幻方漫談

王家琰

摘 要：一些小朋友們做類似方陣圖的填空題，使得每行每列，各對角線上的三個數(shù)之和相等。這就屬于填幻方問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；幻方；排列

所謂的幻方，它是由1-n2這n2個數(shù)按一定規(guī)律排列成n行n列的具有一些特殊性質(zhì)的方陣。最基本的性質(zhì)有：每行數(shù)之和=每列數(shù)之和=對角線之和。設(shè)幻方的階數(shù)的階數(shù)為n，則1-n2各自然數(shù)之和為s=1+2+3+……+n2=n2（n2+1）/2。將它排列成n排n列，實(shí)際上每個數(shù)算了兩次。所以幻方各行各列各對角線上的數(shù)之和為N=s/n=n（n2+1）。當(dāng)n=3時，N=15。那么，如何填幻方，這就看該幻方是奇階的還是偶階的。

一、齊階幻方

以三階幻方為例，1～9分別填入3×3的方陣中，使得每行每列每條對角線上的數(shù)之和相等。

1.填法

方法一：從1～9各自然數(shù)中取三個數(shù)使其和等于15，只有以下8種填法：

1+5+9=15 1+6+8=15

2+4+9=15 2+5+8=15

2+6+7=15 3+4+8=15

3+5+7=15 4+5+6=15

其中1、3、7、9各出現(xiàn)兩次，2、4、6、8各出現(xiàn)三次，5出現(xiàn)四次。所以5必須放在中間，2、4、6、8放在四角。如圖2a和2b，然后將這兩種幻方各旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°，又可以得6種，共計8種排列方法。

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方法二：將1～9個數(shù)按圖3斜寫，然后把正方形外的數(shù)通過“上下對易，左右相更”的原則移到正方形內(nèi)相應(yīng)的位置。即把1下移三格到6和8之間，9上移到2和4之間，7右移到2和6之間，就可填成如圖2b。

2.擷趣

將1～9各自然數(shù)按次序排列成三行三列。任圈一數(shù)，比如9，然后去掉9所在行列的其他數(shù)，再在剩下的四個數(shù)中任圈一數(shù)，比如1，再去掉1所在行列的兩個數(shù)2和4。最后剩三個數(shù)1、5、9。這三個數(shù)之和也必然是15。喜歡幻方的不妨多試幾次，看看是不是。（見圖4a、圖4b、圖4c）

3.史鑒

世界上最早的幻方是中國古代的“洛書”，距今四千多年，相傳為夏禹時代洛河里的大龜獻(xiàn)給大禹的貢品。在龜背上有九組“小花”的花紋組成的三階幻方，簡化如圖5，圖中黑白圓圈一共45個，黑的表示偶數(shù)，白的表示奇數(shù)。“神龜載洛書”是我國古代人民智慧的結(jié)晶。在南宋時我國數(shù)學(xué)家楊輝將幻方稱為縱橫圖，在所著《續(xù)古摘奇算法》中對九宮圖作了科學(xué)的說明：九子斜排，左右相更，上下對易，四維挺出。

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4.推廣

填五階幻方：將1～25分別填入5×5的方陣使得每行每列每條對角線上的數(shù)之和相等。根據(jù)N=n（n2+1）/2知n=5時，N=65。

方法一：將1～25按圖6a斜寫，再把正方形外的數(shù)按“上下對易，左右相更”的原則移到其內(nèi)相應(yīng)的外置上，即把上面的1、6、2下移五格到19周圍，下面的24、20、25上移到7的周圍，左右同之，就得到圖6b。

方法二：如圖7a，在斜正方形的各格中依次填入從1開始的奇數(shù)，在延長的斜正方形中依次填入以2開始的偶數(shù)，然后把原正方形外的三個直角三角形移到正方形內(nèi)的相應(yīng)位置，得到圖7b。

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圖7a 圖7b

二、偶階幻方

以四階幻方為例，即將1～16填入4×4的方陣中，使得每行每列每條對角線上的數(shù)之和相等。根據(jù)N=n（n2+1）/2知，當(dāng)n=4時，N=34，所以每行每列每條對角線上的數(shù)之和都為34。

1.填法

先從方陣左上角由1開始在對角線方向上填入四個數(shù)，后一個比前一個大5（4+1=5），依次是1、6、11、16；然后從右上角開始填4，沿對角線方向填入四個數(shù)，后一個比前一個大3（4-1=3），依次是4、7、10、13（圖8a），再從最下面一行開始，在空格中自右向左依次填入余下的8個數(shù)：2、3、5、8、9、12、14、15。就可以填成圖8b了，計算知此幻方各行各列各對角線上的數(shù)之和都是34。

2.擷趣

（1）將1～16按次序填入4×4方陣中，任圈去一個數(shù)，比如7，接著劃去7所在行列的其他數(shù)（圖9），在任圈一個數(shù)，比如14，接著劃去14所在行列的其他數(shù)，同樣再圈一個數(shù)，比如1，也劃去1所在行列的其他數(shù)，最后剩下1、7、12、14，它們之和為34。

（2）關(guān)于六階幻方，其每行每列每條對角線6個數(shù)之和都相等，都是111。該幻方有兩個獨(dú)特性。

其一，該幻方是一個二次幻方，幻方中第一行和第六行中六個數(shù)的平方和也相等。即：

282+42+32+312+352+102=3095

272+332+342+62+22+92=3095

第一列和第六列中六個數(shù)的平方和也相等。即：

282+362+72+82+52+272=2947

102+12+302+292+322+92=2947

其二，這個幻方是回整幻方。即去掉最外面一層，中間剩下的部分仍然是一個四階幻方。這個四階幻方由11～26這16個數(shù)組成，其每行每列每條對角線的4個數(shù)之和都是74。

18+21+24+11=74 20+15+14+25=74

21+12+26+15=74 24+17+19+14=74

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3.推廣

（1）六階幻方的填法：從左上角填1開始，沿對角線后一個數(shù)比前一個數(shù)大7（6+1=7）依次為1、8、15、22、29、36，然后在右上角填6，沿對角線后一個比前一個大5（6-1=5）依次為6、11、16、21、26、31，其他的自己依次填入。

（2）將2-17填入4×4的方陣中，其中N=38，也可按照填1-16的方法填入（圖11）。

參考文獻(xiàn)：

[1]蘇茂挺，戴宏圖.巧妙的3232階3次幻方[J].科學(xué)畫報，1983.

[2]高治源.中國幻方研究動態(tài)[J].延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，1998.

（作者單位 山西省應(yīng)縣第六中學(xué)校）

？誗編輯 李燕燕