利用導數解決一些函數問題

鄧格

摘 要：隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時不可缺少的工具。有關導數在高中數學中的應用主要類型有：求極限、求函數的切線、判斷函數的單調性、求函數的極值和最值、利用函數的單調性證明不等式、求參數范圍、解決實際問題等，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數學學習的重點之一。下面通過例題談談怎樣利用導數解決一些函數問題。

關鍵詞：導數；函數問題；應用類型

類型一：利用導數求函數的切線

例1.求曲線y=x3-2x2+1過點p（2，1）的切線方程.

解：（1）切點為p點時，由x=2時y′=4可得切線方程為4x-y+7=0

（2）切點不是點p時，設為p0（x0，y0），則有y-1=（3x20-4x0）（x-2）

又因為切點是曲線上的點，所以有y0=x30-2x20+1.

可以求出x0=0，2，其中x0=2是切點為p的情況，所以x0=0.

求得切線方程為y=1.

這是一類易錯題型，很容易忽略切點不是p點的情況，解題時需要注意，“求在點p處的切線”和“求過點的切線”二者的不同。

類型二：利用導數判斷函數的單調性

例2.求函數y=2x3-4x2+2x的單調區間。

解：y′=6x2-8x+2，由y′>0得6x2-8x+2>0，解得x<■或x>1.

由y′<0得6x2-8x+2<0，解得■

故所求單調增區間為（-∞，■），（1，+∞），單調減區間為（1，■）.

利用導數判斷函數單調性的步驟是：

（1）確定f（x）的定義域；

（2）求導數f′（x）；

（3）在函數f（x）的定義域內解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；

（4）確定f（x）的單調區間。若在函數式中含字母系數，往往要分類討論。

函數的單調性是函數的一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。

類型三：利用導數求函數的極值、最值

例3.求函數f（x）=x3-27x的極值.

解：由f′（x）=3x2-27=0，解得x=3或x=-3.

當x變化時，y′、y的變化情況如下：

■

當x=-3時，y有極大值f（-3）=-54，當x=3時，y有極小值f（3）=

-54.

求可導函數極值的步驟是：

（1）確定函數定義域，求導數f′（x）；

（2）求f′（x）=0的所有實數根；

（3）對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側，導函數f′（x）的符號如何變化，如果f′（x）的符號由正變負，則f（x0）是極大值；如果f′（x）的符號由負變正，則f（x0）是極小值。求出極值后再將極值與端點值進行比較，就可以得到最值了。

在一些不等式的證明和解不等式問題中，只要在解題過程中需要用到函數的單調性或最值，我們也都可以用導數作工具來解決。另外，導數在實際生活中也有一些應用，比如與幾何有關的最值問題、與利潤及其成本有關的最值問題還有效率最值問題等，這些問題最終都可以轉化為求函數的最值問題。在利用導數解決函數問題的過程中，只要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，就能夠很好地掌握這個工具，幫助我們解決問題，也為今后的高等數學的學習打下基礎。

（作者單位 湖北省孝感一中）

？誗編輯 馬燕萍