構(gòu)造三角形解圓錐曲線問題

夏伯旗

高考對圓錐曲線知識的考查主要有以下兩種形式：第一種是以填空的形式考查，主要考查圓錐曲線的標準方程、性質(zhì)，以及圓錐曲線之間的關系，突出考查基礎知識、基本技能，屬于基礎題.第二種是以解答題的形式考查，主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)及標準方程的求解，常常在知識的交匯點處命題，有時以探究的形式出現(xiàn)。有時以證明題的形式出現(xiàn)，該部分題目多數(shù)為綜合性問題，考查學生分析問題、解決問題的能力，現(xiàn)用構(gòu)造三角形來討論圓錐曲線相關問題。

一、構(gòu)造三角形解離心率問題

例1.（2013·遼寧改編）已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連結(jié)AF，BF.若AB=10，BF=8，cos∠ABF=■，則C的離心率為________。

解析：在△ABF中，由余弦定理得

AF2=AB2+BF2-2AB·BFcos∠ABF，

∴AF2=100+64-128=36，∴AF=6，

從而AB2=AF2+BF2，則AF⊥BF。

∴c=OF=■AB=5，

利用橢圓的對稱性，設F′為右焦點，

則BF′=AF=6，

∴2a=BF+BF′=14，a=7

因此橢圓的離心率e=■=■。

二、構(gòu)造三角形求解角的問題

例2.已知點F1、F2分別為橢圓■+■=1的左、右焦點，過F1的直線l交橢圓于A、B兩點（點A在x軸上方），且AF1-BF1=■，則直線l的傾斜角為 。

■

解析：如圖，直線為橢圓左準線，作AD⊥m于D，BC⊥m于C，BG⊥AD于G，F(xiàn)1E⊥AD于E，設BF1=m，BC=d1，AD=d2，∵AF1-BF1=■，∴AF1=■+m，HF1=3，由橢圓第二定義知，■=e=■∴d1=2BF1=2m，■=e=■，∴d2=2AF1=■+2m，又EF1|GB，∴■=■，解得m=■或-■（負值舍去）。

Rt△AEF1中，cos∠EAF1=■，∴∠EAF1=60°，∴直線l傾斜角為60°。

三、構(gòu)造三角形解面積問題

例3.已知F1、F2是橢圓■+■=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，若∠F1PF2=60°，則△PF1F2的面積為 。

解析：由題意：a=5，b=4，c=3，據(jù)余弦定理得：

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2cos60°，

∴F1F22=（PF1+PF2）2-3PF1·PF2，化簡得PF1·PF2=■。

四、構(gòu)造三角形解綜合性問題

■

例4.（2012·江蘇改編）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0）、F2（c，0）.已知點（1，e）和（e，■）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率。

①求橢圓的方程；

②設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.若|AF1|-|BF2|=■，求直線AF1的斜率；

解釋：①由題設知，a2=b2+c2，e=■。

由點（1，e）在橢圓上，得■+■=1，

解得b2=1，于是c2=a2-1。

又點（e，■）在橢圓上，所以■+■=1，

即■+■=1，解得a2=2。

因此，所求橢圓的方程是■+y2=1。

②令BF2=m，則AF1=■+m ∴BF1=2■-m，AF2=2■-m-■（1）

△AF1F2中，cos∠AF1F2=■（2）

△BF1F2中，cos∠BF2F1=■（3）

∵AF1|BF2 ∴∠AF1F2+∠BF2F1=π ∴cos∠AF1F2+cos∠BF2F1=0（4）

由（1）（2）（3）（4）解得m=■或■（負值舍去）代入（2）得cos∠AF1F2=■。

綜上分析可知，解圓錐曲線相關問題時靈活運用三角形相關知識解題，往往能達化繁為簡，事半功倍的效果。

（作者單位 江蘇省泰州市第二中學）

？誗編輯 李燕燕