利用導數解決一些函數問題

鄧格

摘 要：隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時不可缺少的工具。有關導數在高中數學中的應用主要類型有：求極限、求函數的切線、判斷函數的單調性、求函數的極值和最值、利用函數的單調性證明不等式、求參數范圍、解決實際問題等，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數學學習的重點之一。下面通過例題談談怎樣利用導數解決一些函數問題。

關鍵詞：導數；函數問題；應用類型

類型一：利用導數求函數的切線

例1.求曲線y=x3-2x2+1過點p（2，1）的切線方程.

解：（1）切點為p點時，由x=2時y′=4可得切線方程為4x-y+7=0

（2）切點不是點p時，設為p0（x0，y0），則有y-1=（3x20-4x0）（x-2）

又因為切點是曲線上的點，所以有y0=x30-2x20+1.

可以求出x0=0，2，其中x0=2是切點為p的情況，所以x0=0.

求得切線方程為y=1.

這是一類易錯題型，很容易忽略切點不是p點的情況，解題時需要注意，“求在點p處的切線”和“求過點的切線”二者的不同。

類型二：利用導數判斷函數的單調性

例2.求函數y=2x3-4x2+2x的單調區間。

解：y′=6x2-8x+2，由y′>0得6x2-8x+2>0，解得x<■或x>1.