函數的周期性、對稱性及其應用

朱洪家

一、函數周期性的定義及其性質

定義：一般的，對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數。非零常數T叫這個函數的周期。對于一個周期函數，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫最小正周期，這里所說的是周期指函數的最小正周期。

性質：1.若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），則f（x）是周期函數，是b-a它的周期。

證明：∵f（x+a）=f（x+b）（a≠b）

用x-a代替x得：f（x）=f（x-a+b）=f（x+b-a）

∴f（x）的周期為b-a。

2.若f（x+a）=-f（x）（a≠0），則f（x）是周期函數，2a是它的周期。

證明：f（x+a）=-f（x）

用x-a代替x得：f（x-a+a）=-f（x-a），即f（x）=-f（x-a）

∴f（x+a）=f（x-a），由性質1得f（x）的周期是2a。

3.若f（x+a）=■（a≠0且f（x）≠0），則f（x）是周期函數，2a是它的周期。

證明：f（x+a）=■=■=f（x-a）

由性質1得f（x）的周期是2a。

4.若f（x+a）=■（a≠0且f（x）≠1），則f（x）是周期函數，4 a是它的周期。

證明：f（x+2a）=f（x+a+a）=■=■=■

由性質3得f（x）的周期是4a。

二、函數的對稱性

一般的，對于函數法f（x），如果對于定義域內的任意一個x的值：

若f（x+a）=f（b-x），則函數f（x）的圖象關于直線x=■對稱，特別的，若f（a+x）=f（a-x）函數的圖象關于直線x=a對稱。

若f（x+a）=-f（b-x），則函數f（x）的圖象關于點（■，0）成中心對稱，特別的，若f（x+a）=-f（a-x），則函數f（x）的圖象關于點（a，0）成中心對稱。

三、周期性與對稱性的相互聯系

函數的周期性與對稱性是相互聯系，密切相關的，一般的：

1.若f（x）的圖象有兩條對稱軸x=a和x=b（a≠b），則f（x）必為周期函數，且2b-a是它的周期。

證明：由x=a是f（x）的對稱軸，則f（x）=f（2a-x）

又由x=b是f（x）的對稱軸，則f（x）=f（2b-x）

∴f（2a-x）=f（2b-x）=f[2a-x+（2b-2a））]

即f（x）=f[x-2（b-a）]∴f（x）的周期是2b-a

2.若f（x）的圖象有兩個對稱中心（a，0）和（b，0）（a≠b），則f（x）必為周期函數，且2b-a是它的周期。

證明：由（a，0）是f（x）的對稱中心，則f（x）=-f（2a-x）

又由（b，0）是f（x）的對稱中心，則f（x）=-f（2b-x）

∴f（2a-x）=f（2b-x）

∴f（x）的周期是2b-a

3.若f（x）的圖象有一條對稱軸x=a和一個對稱中心（b，0）（a≠b），則f（x）必為周期函數，且4b-a是它的周期。

證明：由x=a是f（x）的對稱軸，則f（x）=f（2a-x）

又由（b，0）上f（x）的對稱中心，則f（x）=-f（2b-x）

∴f（2a-x）=-f（2b-x）

∴f（x）=-f（2b-2a+x）

∴f（x）的周期是4b-a

四、應用

例1.已知定義在R上的函數f（x）的圖象關于點（-■，0）對稱，且滿足f（x）=-f（x+■），f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+ f（3）+…+f（2007）的值為（ ）

A.-2 B.2

C.0 D.1

解析：∴f（x）的圖象關于點（-■，0）對稱，∴f（x）=-f（-x-■），又f（x）=-f（x+■）∴f（-x-■）=f（x+■），即f（x）為偶數又f（x+3）=-f[（x+3）+■]=-f（x+■）=f（x），∴f（x）是以3為周期的周期函數，∴f（1）= f（-1）=1，f（0）=f（3）=-2，f（2）=f（-1）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）=f（1）+f（2）+f（3）=0，故選C.

例2.對函數f（x），當x∈（-∞，+∞）時，f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）

在閉區間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0

（1）試判斷函數y=f（x）的奇偶性。

（2）試求方程f（x）=0在閉區間[-2005，2005]上的根的個數，并證明你的結論。

解析：（1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函數，又由f（2-x）=f（2+x）得函數y=f（x）的對稱軸為x=2，∴f（-1）=f（5）≠0，∴f（-1）≠f（1），f（x）不是偶函數。故函數y=f（x）是非奇非偶函數。

（2）由f（2-x）=f（2+x）f（7-x）=f（7+x）？圳f（x）=f（4-x）f（x）-f（14-x）？圳f（4-x）=f（14-x）？圳f（x）=f（x+10），從而知y=f（x）的周期是10，又f（3）=f（1）=0， f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0，故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有兩個解。從而可知函數y=f（x）在[0，2005]上有402個解，在[-2005，0]上有400個解，所以函數y=f（x）在[-2005，2005]上有802個解。

（作者單位 江蘇省阜寧第一高級中學）

？誗編輯 李燕燕