三角函數的伸縮平移變換

文/張強

在三角函數的平移變換中，我們經常會有這樣的疑問：

（1）函數y=sinx的圖象向左平移■個單位得到函數y=sin（x+■）的圖象，再把橫坐標縮短為原來的■，得到函數y=sin［2（x+■）］還是函數y=sin（2x+■）的圖象？

（2）函數y=sinx的圖象橫坐標縮短為原來的■，得到函數y=sin2x的圖象，再把圖象向左平移■個單位，得到函數y=sin［2（x+■）］還是函數y=sin（2x+■）的圖象？

之所以出現這樣的疑問，是沒有抓住三角函數y=Asin（ωx+φ）+b伸縮平移的本質．我們可大致歸納為以下四種變化.

一、左右平移

四個字“左加右減”，這是大家熟知的，但要注意變化的位置是“x”而不是“φ”.把y=Asin（ωx+φ）+b的圖象向左平移m（m＞0）個單位，得到的是函數y=Asin［ω（x+m）+φ］+b的圖象；把y=Asin（ωx+φ）+b的圖象向右平移m（m＞0）個單位，得到的是函數y=Asin［ω（x-m）+φ］+b的圖象.

所以函數y=sinx的圖象向左平移■個單位得到的是函數y=sin（x+■）的圖象，函數y=sin2x的圖象向左平移■個單位，得到的是函數y=sin［2（x+■）］，即y=sin（2x+■）的圖象.

二、上下平移

四個字“上加下減”，注意變化的位置是“b”.把y=Asin（ωx+φ）+b的圖象向上平移n（n＞0）個單位，得到的是函數y=Asin（ωx+φ）+（b+n）的圖象；把y=Asin（ωx+φ）+b的圖象向下平移n（n＞0）個單位，得到的是函數y=Asin（ωx+φ）+（b-n）的圖象.

三、橫坐標伸縮

兩個字“反比”，注意變化的位置是“ω”.把y=Asin（ωx+φ）+b圖象的橫坐標變為原來的p倍，得到的是函數y=Asin（■x+φ）+b的圖象.

四、縱坐標伸縮

兩個字“正比”，注意變化的位置是“A”.把y=Asin（ωx+φ）+b圖象的縱坐標變為原來的q倍，得到的是函數y=qAsin（ωx+φ）+b的圖象.

例1.把y=sin（x+■）橫坐標縮短為原來的■，得到

的圖象，再把圖象向右平移■個單位，得到的圖象，再把縱坐標縮短為原來的■，得到 的圖象.

分析：變換如下：y=sin（x+■）→y=sin（2x+■）→y=sin［2（x-■）+■］，即y=sin2x→y=■sin2x.

例2.把函數y=Asin（ωx+φ）（Ａ＞0，ω＞0）的圖象向左平移■個單位，再使其圖象上每個點的橫坐標縮短到原來的■（縱坐標不變），得到的圖象對應的函數為y=2sin（2x-■），則原函數的解析

式為（）

A.y=2sin（■x-■） B.y=2sin（■x-■）

C.y=2sin（■x-■） D.y=2sin（6x-■）

分析：從正面分析，因含有未知數，較為復雜，我們可從反面入手：由y=2sin（2x-■）變換到原函數y=Asin（ωx+φ），把變換順序逆過去：先把橫坐標伸長為原來的3倍，再把圖象向右平移■個單位.變換如下：

y=2sin（2x-■）→y=2sin（■x-■）→y=2sin［■（x-■）-■］，即y=2sin（■x-■），故選C.

編輯 韓 曉