解析幾何中對稱問題的解法探析

陳則候

一、關于點的對稱問題

1.點關于點的對稱

解決點點對稱問題的關鍵是利用中點坐標公式，點P（a，b）關于點Q（m，n）的對稱點為P′（2m-a，2n-b），中點問題也是其他對稱問題的基礎.

2.直線關于點的對稱

例1.求直線l∶2x-3y+1=0關于點A（1，2）對稱的直線l′的方程.

解法一：在直線l∶2x-3y+1=0上任取兩點，如，M（1，1），N（-2，-1），則M、N關于點A的對稱點M′，N′均在直線l′上，易知由兩點式可得l′的方程為2x-3y+7=0.

解法二：∵l∶l′， ∴可設l′的方程為2x-3y+c=0（c≠1）

評析：解法一是取特殊點法；解法二是兩直線關于點對稱成平行直線，對稱點到兩直線的距離相等的幾何性質(zhì).

二、關于直線的對稱

1.點關于直線的對稱

一般的點關于直線的對稱問題

例2.求點P（4，0）關于直線l∶5x+4y+21=0的對稱點P′.

解法：設P（4，0）關于直線l的對稱點為P′（x′，y′），顯然x′≠4，則PP′⊥l，線段PP的中點在直線l上.

2.直線關于直線的軸對稱

一般的直線關于直線的對稱問題

評析：此類型是直線與對稱軸相交.四種解法都是常用方法，都注意利用幾何性質(zhì).解法一是抓住了對稱關系的轉化（線關于線對稱轉化為點關于線對稱）；解法二抓住P與P′是一對“相關點”，利用“相關點”的性質(zhì)求出直線l2上的動點的軌跡，這是求曲線關于直線對稱方程的常用方法.

3.圓錐曲線關于直線的對稱

例4.求圓C∶（x-2）2+（y+3）2=1關于直線l∶2x-y-1=0的對稱圓方程.

評析：此題其實就是求圓心（2，-3）關于直線l∶2x-y-1=0的對稱點問題.

例5.求拋物線y2=2x關于直線2x-y-1=0的對稱拋物線方程.

總之，求對稱問題歸根結底都是點的對稱，我們通常采用變量替換、數(shù)形結合等思想。求對稱問題的通法是：（1）求對稱點一般采用，先設對稱點P（x，y），再利用中點坐標公式或垂直、平分等條件，列出x，y的方程組，解方程組所得的解就是對稱點的坐標；（2）求對稱直線一般是：先設對稱曲線上任一點P（x，y），再利用求對稱點的方程求出P點的對稱點Q點坐標，將Q點坐標代入已知曲線方程中，所得的關于x，y的關系式，就是所求對稱曲線的方程.

（作者單位 浙江省永嘉縣上塘中學）

編輯 王團蘭