學(xué)生的思路決定教師的教路

閆愛

學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)不僅決定學(xué)生學(xué)習(xí)新知的能力，而且還決定他們學(xué)習(xí)新知，同化新知的方式。學(xué)生的學(xué)習(xí)離不開自己已有的知識基礎(chǔ)。學(xué)生利用自己已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)積極主動(dòng)地與新的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行相互作用，或者將新的數(shù)學(xué)知識同化到已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，或者改變已有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以順應(yīng)新的數(shù)學(xué)知識，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的持續(xù)發(fā)展。

例如當(dāng)學(xué)習(xí)《三角形的內(nèi)角和》時(shí)，學(xué)生已掌握了三角形的元素：有三條邊、三個(gè)內(nèi)角。需要特別指出的是學(xué)生剛剛學(xué)完三角形三條邊之間的關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊。由于學(xué)生對這一知識猶聲在耳，所以當(dāng)教師提出三角形的三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系時(shí)，學(xué)生在事先對這一知識一無所知的原始情況下，會受“三角形任意兩邊之各大于第三邊”知識負(fù)遷移的影響，學(xué)生馬上會猜想到：三角形任意兩角之和大于第三角”。

我們知道學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，在很大程度是發(fā)現(xiàn)、修正自己認(rèn)識結(jié)構(gòu)的偏差、甚至是錯(cuò)誤的過程；同樣教師教學(xué)的過程在很大程度是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、修正認(rèn)識上的偏差、甚至是錯(cuò)誤的過程。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)、修正自己認(rèn)識的偏差、甚至是錯(cuò)誤的過程中。這樣學(xué)生不僅獲得了顯性的知識，而且獲得了比顯性知識更為重要的隱性知識：數(shù)學(xué)思想與方法、基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。所以教師的教學(xué)要敢于讓學(xué)生暴露他們的思維的偏差、認(rèn)識上的錯(cuò)誤。

既然學(xué)生會基于“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的認(rèn)識，提出“三角形任意兩角之和大于第三角”的猜想。同時(shí)，由于學(xué)生在探索三角形三邊的關(guān)系時(shí)，學(xué)生有了用兩根小棒相加與第三根小棒比長度的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；也有了在學(xué)習(xí)《角的大小》時(shí)，把兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合在一起比較大小的能力與經(jīng)驗(yàn)。所以學(xué)生應(yīng)該有能力在教師的引導(dǎo)下通過觀察、或動(dòng)手操作否定原先的猜想。并在否定猜想后，再提出新的猜想，再次驗(yàn)證新的猜想，最后得出結(jié)論。學(xué)生通過這一系列活動(dòng)，在獲得新知的同時(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與能力也得到了進(jìn)一步的加強(qiáng)。下面是筆者的引導(dǎo)過程。

一、引導(dǎo)學(xué)生否定初步猜想

師：我們知道三角形有三條邊、三個(gè)內(nèi)角。并且我們已探索出三角形的三條邊的關(guān)系。這節(jié)課我們探索三角形三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系。 三角形三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系？（這個(gè)問題會讓學(xué)生展示出他們的原始思維）

生1：三角形任意兩角之和大于第三角。

師：人類最偉大之處就在于敢于猜想。不過，人類更智慧之處在有了猜想后能進(jìn)行驗(yàn)證。你能對你的猜想進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

（多媒體呈現(xiàn)不同的三角形：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。同時(shí)發(fā)給學(xué)生用硬紙卡做成的上述三類三角形。讓學(xué)生先觀察，再驗(yàn)證）

生1：這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。因?yàn)橥ㄟ^我的觀察，有的三角形（指著鈍角三角形），兩個(gè)較小的角和起來很明顯比那個(gè)大角小。

師：是的，觀察也是一種證明方法。通過觀察，我們能很快地發(fā)現(xiàn)有的三角形（指著鈍角三角形），兩個(gè)較小的角和起來很明顯比那個(gè)大角小，從而證明原來的猜想是錯(cuò)誤的。

師：還有別的證明方法嗎？

……

二、引導(dǎo)學(xué)生再次猜想

師：是的，僅在銳角三角形中有“三角形任意兩角之和大于第三角”關(guān)系，我們不能把它推廣到一般三角形中。那么一般三角形的三個(gè)內(nèi)角倒底有什么關(guān)系呢？大家可以進(jìn)行新的猜想。

師：猜想也不是憑空的亂猜，而是仔細(xì)觀察這些三角形。也可以從部分猜起，然后擴(kuò)展到所有的三角形。現(xiàn)在請同學(xué)們先觀察，然后提出猜想。

……

師（當(dāng)學(xué)生陸續(xù)提出猜想后）：你有什么猜想？為什么提出這樣猜想？

生1：我想三角形三個(gè)內(nèi)角和可能是180度。像三角板這樣的三角形，兩個(gè)較小角的和與直角相等，直角是90度。所以我猜想三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180度。

師：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都等于180度。三角形的狀態(tài)在變，三個(gè)角的大小也在變，不變是什么？

生：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180度不變。

……

對于這部分知識，我看過新課標(biāo)下不同版本的教材，大多是在學(xué)習(xí)三角形三條邊的關(guān)后，直接提出“三角形3個(gè)內(nèi)角的和是多少度呢？”這個(gè)問題。

教材這樣提出問題，很是突兀。老牛不喝水，不能強(qiáng)按頭。學(xué)生面對別人強(qiáng)給的問題，自然不樂意研究。此時(shí)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生的興趣不高，創(chuàng)造力自然不強(qiáng)。這樣教師為完成課時(shí)任務(wù)，容易形成填鴨式教學(xué)。

新課標(biāo)指出，教材只是教師進(jìn)行教學(xué)的藍(lán)本，而不是圣旨。這就意味著，教師可以對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑臁１景咐ㄟ^對教材課前引入的改造，就是想讓學(xué)生經(jīng)歷提出猜想→否定猜想→再度猜想→再度驗(yàn)證的過程；同時(shí)讓學(xué)生體會猜想不是無緣無故的亂想，可以根據(jù)部分特征提出猜想，然后再擴(kuò)大驗(yàn)證（由特殊到一般的過程）。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，是學(xué)生自已研究自己的問題，自然興趣高昂，有利于學(xué)習(xí)效率的提高。可以說，這樣的引入，起到了一箭多雕的作用。

【作者單位：棗莊市薛城區(qū)北臨城小學(xué) 山東省】