從最值問題中體會數(shù)形結合思想

江孝玲

摘 要： 滲透數(shù)形結合思想對培養(yǎng)學生的解題能力非常重要，其中包括學生的運算能力和利用數(shù)學思想解題的能力，數(shù)形結合思想貫穿整個初中數(shù)學的始終，強化學生能力.本文以最值為例談談對數(shù)形結合思想的認識.

關鍵詞： 數(shù)形結合思想 最值 化繁為簡 解題能力

數(shù)形結合是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來思考，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可使很多問題迎刃而解，以形助數(shù)是指借助形的幾何直觀闡明數(shù)的某種關系，以數(shù)助形是借助數(shù)的精確性闡明形的某種屬性.運用數(shù)形結合不僅能直觀發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化解題過程.所以“數(shù)形結合”是初中數(shù)學的重要思想，也是學好初中數(shù)學的關鍵所在.

滲透數(shù)形結合的思想對培養(yǎng)學生的解題能力非常重要，這其中包括學生的運算能力和利用數(shù)學思想解題的能力，數(shù)形結合思想貫穿初中數(shù)學的始終，使學生的能力達到一個更高的層次.本文就以最值為例談談對數(shù)形結合思想的認識.

一、數(shù)軸中的數(shù)形結合思想

例1：求|x-3|+|x+1|的最小值.

對于這道題目，很多同學不知所措，有一部分同學可能會通過分類討論去絕對值，把這個式子化簡，結果得到很多關于x的代數(shù)式.雖然最終得出了這道題的答案，但是過程偏繁.其實這道題目我們可以借助數(shù)軸，在數(shù)軸上找到兩個數(shù)3和-1，那么這個式子可以看成是數(shù)軸上的數(shù)x與3的距離加上x與-1的距離之和，而當x在這兩個數(shù)之間時，距離之和最小.此題借助了數(shù)形結合的思想，少了很多的計算，從圖形上立即就觀察出來，問題迎刃而解.

二、最短路徑問題中的數(shù)形結合

例2：在平面直角坐標系中的點A（0，2），B（4，1）.在x軸上取一點P，使得P點到A，B兩點的距離之和最小，求點P的坐標和最小值.

解析：如果這道題目我們假設P（x，0），則距離之和可以表示為 + ，那么利用我們初中所學的知識根本就解決不了.但如果我們先畫出圖形去分析，最后得出這道題目可以利用兩點之間線段最短的原理或者利用三角形兩邊之和大于第三邊的理論，那么這道題目就輕而易舉地解決了.可以先作A關于x軸的對稱點A ，然后連接點A 和點B，A B與x軸的交點就是點P，然后可以利用直線解析式或者相似的方法求出點P的坐標，再利用勾股定理可以算出最小值.這題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，也說明了勾股定理和相似在計算中的重要性.

三、函數(shù)最值問題中的數(shù)形結合

數(shù)形結合解幾何最值問題，適當?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關系，再運用相應的代數(shù)知識方法求解.（1）利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，再運用判別式求幾何最值.（2）構造二次函數(shù)，求幾何最值.

例3：已知經(jīng)過點A（3，0），B（1，0），C（0，3）的拋物線，在第四象限的拋物線上找一個點P，使得△ABP的面積最大.

解析：因為底邊AB不變，要讓面積最大，只要高線最大，我們發(fā)現(xiàn)可以過點P作一條與AB平行的直線，當平行直線與拋物線有一個交點時，△ABP面積最大.通過圖形的分析，接下來我們就可以利用代數(shù)的方法求值.先求出拋物線的解析式y(tǒng)=x -4x+3，然后假設出平行直線的解析式y(tǒng)=-x+b，利用這兩個式子聯(lián)立方程組，化簡得到一元二次方程x -3x+3-b=0，再利用判別式等于0求出b的值，再代回去求出點P坐標.這道題目我們也可以利用割補的方法先找到求△ABP面積的方法，然后表示出面積，最后用最值公式求出.

四、應用性問題中的數(shù)形結合

例：某市政府出臺了相關政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.某生按照相關政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500.（1）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

解析：由第（1）小題求得w=-x +600x-5000，很多同學在第二小題求取值范圍時會得出-x +600x-5000≥3000的不等式，然后會得出錯誤的結論，其實這是一個一元二次不等式，我們并沒有學過，這道題目應該借助二次函數(shù).我們可以先畫出w=-x +600x-5000的圖像，在圖像上找到w≥3000的圖像，從而得到x的取值范圍.這就是典型的數(shù)形結合.學生的完成情況不是很理想，很少有學生順利地解出這道題目，所以數(shù)形結合思想在平時的滲透非常重要.

數(shù)形結合是一種非常有效的數(shù)學思想方法，我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休.”“數(shù)形結合”的方法可謂獨樹一幟，以其新穎的題型、獨特的思維方式，吸引考生與教師的眼球.這類題目通常乍看起來十分陌生，像是從未碰到過的新題，但是仔細分析思考以后，便發(fā)現(xiàn)要解決這種題目并不難，只需要畫一張圖，將題目所給的信息、條件在圖上表示，題目的答案便應運而生.這類題型是對題海戰(zhàn)術的挑戰(zhàn)，是對傳統(tǒng)教學方式的顛覆，這類題型的出現(xiàn)，提醒我們“授之以魚，不如授之以漁”.總之，數(shù)形結合是數(shù)學問題解決的重要方法，也是一種重要的數(shù)學思想，充分利用“形”把復雜的數(shù)量關系和抽象的數(shù)學概念變得形象、直觀，從而豐富學生的表象，引發(fā)聯(lián)想，探索規(guī)律，得到結論.這正符合學生從形象思維向抽象思維過渡的認知特點，在數(shù)學教學中應有意識地強調(diào)與滲透.

參考文獻：

[1]端方林.應用題中的數(shù)學建模舉例.中小學數(shù)學，2004.6.

[2]程華.中學數(shù)學思想方法教學問題的思考.初中數(shù)學教與學，2013.5.

[3]楊建.拋物線弓形三角形面積最大值的探究.中學數(shù)學雜志，2011.8.endprint

摘 要： 滲透數(shù)形結合思想對培養(yǎng)學生的解題能力非常重要，其中包括學生的運算能力和利用數(shù)學思想解題的能力，數(shù)形結合思想貫穿整個初中數(shù)學的始終，強化學生能力.本文以最值為例談談對數(shù)形結合思想的認識.

關鍵詞： 數(shù)形結合思想 最值 化繁為簡 解題能力

數(shù)形結合是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來思考，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可使很多問題迎刃而解，以形助數(shù)是指借助形的幾何直觀闡明數(shù)的某種關系，以數(shù)助形是借助數(shù)的精確性闡明形的某種屬性.運用數(shù)形結合不僅能直觀發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化解題過程.所以“數(shù)形結合”是初中數(shù)學的重要思想，也是學好初中數(shù)學的關鍵所在.

滲透數(shù)形結合的思想對培養(yǎng)學生的解題能力非常重要，這其中包括學生的運算能力和利用數(shù)學思想解題的能力，數(shù)形結合思想貫穿初中數(shù)學的始終，使學生的能力達到一個更高的層次.本文就以最值為例談談對數(shù)形結合思想的認識.

一、數(shù)軸中的數(shù)形結合思想

例1：求|x-3|+|x+1|的最小值.

對于這道題目，很多同學不知所措，有一部分同學可能會通過分類討論去絕對值，把這個式子化簡，結果得到很多關于x的代數(shù)式.雖然最終得出了這道題的答案，但是過程偏繁.其實這道題目我們可以借助數(shù)軸，在數(shù)軸上找到兩個數(shù)3和-1，那么這個式子可以看成是數(shù)軸上的數(shù)x與3的距離加上x與-1的距離之和，而當x在這兩個數(shù)之間時，距離之和最小.此題借助了數(shù)形結合的思想，少了很多的計算，從圖形上立即就觀察出來，問題迎刃而解.

二、最短路徑問題中的數(shù)形結合

例2：在平面直角坐標系中的點A（0，2），B（4，1）.在x軸上取一點P，使得P點到A，B兩點的距離之和最小，求點P的坐標和最小值.

解析：如果這道題目我們假設P（x，0），則距離之和可以表示為 + ，那么利用我們初中所學的知識根本就解決不了.但如果我們先畫出圖形去分析，最后得出這道題目可以利用兩點之間線段最短的原理或者利用三角形兩邊之和大于第三邊的理論，那么這道題目就輕而易舉地解決了.可以先作A關于x軸的對稱點A ，然后連接點A 和點B，A B與x軸的交點就是點P，然后可以利用直線解析式或者相似的方法求出點P的坐標，再利用勾股定理可以算出最小值.這題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，也說明了勾股定理和相似在計算中的重要性.

三、函數(shù)最值問題中的數(shù)形結合

數(shù)形結合解幾何最值問題，適當?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關系，再運用相應的代數(shù)知識方法求解.（1）利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，再運用判別式求幾何最值.（2）構造二次函數(shù)，求幾何最值.

例3：已知經(jīng)過點A（3，0），B（1，0），C（0，3）的拋物線，在第四象限的拋物線上找一個點P，使得△ABP的面積最大.

解析：因為底邊AB不變，要讓面積最大，只要高線最大，我們發(fā)現(xiàn)可以過點P作一條與AB平行的直線，當平行直線與拋物線有一個交點時，△ABP面積最大.通過圖形的分析，接下來我們就可以利用代數(shù)的方法求值.先求出拋物線的解析式y(tǒng)=x -4x+3，然后假設出平行直線的解析式y(tǒng)=-x+b，利用這兩個式子聯(lián)立方程組，化簡得到一元二次方程x -3x+3-b=0，再利用判別式等于0求出b的值，再代回去求出點P坐標.這道題目我們也可以利用割補的方法先找到求△ABP面積的方法，然后表示出面積，最后用最值公式求出.

四、應用性問題中的數(shù)形結合

例：某市政府出臺了相關政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.某生按照相關政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500.（1）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

解析：由第（1）小題求得w=-x +600x-5000，很多同學在第二小題求取值范圍時會得出-x +600x-5000≥3000的不等式，然后會得出錯誤的結論，其實這是一個一元二次不等式，我們并沒有學過，這道題目應該借助二次函數(shù).我們可以先畫出w=-x +600x-5000的圖像，在圖像上找到w≥3000的圖像，從而得到x的取值范圍.這就是典型的數(shù)形結合.學生的完成情況不是很理想，很少有學生順利地解出這道題目，所以數(shù)形結合思想在平時的滲透非常重要.

數(shù)形結合是一種非常有效的數(shù)學思想方法，我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休.”“數(shù)形結合”的方法可謂獨樹一幟，以其新穎的題型、獨特的思維方式，吸引考生與教師的眼球.這類題目通常乍看起來十分陌生，像是從未碰到過的新題，但是仔細分析思考以后，便發(fā)現(xiàn)要解決這種題目并不難，只需要畫一張圖，將題目所給的信息、條件在圖上表示，題目的答案便應運而生.這類題型是對題海戰(zhàn)術的挑戰(zhàn)，是對傳統(tǒng)教學方式的顛覆，這類題型的出現(xiàn)，提醒我們“授之以魚，不如授之以漁”.總之，數(shù)形結合是數(shù)學問題解決的重要方法，也是一種重要的數(shù)學思想，充分利用“形”把復雜的數(shù)量關系和抽象的數(shù)學概念變得形象、直觀，從而豐富學生的表象，引發(fā)聯(lián)想，探索規(guī)律，得到結論.這正符合學生從形象思維向抽象思維過渡的認知特點，在數(shù)學教學中應有意識地強調(diào)與滲透.

參考文獻：

[1]端方林.應用題中的數(shù)學建模舉例.中小學數(shù)學，2004.6.

[2]程華.中學數(shù)學思想方法教學問題的思考.初中數(shù)學教與學，2013.5.

[3]楊建.拋物線弓形三角形面積最大值的探究.中學數(shù)學雜志，2011.8.endprint

摘 要： 滲透數(shù)形結合思想對培養(yǎng)學生的解題能力非常重要，其中包括學生的運算能力和利用數(shù)學思想解題的能力，數(shù)形結合思想貫穿整個初中數(shù)學的始終，強化學生能力.本文以最值為例談談對數(shù)形結合思想的認識.

關鍵詞： 數(shù)形結合思想 最值 化繁為簡 解題能力

數(shù)形結合是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來思考，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可使很多問題迎刃而解，以形助數(shù)是指借助形的幾何直觀闡明數(shù)的某種關系，以數(shù)助形是借助數(shù)的精確性闡明形的某種屬性.運用數(shù)形結合不僅能直觀發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化解題過程.所以“數(shù)形結合”是初中數(shù)學的重要思想，也是學好初中數(shù)學的關鍵所在.

滲透數(shù)形結合的思想對培養(yǎng)學生的解題能力非常重要，這其中包括學生的運算能力和利用數(shù)學思想解題的能力，數(shù)形結合思想貫穿初中數(shù)學的始終，使學生的能力達到一個更高的層次.本文就以最值為例談談對數(shù)形結合思想的認識.

一、數(shù)軸中的數(shù)形結合思想

例1：求|x-3|+|x+1|的最小值.

對于這道題目，很多同學不知所措，有一部分同學可能會通過分類討論去絕對值，把這個式子化簡，結果得到很多關于x的代數(shù)式.雖然最終得出了這道題的答案，但是過程偏繁.其實這道題目我們可以借助數(shù)軸，在數(shù)軸上找到兩個數(shù)3和-1，那么這個式子可以看成是數(shù)軸上的數(shù)x與3的距離加上x與-1的距離之和，而當x在這兩個數(shù)之間時，距離之和最小.此題借助了數(shù)形結合的思想，少了很多的計算，從圖形上立即就觀察出來，問題迎刃而解.

二、最短路徑問題中的數(shù)形結合

例2：在平面直角坐標系中的點A（0，2），B（4，1）.在x軸上取一點P，使得P點到A，B兩點的距離之和最小，求點P的坐標和最小值.

解析：如果這道題目我們假設P（x，0），則距離之和可以表示為 + ，那么利用我們初中所學的知識根本就解決不了.但如果我們先畫出圖形去分析，最后得出這道題目可以利用兩點之間線段最短的原理或者利用三角形兩邊之和大于第三邊的理論，那么這道題目就輕而易舉地解決了.可以先作A關于x軸的對稱點A ，然后連接點A 和點B，A B與x軸的交點就是點P，然后可以利用直線解析式或者相似的方法求出點P的坐標，再利用勾股定理可以算出最小值.這題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，也說明了勾股定理和相似在計算中的重要性.

三、函數(shù)最值問題中的數(shù)形結合

數(shù)形結合解幾何最值問題，適當?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關系，再運用相應的代數(shù)知識方法求解.（1）利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，再運用判別式求幾何最值.（2）構造二次函數(shù)，求幾何最值.

例3：已知經(jīng)過點A（3，0），B（1，0），C（0，3）的拋物線，在第四象限的拋物線上找一個點P，使得△ABP的面積最大.

解析：因為底邊AB不變，要讓面積最大，只要高線最大，我們發(fā)現(xiàn)可以過點P作一條與AB平行的直線，當平行直線與拋物線有一個交點時，△ABP面積最大.通過圖形的分析，接下來我們就可以利用代數(shù)的方法求值.先求出拋物線的解析式y(tǒng)=x -4x+3，然后假設出平行直線的解析式y(tǒng)=-x+b，利用這兩個式子聯(lián)立方程組，化簡得到一元二次方程x -3x+3-b=0，再利用判別式等于0求出b的值，再代回去求出點P坐標.這道題目我們也可以利用割補的方法先找到求△ABP面積的方法，然后表示出面積，最后用最值公式求出.

四、應用性問題中的數(shù)形結合

例：某市政府出臺了相關政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.某生按照相關政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500.（1）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

解析：由第（1）小題求得w=-x +600x-5000，很多同學在第二小題求取值范圍時會得出-x +600x-5000≥3000的不等式，然后會得出錯誤的結論，其實這是一個一元二次不等式，我們并沒有學過，這道題目應該借助二次函數(shù).我們可以先畫出w=-x +600x-5000的圖像，在圖像上找到w≥3000的圖像，從而得到x的取值范圍.這就是典型的數(shù)形結合.學生的完成情況不是很理想，很少有學生順利地解出這道題目，所以數(shù)形結合思想在平時的滲透非常重要.

數(shù)形結合是一種非常有效的數(shù)學思想方法，我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休.”“數(shù)形結合”的方法可謂獨樹一幟，以其新穎的題型、獨特的思維方式，吸引考生與教師的眼球.這類題目通常乍看起來十分陌生，像是從未碰到過的新題，但是仔細分析思考以后，便發(fā)現(xiàn)要解決這種題目并不難，只需要畫一張圖，將題目所給的信息、條件在圖上表示，題目的答案便應運而生.這類題型是對題海戰(zhàn)術的挑戰(zhàn)，是對傳統(tǒng)教學方式的顛覆，這類題型的出現(xiàn)，提醒我們“授之以魚，不如授之以漁”.總之，數(shù)形結合是數(shù)學問題解決的重要方法，也是一種重要的數(shù)學思想，充分利用“形”把復雜的數(shù)量關系和抽象的數(shù)學概念變得形象、直觀，從而豐富學生的表象，引發(fā)聯(lián)想，探索規(guī)律，得到結論.這正符合學生從形象思維向抽象思維過渡的認知特點，在數(shù)學教學中應有意識地強調(diào)與滲透.

參考文獻：

[1]端方林.應用題中的數(shù)學建模舉例.中小學數(shù)學，2004.6.

[2]程華.中學數(shù)學思想方法教學問題的思考.初中數(shù)學教與學，2013.5.

[3]楊建.拋物線弓形三角形面積最大值的探究.中學數(shù)學雜志，2011.8.endprint