淺議向量組線性無關的證法

【摘要】根據輔導自學考試的教學經歷，考查近幾年經管類《線性代數》試題中有關向量組線性無關的證明（第27題），歸納分析該類考題的特點，并給出了一般的證明方法。本文通過展示對歷年考題的證明過程，闡述了向量組線性無關概念的多種靈活變形，提取這類題目的本質并提出大致解題想法，從而為提高學生例題解析能力和培養邏輯歸納思維提供思路。

【關鍵詞】向量組 線性無關 齊次線性方程組

【中圖分類號】G71【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）04-0251-01

向量組的線性無關性是線性空間結構理論的基礎，在線性代數中有著重要作用，在矩陣、向量組的秩求解、正交向量組、齊次線性方程組的基礎解系、二次型、線性空間變換中均有應用。向量組的線性無關性判別證明以其嚴謹的邏輯推證，巧妙的歸納綜合等特點，增強了數學愛好者的科學智能，但也往往使得初學者難以抓住要領。針對學生的這一問題，為打消其顧慮調動學習積極性，筆者根據多年《線性代數》自學考試的教學經驗，結合教材考試大綱分析命題思路，梳理歸納了歷年考題并給出證明。

全國高等教育自學考試線性代數試題（經管類）共27題，滿分是100分，第27題作為6分的壓軸題難度較大，學生對此往往有畏難心理。該題大多考查向量組線性無關的證明，在歷次考試中出現的幾率很高。例如：

一、（2009年1月第27題）

本題證法與前面不同的是，根據已知條件，可以寫出對應的三元齊次線性方程組，得到系數行列式，且不等于零，依據克萊姆法則判斷，齊次線性方程組只有零解，故向量組線性無關。

從以上五個題的證明可以看出，命題緊緊聯系向量組線性無關的定義，重在考查學生的數學應用、思維發散能力及推理運算技巧。

向量組的線性無關理論是在向量空間一章中講述的，是重要的部分，在求矩陣的秩、向量組的秩、正交向量組等均有廣泛的應用，尤其在線性方程組解的理論中，求基礎解系、通解，不可或缺。因此，證明向量組線性無關，在考試中作為重點考查內容之一，恰如其分。學生應加強學習訓練，提高邏輯歸納能力，才能融會貫通順利通過考試。

參考文獻：

[1]牛少彰， 劉吉佑. 線性代數學習指導與例題分析[M]. 北京郵電大學出版社， 2003.

[2]劉吉佑， 徐誠浩. 線性代數： 經管類[M]. 武漢大學出版社， 2006.

[3]劉吉佑， 徐誠浩. 線性代數 （經管類） 習題詳解[M]. 清華大學出版社， 2007.

[4]任功全，封建湖，薛宏智.線性代數[M]. 北京：科學出版社，2005.

[5]付立江. 線性無關向量組的構造[J]. 黑龍江科技信息， 2010 （031）： 25-25.

[6]王建平， 曹殿立， 孫成金， 等. 線性空間中線性無關向量組擴充為基的研究[J]. 河南教育學院學報： 自然科學版， 2003， 12（4）： 8-9.

作者簡介：

臧新建，男，1965年12月生，理學學士。研究方向：基礎數學。