巧解三角函數最值問題

劉裕華

摘 要：主要介紹了如何利用三角函數的有界性、根的別式以及一元二次函數的方法求解三角函數的最值.

關鍵詞：最值；有界性；判別式；均值定理

在三角函數中常常碰到求最值的問題，它不僅與三角函數變換直接相關，還涉及二次函數、不等式等，它是這章的基本內容，也是高考常考的知識點.解決這類問題的基本途徑，一方面要充分利用三角函數本身的特殊性，另一方面還要注意將求解三角函數最值問題轉化為一些我們所熟知的函數最值問題.下面就本人的教學體會，淺析三角函數最值的幾種巧解方法.

一、巧用三角函數有界性

在三角函數中，正弦函數和余弦函數都具有一個重要的性質——有界性.利用三角函數的有界性是求解三角函數最值問題的基本途徑.

例1.當-■≤x≤■時，函數f（x）=sinx+■cosx的（ ）

A.最大值是1，最小值是-1 B.最大值是1，最小值是-■

C.最大值是2，最小值是-2 D.最大值是2，最小值是-1

分析：因為函數式中既有正弦函數又有余弦函數，故應先化為正弦型函數或余弦型函數求解.

解：∵f（x）=sinx+■cosx=2sin（x+■），

而-■≤x≤■，

∴-■≤x+■≤■.

∴當x+■=■時，f（x）有最大值為2；

當x+■=-■時，f（x）有最小值為-1.

故應選D.

例2.求函數y=■的值域.

分析：因為函數式中含有sinx，而sinx≤1，所以可把它轉化為sinx=f（y），再利用有界性求解.

解：∵y=■，

∴sinx=■.

∵-1≤sinx≤1，

∴-1≤■≤1，

∴-■≤y≤1.

∴原函數的值域為[-■，■].

二、巧化二次函數

在求解三角函數最值時，往往會含有平方或二倍角.對于此類題，可利用基本關系式或倍角公式轉化為二次函數求解.

例3.求函數y=cos2x-4sinx+3的最值.

分析：利用cos2x=1-sin2x就可把原函數式化為一個關于sinx的一元二次函數，然后配方即可求解.

解：y=cos2x-4sinx+3

=-sin2x-4sinx+4

=-（sinx+2）2+8.

∵-1≤sinx≤1，

∴-1≤y≤7.

所以ymin=-1，ymax=7.

注意：因為sinx≤1，即sinx+2不可能為零，所以y不能取到最大值8.

例4.求函數的值域.

分析：利用倍角公式cos2x=2cos2x-1也可把原函數化為二次函數.

解：y=cos2x-cosx

=2cos2x-cosx-1

=2（cosx-■）2-■.

∵-1≤cosx≤1，

∴■≤x≤2.

例5.求函數y=（sinx-1）（cosx-1）的最值.

解：y=（sinx-1）（cosx-1）

=sinx·cosx-（sinx+cosx）+1.

設t=sinx+cosx=■sin（x+■），

則-■≤t≤■.

∵（sinx+cosx）2=t2，

∴sinx·cosx=■，

∴y=■-t+1=■（t-1）2.

當t=-■時，ymax=■+■；

當t=1時，ymin=0.

三、巧引判別式

例6.求■的最值.

解：令y=■.

去分母整理得：（y-1）tan2α+（y+1）tanα+（y-1）=0.

當y≠1時，上式為一個關于tanα的一元二次方程，且有兩個實數根.

所以？駐≥0，

即（y+1）2-4（y-1）2≥0，

3y2-10y+3≤0，

■≤y≤3（y≠1）.

當y=1時，由原函數表達式解得tanα=0，符合題意.

所以，ymin=■，ymax=3.

四、巧變不等式

運用均值定理是求最值的一種常用方法，但由于其約束條件“苛刻”（一正二定三相等），往往不能直接運用，要巧變后方可.

例7.已知0

誤解：∵00，■>0.

∴f（x）=■+sinx≥2■=4.

∴f（x）min=4.

在以上解答中忽視了“相等”的條件，這必然導致錯誤.事實上，不可能有sinx=■.

正確解法是：

∵0

∴0

∵f（x）=■+sinx=（sinx+■）+■，

∴f（x）≥2■+■=2+■.

∵當sinx=■，即sinx=1時，

（sinx+■）min=2，且（■）min=3，

∴f（x）min=2+3=5.

例8.設0<θ<π，求函數y=sin■（1+cosθ）的最大值.

解：∵0<θ<π，

∴sin■>0，cos■>0.

∵y=sin■（1+cosθ）=2sin■cos2■，

∴y2=4sin2■cos4■

=2（2sin2■cos2■cos2■）

≤2（■）3=2×（■）3

∴y≤■■.

當且僅當2sin2■=cos2■，即sin■=■時等號成立，所以函數y=sin■（1+cosθ）的最大值為■■.

點評：上題中巧妙地通過函數式兩邊同時平方后拆成三項，再利用sin2■+cos2■=1這個定值來應用均值定理求解.

以上介紹了求解三角函數最值問題的幾種方法，但數學題型千變萬化，解題時絕不能一成不變、生搬硬套，應根據具體情況，具體分析，同時亦要留意題目中一些隱含條件.

參考文獻：

[1]徐昱輝.高職高考數學專題復習[Z].廣東經濟出版社，2007.

[2]季飛.求解三角函數最值有“型”可循[J].高中數學教與學，2007，8：32-33.

（作者單位 廣東省東莞市紡織服裝學校）

？誗編輯 韓 曉