實函數和復函數的異同

【摘要】復函數在實函數的基礎上有擴展和延伸，它們在各個方面既有相似點也有不同點。對于實函數和復函數異同的比較對于學習和理解函數理論具有重要的意義。本文介紹了函數的定義和分類，實函數和復函數的定義，以及實函數和復函數在極限，連續性，導數，積分上的異同，全面詳細比較了實函數和復函數。

【關鍵詞】實函數 復函數 異同

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）04-0129-02

1.函數的定義和分類

函數的本質是一種對應關系，描述著應變量隨自變量的變化的形式。現代函數的定義是由集合描述的，即從一個集合到另一個集合的對應。

函數的分類方式是多種多樣的，不同的分類方式描述了函數的不同性質。

根據函數映射方式的不同，可以分為單射函數，滿射函數和雙射函數；

根據函數的周期性，可以分為周期函數和非周期函數；

根據函數的增減性，可以分為單調遞增函數，單調遞減函數，凹函數，凸函數和復雜函數；

根據函數解析式的形式，可以分為二次函數，三次函數，指數函數，對數函數等；

函數的性質非常之多，導致其分類形式也有很多。但是，其中最重要的一種分類方式是將函數分為實函數和復函數。

2.實函數的定義

實函數是指定義域和值域都是實數的函數。可以看出，實函數的研究對象是實數，其本質是實數與實數之間的對應關系，是實數隨著實數的變化關系。從集合的定義角度來看，實函數的本質是實數集到實數集的對應。實函數的一個重要特征就是，函數關系可以反映在坐標系中。研究實函數的分支叫作實變函數論，是研究以實數作為函數自變量的理論，是數學領域的一個重要分支。實變函數論以集合論為根基，是微積分理論的進一步擴展和延伸。實變函數論的主要研究內容是實函數的連續性質，極限性質，微分積分性質，測度論等。

3.復函數的定義

復函數是指自變量為復數的函數。與實數不同，復數有實部和虛部，相比之下復函數的情形就更為復雜。復函數研究的不僅是復數和復數之間的函數關系，而且包括復數和實數之間的函數關系。從集合理論的角度來看，復數集合是實數集合和虛數集合的并集，而復函數則是從復數集合到復數集合的對應關系。研究復函數的理論就做復變函數論，是研究以復數作為函數自變量的函數理論。其主要研究內容包括級數，留數，解析函數，復函數的微分和積分等。

由以上論述可以看出，從函數性質的角度研究實函數和復函數，它們的性質既有相同之處，也有不同之處。對于實函數和復函數之間異同的把握，對于掌握它們各自的性質，理解函數的本質，熟練函數的應用是有重要意義的。

4.實函數和復函數的極限性質

極限對于微積分乃至現代數學和物理來說是一個極為重要的概念，它反映的是變量在變化過程中的趨向性質。很多數學物理方法都是以極限概念為基礎而延伸出來的，甚至很多的基本概念也是以極限為基礎的。極限的研究分為數列極限和函數極限，數列極限反映的是分離變量的趨向性質，函數極限反映的是連續變量的趨向性質。極限的研究中，包括極限的性質，如唯一性，有界性，收斂性等；也包括極限的計算方法，運算法則，并要熟練掌握常見的極限性質。

實函數的極限。實函數極限的定義可以用文字描述：一個實函數在其定義域的某一點的空心領域內有定義，如果存在某個正數，當自變量的值與x的差小于這個正數時，其對應的函數值和A的差可以小于某個給定的正數，那么則說這個實函數存在極限。從實函數極限的定義可以看出，其反映的是實數自變量在實函數的變化過程中趨勢的性質，當實數自變量趨于某一個值時，對應的實數函數值也趨于某一個值，這就是實函數極限的簡單含義。

復函數的極限。復函數極限的定義可以用文字描述：一個復函數在其復數定義域內的某一點是聚點，如果存在大于0的數，使得當復函數自變量值與z的差小于整個數時，其對應的復函數值與A小于任意一個給定的正數，那么這個復函數存在極限。復函數極限的定義如果用嚴格的數學語言描述，是：

設函數w=f（z），z∈E（集合）， zo為E的聚點，對于復數A，若對任意給定的？著大于0，總存在r大于0，只要0<|z- zo|A（z->zo）。

從復函數極限的定義可以看出，其描述的是復數自變量在復函數的變化過程中趨向的性質，當復數自變量趨于某一個值時，對應的復數函數值也趨于某一個值，這就是復函數極限的簡單含義。

由上述定義可以看出，實函數和復函數在極限的定義上是相類似的，都是描述當自變量趨向某一值時，函數值的趨向性質。但是，形式上的相似性并不說明含義上的相同性。事實上，復函數極限的定義比實函數極限的定義內容更加豐富。因為復數包括實部和虛部，當自變量趨向某一個復數時，要求實部和虛部必須同時趨向相應的實部和虛部，具有更大的任意性。如果將實數的極限形象的理解為數軸上一維的趨向，那么，復函數的極限則描述的是平面上到一點的趨向。顯然，由于比實函數的極限多了一個維度，復函數的極限的趨向方式的任意性更大，可以類比為一個二元實函數的問題。與復函數極限趨向方式的任意性不同，實函數的極限趨向方式更為苛刻和嚴格，因為趨向的方式只能一種，即單方向的，因此要求實函數一點的左極限和右極限必須相等，這樣才能保證實函數極限的存在。

可以通過求一個復函數極限的例子來說明復函數極限的特點：

可見，該復函數在原點極限不存在。

5.實函數和復函數的連續性

函數的連續性描述的是函數整體變化的性質，判斷一個函數是否具有連續性是更深入研究函數其它性質的前提。函數的連續性問題在對函數的研究中是具有承上啟下作用的，一方面緊密聯系了函數的極限，另一方面為后續更復雜的函數性質做好鋪墊和準備。

函數的連續性首先是針對定義域內一點的定義，要求當自變量趨向某一個值時，其極限值與函數值相等。而通常情況下，函數的連續性指的是函數在定義區間中的所有點都連續，即整體具有連續性。值得注意的是，這里并沒有說函數在定義域內的所有點具有連續性，因為在定義域內有可能包含一些離散的點，而函數在這些離散的點上不連續，導致整體不具有連續性。但是，如果把定義域上的這些點剔除掉，不包含在定義區間內，這樣可以使函數又恢復連續性。

對于實函數和復函數來說，它們連續性的定義是類似的，都由前面的描述給出。但不同的是，實函數的連續是一元的連續，在實數軸上其形式是一維的。相比之下，復函數連續的要求就更為嚴格，因為復函數的實部和虛部必須同時滿足連續的要求。如果把復函數虛部看做一個單獨的變量，那么復函數連續相當于一個二元函數的連續，復雜性增加。

6.實函數和復函數的導數

在函數的研究中，導數是一個極為重要的概念。導數可以反映著一個函數的變化快慢，具體來說是在定義域內某一點上變化的快慢。當函數自變量有一個增量的時候，相應的函數因變量也會有一個增量，函數值的變化與自變量的變化有一個比值，這個比值可以反映函數變化的快慢，比值大說明自變量變化量相同時，函數值增量的變化大；比值小，說明自變量變化量相同時，函數值增量的變化小。當函數自變量變化的值趨向于0時，有時候函數值的變化和自變量變化的比值仍然存在，且不是無窮大，那么這個情況下的比值就叫做函數在這一點上的導數；如果這個比值不存在，那么說明函數在這一點的導數不存在。由此可見，導數反映的是函數在定義域內某一點的變化快慢，導數越大說明函數在這一點上的變化越快，導數越小說明函數在這一點上的變化越小。

導數的計算是函數導數理論，乃至微積分理論中很重要的一部分內容。基本的計算方法包括根據定義計算函數導數，導數的四則運算法則，復合函數導數的計算法則，反函數導數的計算法則等。函數的導數具有線性，即對于線性組合函數的導數，就是各自導數相應的線性組合；對于兩個函數乘積的導數，是一個函數與另一個函數導數的乘積，加上另一個函數的導數和這個函數的乘積；對于兩個函數商的導數，是以后一個函數的平方做分母，前一個函數的導數與后一個函數的乘積減去后一個函數的導數與前一個函數的乘積做分子的結果。

實函數和復函數在導數的計算中有很大的相同點，即所有的導數計算法則都可以應用到實函數和復函數的導數計算中去。包括非常有用的洛比達法則。

洛比達法則可以簡化導數的求法，因而洛比達法則在函數中的適用性對于導數的計算具有重大意義。以下為實函數和復函數中的洛比達法則。

（1）實函數中的洛比達法則：

從以上定理可以看出，當函數滿足定理條件時，洛必達法則對于復函數也適用。除了這些相同點，實函數和復函數在導數的定義上同樣也具有形式上的相同點。但是，實函數和復函數在定義上的不同點，并不能被形式上的一致性所掩蓋。正如前面所分析過的，由于復函數包括實部和虛部，因此復函數的增量也由兩個部分組成，即實部的增量和虛部的增量。因此，在定義復函數導數的時候，考慮的范圍應該多與實函數的導數情形。如果要求復函數存在導數，那么由實部增量獲得的復函數導數應該與由虛部增量獲得的復函數導數相一致。這也就是柯西黎曼條件。注意這不是判斷復函數導數存在的充分條件，只是必要條件。由此可見，復函數的導數內涵比實函數的導數內涵更為廣泛。在函數導數存在與否的判定中，復函數的情形也更為復雜。

可以通過一個具體的例子來說明復函數求導是的特點和性質：

因為兩種趨近方式的導數不相等，因此可以判斷，該函數在z0處導數不存在，也就是說該復函數處處不可導。

由此可以看出，與實函數不同，復變函數的積分應將實部和虛部分開進行積分。

參考文獻：

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