新形勢下數列教學改革探索

謝培城

摘 要：在新的形勢下，教育工作者既要把課堂交還給學生，又要促進課堂教學的效益的高效化，向課堂要質量。數列在高中數學知識中是一個基本的數學模型，也是學生所必須掌握的內容之一。教師要結合在數列教學中革新教育理念和教學方法的實踐經歷，圍繞如何提高高中學生數學課堂探究學習的有效性進行探索。

關鍵詞：等差數列；等比數列；發散思維

分析研究近年來的全國各省市高考原題，不難發現數列知識占據了10%～15%的比例。其中既有選擇題，也有解答題，甚至多數還處于壓軸題的位置。所考查的知識點涉及數列的基本概念、等差數列、等比數列、遞推數列乃至導數，同時也映射到相關的分類討論思想等一些數學思想的應用。可見數列的教學在高中數學學習中的地位何等重要。本文根據自身的教學經驗，從新課改的標準出發，探討了相關的教育教學方法。

一、重視思想促探究

數列知識的學習其意義不僅僅在于掌握一些新的數學工具，建構一些新的數學模型，數列的學習探究過程中還包含了很多的數學思想和方法。其中包括數學歸納法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等數學方法，另外還有方程與函數思想、類比思想、歸納思想、數形結合思想、算法思想、由特殊到一般的轉化思想等等數學思想。重視這些思想方法的應用滲透，有助于教師從根本上把握數列這一章的教學內容，幫助學生夯實數學學習的基本功，從而使其舉一反三，將高中乃至今后要學習的數學知識融會貫通。教學中，教師要結合清晰的引導和展示，讓學生逐步體會這些思想方法的特點，掌握他們適用的具體情境，并激勵學生積極使用這些知識去解決問題。

如在推導等差數列求和公式時，為了更好地讓學生感受到成功的體驗，教師先講述了高斯少年時代快速求解1到100的自然數之和的故事，然后讓學生思考，高斯的方法對于我們今天的數列學習有沒有提示。學生很快發現：其實1到100的自然數也是一個等差數列，于是他們開始研究高斯的解題思路。之后，教師出示了探究要求，即“已知等差數列{2，4，6，8，10，12}，能快速求出它們的和嗎？”題目很簡單，學生在故事積淀的基礎上很快列式求和：3（2+12）=72。然后教師又出示了第二個習題“求等差數列{2，4，6，8，10，…2n}的和Sn”。有了前面的基礎，學生快速求出“Sn=n（n+1）”。顯然，這只是教師在引導學生推導等差數列求和的一般公式之前所做的一些熱身工作，隨后教師出示了“求等差數列{an}的前n項之和Sn”的命題，學生開始了自主探究：Sn=a1+a2+a3+…+an=■ 。這個過程教師應用了類比遷移思想，把學生一步步由特殊化的數列求和引向一般化的數列求和。為了更好地促進學生對數學思想的掌握和領悟，教師又幫助學生展示了使用倒序相加法求等差數列前n項和的過程，學生收獲的不只是一個等差數列求和公式，更重要的是基本的數學思想方法的滲透。

顯然，學生要面對的不僅僅是這樣單純的數學推理，因此教師在課堂中又設計了如下例題讓學生解答以體驗并鞏固所學知識。

【例1】求和： ■+■+■+…+■+■。

這道例題并不能單純地使用等差數列求和公式來解答，由于教師在教學中的訓練重點在于數學思想習慣的養成，所以學生的最近發展區不僅僅停留在等差數列的求和公式的應用方面，略加觀察便發現其實本題要使用倒序相加的方法來解答的。

解：原式為①，將原式倒寫得到②式，①+②=10×1，因此Sn=5。

數學思想方法與知識傳授相結合的探究使得學生在第一時間就獲得了廣泛深入的知識訓練，其思維能力也從單純的概念性知識轉化為內化的數學能力。

二、橫向遷移織網絡

在實際生活中，任何問題都不能夠依靠單純的某項知識來解答，往往是綜合在一起的。數列本身與函數、方程、不等式乃至解析幾何、導數都有著千絲萬縷的聯系，它們綜合在一起就會轉化為比較復雜的多元化問題。而縱觀歷年的高考題，為難學生的往往正是這些題目。因此，在引導學生探究學習時，教師還要注重各方面數學知識的綜合應用。通過這樣的綜合性訓練，能讓學生的思維不斷向寬處向縱深處延伸拓展，最終培養學生的綜合素質，提高分析解決問題的能力。

【例2】函數f（x）=■；記an=f（0）+f （■）+f （■）+…+f（■） +f（1）；（n∈N+），求an并求出數列{an}的前n項之和。

【解析】此題是函數與數列組合而成的一道綜合型題目，一方面要研究函數的性質，另一方面要求數列的通項式并求和。這樣的綜合訓練，把學生學過的知識都糅合了進去，形成層層嵌套的結構，需要學生逐層剝解，同時重在訓練學生的知識遷移能力。

記①=an=f（0）+f （■）+f （■）+…+f（■） +f（1）。

②=an=f（1）+f（■）+…f （■） +f （■）+f（0）。

則①+②=2an=（n+1）·[f（1）+f（0）]。

∵f（x）=■，∴f（1）=■=■，f（0）=■=■。∴an=■。

∴Sn=■=■·（■+■ ）=■。

【例3】設數列{an}的前n項和Sn=na+n（n-1）b；（n∈N）。a、b是常數且b≠0。

（1）證明：數列{an}是等差數列。

（2）證明：以（an，■-1） 為坐標的點Pn（n∈N）都落在同一條直線上，并求出此直線的方程。

【解析】顯然，第一小題是對等差數列求和公式的應用，而第二小題則結合了解析幾何的知識來考查學生對于數列和解析幾何知識是否能夠熟練應用。第一小題可用“裂項相消”的方法來進行一般性計算證明。

（1）證明：∵ Sn=na+n（n-1）b，∴ Sn-1=（n-1）a+（n-1）（n-2）b，∴ an=

Sn-Sn-1=a+2b（n-1），∴ an-1=a+2b（n-2），∴ an-an-1=2b。結合題意b是常數且b≠0，可知數列{an}各項之間存在公差2b，即數列{an}是等差數列。

（2）證明：∵ b≠0，當n≧2時，有■=■。

∴ Pn（an，■-1） 都落在通過P1（a，a-1）且斜率為■的直線上。

由點斜式可得此直線方程為y-（a-1）=■（x-a），整理得到：x-2y+a-2=0。

特別是例3中第二小題，在解題構思的過程中，要根據直線表達式的特征來列關系式，然后在計算時又要根據數列的相關知識帶入通式和數列求和表達式，在這樣的融合中，知識已經幾乎不能分清界限了。在引導探究的過程中，教師要鍛煉學生的知識層次感，讓他們知道當兩層知識相套時誰是主導的工具，誰是輔助的方法。而這種體驗，只有在長期的培養中才能讓學生越來越明確的掌握，并用以指導自己的學習實踐。

三、講練結合促效果

在以學生為主導的探究式課堂中，教師的講解也不可或缺，但是講解要注意把持好度，一般幫助學生分析并點明要害即止，要給學生留足思考的時間。要有講解，但是教師也要善于甚至敢于等待，在我們點明題目主旨之后，學生的思維需要一定的緩沖和適應時間，所以大可不必為他們突如其來的靜默而擔心。講練式的學習必須結合一題多解原則，盡可能地調動學生思維的最近發展區，訓練學生的發散思維進而熟練掌握難點知識。

【例4】若一個等差數列前三項和是34后三項和是146，所有項的和是390，那么這個數列有（ ）項？A.13 B.12 C.11 D.10

【解析】該題由于題目條件較為單純，且已知因素是多元的，因此其突破口比較多。整體可以考慮這樣的兩種思路：其一，根據等差數列的性質，我們可以先算出首尾兩項的和值，然后計算項數。其二，根據等差數列各項與公差之間的關系列出一系列表達式，做進一步計算。其三，利用高斯求解1到100自然數之和的方法進行推測，也可迅速得出結論。

解法一：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=■=30；■=7；7+6=13。

解法二：設a1為首項，d為公差，n為項數則列出方程組：

解na1+d=3903（a1+d）=34n（a1+d）=146 ，可得n=13。

解法三：因已有六項之和為180，剩余項之和為210，大于180，因此中間項數應大于6，觀選項應該大于12，因此選A。

此題簡易，但是足可說明一題多解的訓練給學生的思維帶來了什么樣的影響。一方面要立足于基本的數列性質和數列特點，另一方面要有敏銳的洞察力和對比能力，只有這樣才能高效地完成解題任務。

總之，數學教學的改革是一項系統的復雜工程，涉及到教學過程的方方面面。因此，教師要充分認識到數學教學的重要性，把素質教育的思想貫穿到教學的各個環節中，以更好地培養學生對數學學習創新思維能力，使高中數學在培養創新精神、創新意識和創新能力等方面發揮更大的作用。

參考文獻：

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學院學報，2004（3）.

[2]潘萍.數列教學方法改革的探索[J].數學教學通訊，1984（4）.

（廣東省河源市龍川縣實驗中學）