù)階微積分所構(gòu)造的，本文簡(jiǎn)單介紹以下幾類常見的微積分系統(tǒng)解的存在性和唯一性。

1.分?jǐn)?shù)階模型。這一模型來源于生物研究理論中種群的生長競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，研究這一模型解的存在性以及多解性能夠?yàn)樯锓N群的發(fā)展以及滅絕的預(yù)測(cè)帶來幫助。常見的分?jǐn)?shù)階方程如下：

，這里的，不難發(fā)現(xiàn)，只要根據(jù)預(yù)備知識(shí)中的不動(dòng)點(diǎn)定理即可證明分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)解的存在，且解是唯一的，這樣我們就可以在生物研究應(yīng)用中準(zhǔn)確地分析出生物種群數(shù)量變化、關(guān)系變化以及未來發(fā)展趨勢(shì)。

2.分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程系統(tǒng)。這一分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于物理力學(xué)等工程學(xué)科領(lǐng)域，根據(jù)我們熟知的波動(dòng)原理和擴(kuò)散原理將實(shí)際問題抽象成為數(shù)學(xué)模型，就得到了如下系統(tǒng)：

，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)候是經(jīng)典的擴(kuò)散方程，即拋物方程；當(dāng)時(shí)，是經(jīng)典的波動(dòng)方程，即雙曲線方程。根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定理以及求解常微分方程的基本解法，我們可以論證分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)系統(tǒng)的解的存在性與唯一性，研究這一解的特點(diǎn)對(duì)于物理學(xué)乃至整個(gè)工科領(lǐng)域意義深遠(yuǎn)。

3.分?jǐn)?shù)階黏彈性模型系統(tǒng)。這一系統(tǒng)首次提出了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行描繪流體力學(xué)中材料的高度合理性，這一模型大大拓寬了黏性材料研究范圍，為控制學(xué)的發(fā)展帶來了福音，其中最為經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階黏彈性模型系統(tǒng)為：

，這里的，其中表示黏性，表示松弛時(shí)間。經(jīng)過多年來分?jǐn)?shù)階微分方程理論的不斷發(fā)展，我們已經(jīng)初步能夠得到上述分?jǐn)?shù)階黏性模型系統(tǒng)解的存在性和唯一性，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和特征，將分?jǐn)?shù)階粘彈性模型系統(tǒng)應(yīng)用于工程領(lǐng)域，這也是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的良好結(jié)合，大大拓寬了數(shù)學(xué)的研究范圍和實(shí)用價(jià)值。

如前所述，分?jǐn)?shù)階微分積分系統(tǒng)經(jīng)過四個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，不僅僅理論方面得到了進(jìn)步，在與其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用方面更得到了長足的完善，盡管分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)看起來復(fù)雜而多變，但是掌握其求解的關(guān)鍵還是在于對(duì)根本定義的把握和方式方法的精準(zhǔn)運(yùn)用，本文針對(duì)上述四類常見的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)在各自應(yīng)用領(lǐng)域中的相關(guān)原理進(jìn)行了論述和分析，希望本文的研究能夠?yàn)閺V大數(shù)學(xué)以及物理、工學(xué)、醫(yī)學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域的工作者帶來些許幫助，也希望能夠得到各個(gè)不同領(lǐng)域的同志們的意見以及交流指導(dǎo)，共同為分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)解的發(fā)展做出更有效的貢獻(xiàn)。