圍繞核心概念 問題引導探究 關注學生發展
——“古典概型(第一課時)”教學實錄與評析

安徽省六安中學 (郵編：237161)

2013年國慶前夕，六安市高中數學優質課評比活動在六安中學舉行，這是一所民辦學校，學生基礎一般；選手是隨機抽簽，借班上課，每節課40分鐘.筆者(范銀萍)所上的“古典概型(第一課時)”新授課，受到專家和觀摩教師的較高評價，榮獲第一名.現將這節課的課堂教學過程簡錄如下，并根據筆者的感受與思考進行評析，與大家交流.

1 設置懸念，情境引入

(環視全體學生后)

師：請同學們思考這樣一個問題.(投影)口袋里有編號為1，2，3的三個紅球和編號為4的一個白球，這四個球除顏色之外完全相同.甲、乙兩位同學做了這樣一個游戲：從袋中一次任意摸出兩個球，若取到兩個同色球則是甲贏，不同色則是乙贏.這個游戲公平嗎？

師：這個游戲的公平性，取決于什么？

生眾：看甲贏與乙贏的概率是否相等.

師：你們說，相等嗎？

(眾生七嘴八舌，有認為相等的，但大多數學生覺得不相等.)

師：這節課，我們學習了“古典概型”之后，不需要進行大量的重復試驗，就能清楚地解決剛才的問題.(板書課題)

點評在游戲中，教師刻意將紅球與白球的個數設置得差別較大，使得學生難以憑直覺獲得正確結論，起到了懸念的效果，從而學生的注意力與學習積極性被充分調動，最后一句話則揭示了學習本節課的意義和價值.

2 歸納辨析，形成概念

2.1 基本事件

師：先看兩個試驗.(投影)試驗1：擲一枚質地均勻的硬幣.

師：可能出現哪幾個結果？

生眾：兩個結果：“正面向上”和“反面向上”.

師：每一個結果是什么事件？為什么？

生眾：都是隨機事件，因為在一次試驗中，每個結果可能發生，也可能不發生.

師：這兩個隨機事件在同一次試驗中，能同時發生嗎？

生眾：不能.

師：所以它們是什么關系？

生眾：互斥.

(投影)試驗2：擲一枚質地均勻的骰子.

(師生對話與試驗1類似，此處略)

師：我們把這樣的隨機事件叫做基本事件，它們是兩兩互斥的，通常情況下，它們是試驗中最簡單的結果，可以比作一個一個“細胞”.在試驗2中，如果記“出現偶數點”為事件A，那么，事件A還是一個“細胞”嗎？

生1：不是，它包含了三個“細胞”：“2點”、“4點”、“6點”.

師：我們不妨把它叫做一個“細胞群”.在試驗2中，“最大的細胞群”應該包含哪幾個“細胞”呢？

生2：“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”、“6點”，共六個.

師：這個“細胞群”是什么事件？

生2：是必然事件.

師：由此可見，分析一個試驗，首先就要分析它包含哪些基本事件.回到游戲，請寫出它包含的所有基本事件.

(一學生上臺板演，教師巡視，對學生中出現的規律不明顯的列舉方式進行了糾正，并介紹了樹狀圖.)

點評“基本事件”是概率中的一個重要概念，解決概率問題通常都要從分析基本事件入手，人教A版教材還給出了基本事件的兩個特點：(1)每兩個基本事件都是互斥的；(2)每個事件(除不可能事件)都可表示為基本事件的和.在教學中，學生根據試驗1和試驗2自主總結出這兩個特點是很困難的，尤其是特點(2).教師此處的設問非常具體，思維指向明確，符合學情，避免了因設問籠統、模糊而導致不必要的思維發散，教學定位準確.用“細胞”、“細胞群”打比方，恰如其分，令人印象深刻.

2.2 古典概型

師：現在，讓我們換個角度.在試驗1、2中，每個試驗所包含基本事件的個數是有限的還是無限的？每個試驗中基本事件發生的可能性大小是否相等？

(學生思考片刻)

生3：每個試驗中，基本事件的個數都是有限的，基本事件發生的可能性都是相等的.

師：如果一個試驗中，所有可能出現的基本事件只有有限個，并且，每個基本事件出現的可能性相等，那么我們就把具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.(板書概念)

師：剛才的“游戲公平性問題”， 它是古典概型嗎？為什么？

生3：是，因為基本事件有6個，是有限的；每個基本事件的發生是等可能的(師追問：為什么是等可能的？生3：因為是“任取”)，符合古典概型的兩個條件.

師：再看兩個問題.

(投影)投點問題：如圖1，向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？

打靶問題：如圖2，某軍訓學員向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：“命中10環”、“命中9認環”、“命中8環”、“命中7環”、“命中6環”、“命中5環”和“不中環”.你認為這是古典概型嗎？為什么？

(學生思考、互相小聲議論)

生4：都不是.第一個不滿足有限性(師追問：基本事件是什么？為什么不滿足有限性？生4：基本事件是圓內任一點，有無數個)；第二個不滿足等可能性(師追問：基本事件是什么？為什么不滿足等可能性？生4：最起碼，“命中10環”與“不中環”肯定不是等可能的，“命中10環”難，“不中環”很容易).(眾生笑)

師：不錯！從剛才三個例子可以看出，判斷一個試驗是否為古典概型，關鍵看它的基本事件是否滿足有限性和等可能性，二者缺一不可.

點評通過具體問題，引導學生歸納特點、形成概念并及時辨析鞏固，為后續的概念應用與深化理解打下了基礎.教師適時到位的“追問”，可以進一步引導學生立足基本事件的分析，抓住概念的核心要素.

3 引導探究，獲得公式

師：對于一個古典概型，如何求其中某個隨機事件發生的概率呢？仍然以試驗2為例.首先，這6個互斥的基本事件合在一起，就構成了——

生眾：必然事件.

師：而必然事件的概率是——

生眾：是1.

師：因為每個基本事件發生的概率是相等的，所以，一個基本事件發生的概率是——

師：記“出現的點數不超過5”為事件A，它含有多少個基本事件？概率是多少？

師：這里的6、5分別表示什么？

生5：6表示基本事件的總數，5表示事件A所包含的基本事件個數.

師：從特殊到一般，對于古典概型，若基本事件總數為n，事件A包含的基本事件個數為m，則事件A發生的概率是——

師：很好！這就是古典概型中隨機事件概率的計算公式.(板書公式)

師：請同學們計算一下，游戲中甲贏與乙贏的概率分別是多少？

(學生獨立思考)

師：非常好！可見，游戲是公平的.這個結果與你們當初的感覺吻合嗎？(很多學生不好意思地微笑)

師：學好數學，可以使我們的思維變得理性，避免判斷的盲目性.當然，用這個公式計算概率是有前提的：所用概率模型必須是古典概型.

點評教師從實例出發，結合概率的有關性質，以問題串的形式，引導學生歸納、類比，通過合情推理得出古典概型的概率計算公式，進而解決了上課伊始提出的“游戲公平性問題”.設置的問題串條理清晰、梯度合理，有利于學生保持思維的連貫性.值得商榷的是，只用一個特殊事例就歸納出計算公式，是否顯得單薄了些？另外，這個公式完全可以通過演繹進行推導，若考慮到學生的接受能力而不在本節課上處理，是否也應考慮讓學生課下思考，以完善其認知結構？

4 遷移應用，深化理解

(投影)例：先后兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣，求兩次都出現“正面朝上”的概率.

(學生略作思考后)

師：這個試驗中的基本事件有哪些呢？

生7：兩正，兩反，一正一反，一反一正，共四個.(師追問：你為什么認為“一正一反”與“一反一正”是不同的結果呢？生7：因為有“先后”之分.)

師：大家同意嗎？(生眾：同意)這四個基本事件是不是等可能的？

生眾：是的.

師：所求的概率是多少？

(投影)變式：同時拋擲兩枚質地均勻的相同硬幣，求兩枚都正面朝上的概率.

師：這個試驗中的基本事件有哪些呢？請同學們相互交流討論，具體列出來.

(教師巡視，待學生討論聲漸小后，請一位同學發言)

生8：基本事件有三個：兩正，兩反，一正一反.

師：他認為“一正一反”與“一反一正”是同一個結果，有不同意見嗎？(見無人表示異議)你們這樣認為的依據是什么？

生眾：因為題目說的是“同時”.(同學們表現得都很一致，且充滿自信)

師：假如，有一對雙胞胎男孩，外表長得非常像，你們說，是一個人，還是兩個人？

生眾：兩個人.

師：對！還是可以用哥哥、弟弟把他們區分開.那么，“哥哥笑、弟弟哭”與“哥哥哭、弟弟笑”是同一種情況嗎？(課件顯示相應的畫面進行對比，如圖3)

生眾：不是.

師：類似地，兩枚硬幣，即使外觀、質地等完全相同，也還是兩枚硬幣，而不是一枚，還是有區別的，可不可以用A、B把它們區分開？

生眾：可以.

師：正如一位哲人所說：世界上沒有兩片完全相同的樹葉.因此，“A正B反”與“A反B正”是相同的結果還是不同的結果？

生眾：是不同的結果.(課件顯示相應的畫面進行對比，如圖4)

師：那么，這個試驗到底包含多少個等可能的基本事件？所求的概率是多少？

師：若將“A正B反”與“A反B正”合并成“一正一反”，則只有三個基本事件，

生10：我明白了，這時候，基本事件不是等可能的，不是古典概型，不能用這個公式計算概率.

師：很好！能夠弄清錯誤的根源，比給出正確解答更可貴.

點評學生應用古典概型知識解決問題時，往往著眼于如何“計數”，而忽視了概念判斷，特別是等可能性的判斷，導致公式誤用，這也是本節課的難點.教師設置了兩個對比鮮明的“擲硬幣”問題，例題的解決看似“順風順水”，卻為變式的“誤解”做足了鋪墊.為了克服學生在變式中理解上的困難，教師充分發揮多媒體的優勢，“雙胞胎”的比喻較為形象貼切，并引用了微積分創始人萊布尼茨的名言，從實際教學來看，效果良好.當然，若能在課后組織學生親歷隨機模擬試驗，則更有利于加深學生對等可能性的體會.

(投影)練習1：口袋里有未編號的三個紅球和兩個藍球，這五個球除顏色外完全相同，現從中一次任意摸出兩個球.求摸出兩個紅球的概率.

練習2：同時擲兩個骰子，求點數之和為7的概率.

(兩道練習依次呈現，對于每一道練習，教師都是首先引導學生明確解題思路，然后讓學生獨立作答，教師巡視，有意讓出現不同解答的學生上臺板演，最后教師帶領學生進行分析評價.限于篇幅，具體過程從略)

師：經過剛才的練習，請同學們總結一下，利用古典概型求解概率的一般步驟有哪些？

(學生討論，教師補充完善后，投影)

根據具體試驗列舉所有的基本事件→判斷試驗是否為古典概型→確定基本事件總數及事件A包含的基本事件數→代公式.

點評從素材背景上看，兩個練習都是古典概型的經典問題，練習1中未編號的球與“游戲公平性問題”中已編號的球形成對比，和練習2的意圖相同，都是用來幫助學生深化理解概念的；從教學方式上看，教師能夠組織學生獨立思考，敢于暴露學生的思維錯誤，關注學生的個體差異，顯示出較強的“以生為本”意識，及時總結解題步驟也有利于學生形成科學的解題方法和思路.

5 課堂小結，布置作業(略)

總評本節課，教師圍繞“古典概型”這個核心概念，精心設置問題，引導學生充分經歷知識的形成、發展和應用過程，使學生的數學素養和思維能力在知識的學習過程中得到了應有的提升，主要特色有三點：

第一，科學把握了教學的重心.“教什么比怎么教更重要”，以古典概型為例，不少教師將主要精力放在如何計算基本事件的個數上，而對概念中的“等可能性”判斷則輕描淡寫，往往因為覺得“不好講”，所以敷衍了事、一帶而過，嚴重偏離了教學的重心.本節課，教師沒有因為生源狀況不太好就回避難點，而是利用質疑、設“陷阱”、辨析等方式，引起思維沖突，在解決問題的過程中，學生對概念本質的理解不斷得以深入.

第二，充分關注了學生的發展.學生的基礎再差，也有自己的認知需求，也有思維上的“相異構想”，關鍵是能否真正地尊重學生的主體地位，而不是僅僅停留在口頭上.本節課，教師注重以層層遞進、坡度合理的問題串引導學生，由于符合學生的“最近發展區”，學生才能“有東西可想”，從而“愿意想”、“想有所獲”，思維始終處于積極的狀態；注重利用“追問”來擴大戰果；注重及時的表揚鼓勵，增加學生的成就感；注重學生的獨立思考、交流互動、上臺展示，在平等對話中促進學生的發展.

第三，精心設計了自然的過程.教學過程，貴在自然.本節課，在學習新知的過程中，以“游戲公平性問題”為主線，自然建構了基本事件、古典概型的概念，獲得了古典概型的概率計算公式；在概念深化的過程中，以“相同結果”還是“不同結果”的辨析為主線，通過變換問題情境，讓學生不斷面對新的挑戰，自然引發學生思維上的矛盾沖突；在解決難點的過程中，將抽象的數學問題與現實中的生活問題巧妙地聯系在一起，自然引導學生消除認知障礙，走出認知誤區.

1 普通高中課程標準實驗教科書(人教A版必修3)[M].人民教育出版社，2008,11

2 曹才翰，章建躍.中學數學教學概論(第二版)[M].北京師范大學出版社，2008，4

3 曹才翰，章建躍.數學教育心理學(第二版)[M].北京師范大學出版社，2007，8