“數字信號處理”中DFT譜分析的教學探討

摘要：針對“數字信號處理”課程中學生普遍難以掌握的用離散傅里葉變換（DFT）對連續信號譜分析的問題，提出幾個關鍵的教學要點，即明確原理、分析誤差、示例驗證、計算參數、綜合問題、獲得頻譜。教學實踐表明，按此過程講授，可使學生從根本上增強對這一問題的理解，為解決DFT在工程實際中的應用打好基礎。

關鍵詞：離散傅里葉變換（DFT）；譜分析；數字信號處理；教學

作者簡介：喬建華（1975-），女，山西離石人，太原科技大學電子信息工程學院，副教授；于少娟（1971-），女，江蘇漣水人，太原科技大學電子信息工程學院，教授。（山西#8194;太原#8194;030024）

基金項目：本文系山西省教育廳教學改革研究項目（項目編號：2009sjg202）、山西省高等學校教學改革項目（項目編號：J2011130）、山西省高等學校教學改革項目（項目編號：J2013064）、山西省特色專業建設項目（項目編號：201201）的研究成果。

中圖分類號：G642.0#8195;#8195;#8195;#8195;#8195;文獻標識碼：A#8195;#8195;#8195;#8195;#8195;文章編號：1007-0079（2014）14-0114-02

離散傅里葉變換（DFT）開辟了頻域離散化的道路，[1]DFT的快速算法FFT的出現，又使得DFT的應用從理論走向了實踐，帶來了數字信號處理技術突飛猛進的發展，因此，DFT及其快速算法FFT具有重要的理論及現實意義。DFT的應用之一——用DFT（FFT）對連續信號譜分析就是本科“數字信號處理”課程中的一個重點內容，同時也是一個難點，學生普遍對這部分內容理解不深入，對誤差產生原因不明確，對減小誤差的方法不清晰。究其原因，還是對整個譜分析過程研究不透徹的緣故。筆者經過多年的教學改革，總結出講解這部分內容的幾個要點，可使學生更深入明確地掌握該內容，并加深對DFT的理解，為DFT在工程實踐中的正確應用打好基礎。

一、梳理過程，明確原理

對連續信號進行譜分析，關鍵就是得到信號的傅里葉變換。[2]而要用計算機計算，就需要先進行時域采樣，得到采樣信號，再經過傅里葉變換轉換到頻域，然后頻域采樣，而頻域采樣就可以用DFT來完成。這個過程如圖1所示，模擬信號xa（t）的譜分析，是按實線箭頭方向的過程實現的，虛框中的兩個步驟實際上是由虛框上方的DFT（FFT）來完成的。

按照上述過程推導可得，用DFT對連續信號譜分析的計算公式為：[2]

， （1）

即可用對連續信號采樣得到的時域離散信號x（n）的N點DFT再乘以采樣間隔T近似得到。對這個公式的講解，主要注重其原理和概念，掌握DFT在其中的應用，并且要說明在以上分析的步驟中存在著近似。

二、提出問題，定性分析，指出誤差產生必然性

可以發現，在上述分析的過程中存在幾個問題，即圖1中向下的虛線箭頭指向的問題。一是對模擬信號采樣時，需要滿足Nyquist采樣定理，否則會產生頻譜混疊。然而模擬信號大多不是銳截止的，因為根據傅里葉變換理論，若信號持續時間有限長，則其頻譜無限寬；若信號的頻譜有限寬，則其持續時間無限長。[1]所以對于高頻的幅度很小的信號，只能近似看成帶限信號，因此在時域采樣時，必然會出現頻譜混疊現象。二是采樣的信號要進行DFT分析，需要是有限長的，因此要對采樣的序列進行截斷，也會產生誤差。三是頻譜采樣時，相當于隔著柵欄看信號，有些信號會被遮擋，這樣就有可能漏掉一些重要的成分，產生誤差。

要說明的是，以上這幾方面的誤差都是不可避免的，只是從工程角度看，在誤差允許的范圍內。那么誤差對譜分析的影響有多大，如何減小這些誤差，就是接下來要重點分析的問題。

三、深入探討，示例驗證，尋求減小誤差的措施

針對以上過程產生的誤差，下面來逐一分析，以探求抑制誤差的措施。下表1即詳細列出了誤差的產生及減小誤差的方法。

表1#8194;用DFT對連續信號譜分析的誤差問題一覽表

產生原因誤差類型減小誤差的方法

時域采樣頻譜混疊預濾，濾除高于折疊頻率fs/2的高頻雜散分量；

要滿足Nyquist采樣定理，一般取fs≥(3～5)fc

截取有限長序列截斷效應增大截取長度，提高頻率分辨率，減小高頻泄漏；

選擇合適的窗函數，但窄的主瓣寬度和低的旁瓣幅度只能折中選取

頻域采樣柵欄效應原序列尾部補零；

增加截取長度

具體來說，首先時域采樣時，由于不是帶限信號，肯定會造成混疊。為了滿足Nyquist采樣定理，可以先進行預濾，濾除高于折疊頻率fs/2的高頻雜散信號，然后再按照采樣頻率fs≥2fc的原則，[3]fc為模擬信號的最高頻率，而實際應用中fs一般取（3～5）fc。

其次要截取有限長序列，需要通過加窗來截斷，由此造成了截斷效應，它有高頻泄露和譜間干擾兩種表現方式。[4]對于這個問題，先要講清窗函數的性質，窗函數的頻譜主要關注兩點：一是主瓣。例如對于矩形窗，就是指ω=-2π/N和2π/N之間的區域，因此矩形窗的主瓣寬度就是4π/N，[5]它使得譜線展寬，即產生了高頻泄漏，影響的是頻率分辨率。由于每一波瓣下的面積是恒定不變的，隨著N的增大，主瓣會變窄，幅度會增加。二是旁瓣。它產生的波紋造成了譜間干擾，大的旁瓣可能會湮沒小的主瓣，因此旁瓣的幅度也要設法減小。但是對確定的窗函數，旁瓣的衰減是確定的。對不同的窗函數，當N一定時，主瓣寬度窄的，旁瓣幅度就高；旁瓣幅度低的，主瓣寬度就寬，所以要根據需要折中選取。掌握了窗函數的特性，也就能明白如何減小截斷效應帶來的誤差，也即從增大截取長度N和選擇合適的窗函數兩個方面來解決這個問題。

對于頻域采樣時產生的柵欄效應，一方面要減少遮擋，可以通過給原序列尾部補零，增加DFT變換的點數；另一方面是直接增大截取長度，將頻譜本身細化，頻率分辨率自然隨之提高。這個問題可以舉一些具體的例子，通過MATLAB演示來說明，[6]更能直觀地體現這兩種方法本質的不同，加深學生的理解。

例如分析信號x（n）=cos（40nπ）+cos（41nπ）+sin（80nπ），則要分辨出20Hz和20.5Hz的兩條譜線，頻率分辨率至少就要達到0.5Hz。由于信號最高頻率為40Hz，采樣頻率取100Hz，則最少采樣點數為100/0.5=200，這里取256點。若點數太少，頻譜本身就是不清晰的，DFT的變換點數再多也無用。下圖2顯示了不同采樣點數及序列尾部補零時對應的頻譜圖，從中可以清晰地看出不同情況下信號頻譜的分布。

四、回歸問題，計算參數，得到譜分析結果

總結以上過程，根據譜分析原理及誤差減小的方法，可以得到用DFT對連續信號譜分析的具體步驟：預濾，確定模擬信號最高頻率fc；時域采樣，采樣頻率fs≥2fc，一般取fs≥（3～5）fc；確定截取長度，用記錄時間Tp表示，由于頻率分辨率F=fs/N，最少記錄時間Tpmin=NT=N/fs=1/F；選擇合適的窗函數；確定最少采樣點數Nmin=fs/F；按照式（1），得到模擬信號的離散頻譜函數Xa（k）。

另外需要說明的是，根據頻率采樣定理，只有頻率采樣點數N大于等于原序列長度M，才能無失真地恢復原時域信號，所以通常將序列的截取點數也作為N。而且，在實際的應用中，上述參數的取值一般都要大些，以保證獲得準確的頻域分析結果。一種有效的做法是，將取值按倍數擴大后，看頻譜是否出現新的信息，如此反復對比，直至獲得精準結果。

五、結語

“數字信號處理”是一門理論和實踐并重的課程，因此在教學中，既要講清原理，又要多以例證。對于本節內容，這兩方面尤其要重視。本文即針對工程實踐中經常需要做的用DFT對連續信號譜分析的問題，亦是“數字信號處理”課程中的難點之一，做了細致的分析，指出講授這部分內容的幾個關鍵要素：先要宏觀把握，明確整個譜分析的過程；再通過定性分析指出誤差產生的必然性；然后可以通過不同示例尋求減小誤差的具體方法；最后一定要回到問題上，計算出所需參數，最終得到準確的頻譜，從而可使學生脫離只會依據例子計算參數的簡單層次，理清整個譜分析過程的脈絡，明確各環節之間的關系，獲得精準的頻譜分析結果。實踐表明，取得了良好的教學效果。

參考文獻：

[1]A.V.Oppenheim， R.W.Schafer.數字信號處理[M].北京:科學出版社，1980.

[2]高西全，丁玉美.數字信號處理[M].第三版.西安:西安電子科技出版社，2008.

[3]賈中云，李秀梅，董文.“數字信號處理”中采樣定理的教學探索[J].中國電力教育，2012，(29):52-53.

[4]謝海霞，孫志雄.連續非周期信號頻譜分析及Matlab實現[J].現代電子技術，2013，(11):53-56.

[5]Sophocles J.Orfanidis.信號處理導論[M].北京:清華大學出版社，

1999.

[6]黃永平，田秀麗，田曉燕.“數字信號處理”課程教學改革與實踐[J].電氣電子教學學報，2013，(2):39-40，43.

（責任編輯：王意琴）