極限思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

郭嬋嬋

摘要：極限思想是重要的數(shù)學(xué)思想，高中學(xué)習(xí)極限思想一方面能鍛煉學(xué)生的思維能力，提高解題水平，另一方面對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊.本文介紹了極限思想在高中數(shù)學(xué)的幾個(gè)應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：極限思想；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）35-0103-02

“極限”一詞的漢語意思是“最大限度”，在數(shù)學(xué)中的含義是：如果變量x按照某一規(guī)律變化，無限地接近于一個(gè)常數(shù)c，則稱c為x的極限，記作limx=c或x→c.極限思想是微積分學(xué)的基本思想，它將有限與無限、常量和變量、近似與精確統(tǒng)一起來.對于高中生來講，極限的嚴(yán)格定義并不易理解.本文將列舉極限思想在高中數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用.

一、用極限思想解釋為什么指數(shù)函數(shù)的定義域包括無理數(shù)

指數(shù)函數(shù)是高中生必須掌握的基本初等函數(shù)之一，其基本形式是y=ax（a>0，a≠1），定義域?yàn)镽.在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前，學(xué)生已經(jīng)掌握了冪運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)指數(shù)與根式的互化，因此，學(xué)生很容易理解指數(shù)函數(shù)的定義域從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù).例如，函數(shù)f（x）=2x，當(dāng)x為任意有理數(shù)時(shí)，因有理數(shù)可化為分?jǐn)?shù)，我們能理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，因而能求出對應(yīng)的函數(shù)值.但是，當(dāng)x為無理數(shù)，比方說x= 時(shí)，2 有意義嗎？它的值可求嗎？事實(shí)上，指數(shù)函數(shù)的定義域也包括無理數(shù)，用極限思想來解釋就很容易理解了.對于任意有理數(shù)x，x的值越大，2x的值也越大，即當(dāng)x< 時(shí)，2 >2x，當(dāng)x> 時(shí)，2 <2x.由此我們可以得出下表.

隨著 的不足近似值和過剩近似值分別從兩邊無限地逼近 ，2 的值也無限地逼近一個(gè)確定的實(shí)數(shù).用實(shí)數(shù)理論來解釋無理指數(shù)冪太過深?yuàn)W，不利于學(xué)生理解，而用極限思想中無限逼近的方法說明無理指數(shù)冪存在的合理性，按照高中生的認(rèn)知水平足以理解.這樣就將指數(shù)函數(shù)的定義域從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，進(jìn)而可以解釋用描點(diǎn)法作指數(shù)函數(shù)圖像時(shí)要用光滑的曲線連接了.

二、用祖暅原理求球的體積

用“無限分割，近似求和，取極限”的思想方法求球的體積.將球分割為無數(shù)個(gè)“薄圓片”，表示出任意一個(gè)“薄圓片”的體積表達(dá)式，然后求代數(shù)式的和式，最后取極限.這是定積分的基本思想，也是極限思想的重要運(yùn)用.求球的體積的另一個(gè)方法是運(yùn)用“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里認(rèn)為線是由無限多個(gè)點(diǎn)組成，面是由無限多平行線組成，立體則是由無限多個(gè)平行平面組成.他分別把這些元素叫作線、面和體的“不可分量”（indivisible）.利用祖暅原理和“不可分量”，可以求出球的體積.設(shè)曲線DHC是以為O圓心的半圓，ABCD是它的外切矩形，以O(shè)H為旋轉(zhuǎn)軸，則正方形OHBC畫出圓柱，三角形OHB畫出圓錐， 的圓OHKC畫出半球.如上圖，在與底面平行的任何地方去截這些立體的截面，得到以G為中心，半徑分RG，F(xiàn)G，EG的圓，它們分別是圓柱、圓錐和半球的不可分量，這些不可分量存在關(guān)系：OE2=GO2+EG2，OE2=RG2=FG2+EG2.所以，πRG2=πFG2+πEG2，由于這個(gè)關(guān)系對于垂直于軸的任何截面都成立，所以根據(jù)卡瓦列里原理，圓柱的體積等于半球與圓錐的體積之和，即πOH3=V半球+ πOH3，所以，V半球= πOH3.因此，球的體積為 πR3（R是球半徑）.這里的“不可分量”和定積分應(yīng)用中的微元法類似，雖然卡瓦列里的不可分量并不嚴(yán)謹(jǐn)，但是將線作為面的微元，將面作為體的微元的思想有利于學(xué)生理解定積分的概念.

三、用極限證明雙曲線的漸近線

雙曲線 - =1有兩條漸近線 ± =0，教材中這樣描述雙曲線的漸近線：雙曲線與兩條漸近線無限接近，但永不相交.愛思考的學(xué)生可能會有疑問，為什么雙曲線的漸近線是這兩條直線？真的是永不相交嗎？用極限思想就能清楚地回答這兩個(gè)問題.以第一象限為例，無限接近，但永不相交，用數(shù)學(xué)語言表示為：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是雙曲線上的動點(diǎn)，要證明點(diǎn)P到直線 - =0的距離|PN|隨著點(diǎn)P遠(yuǎn)離原點(diǎn)而越來越小最終趨于0.由下圖知，|PN|=|PMcosα|= （x- ）. = （x- ）= · = · ，P點(diǎn)無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)等價(jià)于P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x趨于正無窮大，因此 · = =0.當(dāng)x逐漸增大，x+ 也隨著增大，而 越來越小.當(dāng)x趨向于無窮大， 就趨近于0.點(diǎn)P與直線 - =0的距離也趨近于0，但無論x有多大，這個(gè)距離也不可能為0.

極限思想還貫穿了導(dǎo)數(shù)和積分的內(nèi)容，新課程標(biāo)準(zhǔn)刪去了極限的概念，但是課本上仍然出現(xiàn)了極限符號和極限的簡單運(yùn)算.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)卦黾訕O限的教學(xué).在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生使用極限思想，開闊解題思路，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]袁小明.數(shù)學(xué)思想史導(dǎo)論[M].廣西教育出版社，1991.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1（A版）[M].人民教育出版社，2010.endprint

摘要：極限思想是重要的數(shù)學(xué)思想，高中學(xué)習(xí)極限思想一方面能鍛煉學(xué)生的思維能力，提高解題水平，另一方面對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊.本文介紹了極限思想在高中數(shù)學(xué)的幾個(gè)應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：極限思想；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）35-0103-02

“極限”一詞的漢語意思是“最大限度”，在數(shù)學(xué)中的含義是：如果變量x按照某一規(guī)律變化，無限地接近于一個(gè)常數(shù)c，則稱c為x的極限，記作limx=c或x→c.極限思想是微積分學(xué)的基本思想，它將有限與無限、常量和變量、近似與精確統(tǒng)一起來.對于高中生來講，極限的嚴(yán)格定義并不易理解.本文將列舉極限思想在高中數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用.

一、用極限思想解釋為什么指數(shù)函數(shù)的定義域包括無理數(shù)

指數(shù)函數(shù)是高中生必須掌握的基本初等函數(shù)之一，其基本形式是y=ax（a>0，a≠1），定義域?yàn)镽.在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前，學(xué)生已經(jīng)掌握了冪運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)指數(shù)與根式的互化，因此，學(xué)生很容易理解指數(shù)函數(shù)的定義域從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù).例如，函數(shù)f（x）=2x，當(dāng)x為任意有理數(shù)時(shí)，因有理數(shù)可化為分?jǐn)?shù)，我們能理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，因而能求出對應(yīng)的函數(shù)值.但是，當(dāng)x為無理數(shù)，比方說x= 時(shí)，2 有意義嗎？它的值可求嗎？事實(shí)上，指數(shù)函數(shù)的定義域也包括無理數(shù)，用極限思想來解釋就很容易理解了.對于任意有理數(shù)x，x的值越大，2x的值也越大，即當(dāng)x< 時(shí)，2 >2x，當(dāng)x> 時(shí)，2 <2x.由此我們可以得出下表.

隨著 的不足近似值和過剩近似值分別從兩邊無限地逼近 ，2 的值也無限地逼近一個(gè)確定的實(shí)數(shù).用實(shí)數(shù)理論來解釋無理指數(shù)冪太過深?yuàn)W，不利于學(xué)生理解，而用極限思想中無限逼近的方法說明無理指數(shù)冪存在的合理性，按照高中生的認(rèn)知水平足以理解.這樣就將指數(shù)函數(shù)的定義域從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，進(jìn)而可以解釋用描點(diǎn)法作指數(shù)函數(shù)圖像時(shí)要用光滑的曲線連接了.

二、用祖暅原理求球的體積

用“無限分割，近似求和，取極限”的思想方法求球的體積.將球分割為無數(shù)個(gè)“薄圓片”，表示出任意一個(gè)“薄圓片”的體積表達(dá)式，然后求代數(shù)式的和式，最后取極限.這是定積分的基本思想，也是極限思想的重要運(yùn)用.求球的體積的另一個(gè)方法是運(yùn)用“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里認(rèn)為線是由無限多個(gè)點(diǎn)組成，面是由無限多平行線組成，立體則是由無限多個(gè)平行平面組成.他分別把這些元素叫作線、面和體的“不可分量”（indivisible）.利用祖暅原理和“不可分量”，可以求出球的體積.設(shè)曲線DHC是以為O圓心的半圓，ABCD是它的外切矩形，以O(shè)H為旋轉(zhuǎn)軸，則正方形OHBC畫出圓柱，三角形OHB畫出圓錐， 的圓OHKC畫出半球.如上圖，在與底面平行的任何地方去截這些立體的截面，得到以G為中心，半徑分RG，F(xiàn)G，EG的圓，它們分別是圓柱、圓錐和半球的不可分量，這些不可分量存在關(guān)系：OE2=GO2+EG2，OE2=RG2=FG2+EG2.所以，πRG2=πFG2+πEG2，由于這個(gè)關(guān)系對于垂直于軸的任何截面都成立，所以根據(jù)卡瓦列里原理，圓柱的體積等于半球與圓錐的體積之和，即πOH3=V半球+ πOH3，所以，V半球= πOH3.因此，球的體積為 πR3（R是球半徑）.這里的“不可分量”和定積分應(yīng)用中的微元法類似，雖然卡瓦列里的不可分量并不嚴(yán)謹(jǐn)，但是將線作為面的微元，將面作為體的微元的思想有利于學(xué)生理解定積分的概念.

三、用極限證明雙曲線的漸近線

雙曲線 - =1有兩條漸近線 ± =0，教材中這樣描述雙曲線的漸近線：雙曲線與兩條漸近線無限接近，但永不相交.愛思考的學(xué)生可能會有疑問，為什么雙曲線的漸近線是這兩條直線？真的是永不相交嗎？用極限思想就能清楚地回答這兩個(gè)問題.以第一象限為例，無限接近，但永不相交，用數(shù)學(xué)語言表示為：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是雙曲線上的動點(diǎn)，要證明點(diǎn)P到直線 - =0的距離|PN|隨著點(diǎn)P遠(yuǎn)離原點(diǎn)而越來越小最終趨于0.由下圖知，|PN|=|PMcosα|= （x- ）. = （x- ）= · = · ，P點(diǎn)無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)等價(jià)于P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x趨于正無窮大，因此 · = =0.當(dāng)x逐漸增大，x+ 也隨著增大，而 越來越小.當(dāng)x趨向于無窮大， 就趨近于0.點(diǎn)P與直線 - =0的距離也趨近于0，但無論x有多大，這個(gè)距離也不可能為0.

極限思想還貫穿了導(dǎo)數(shù)和積分的內(nèi)容，新課程標(biāo)準(zhǔn)刪去了極限的概念，但是課本上仍然出現(xiàn)了極限符號和極限的簡單運(yùn)算.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)卦黾訕O限的教學(xué).在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生使用極限思想，開闊解題思路，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]袁小明.數(shù)學(xué)思想史導(dǎo)論[M].廣西教育出版社，1991.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1（A版）[M].人民教育出版社，2010.endprint

摘要：極限思想是重要的數(shù)學(xué)思想，高中學(xué)習(xí)極限思想一方面能鍛煉學(xué)生的思維能力，提高解題水平，另一方面對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊.本文介紹了極限思想在高中數(shù)學(xué)的幾個(gè)應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：極限思想；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）35-0103-02

“極限”一詞的漢語意思是“最大限度”，在數(shù)學(xué)中的含義是：如果變量x按照某一規(guī)律變化，無限地接近于一個(gè)常數(shù)c，則稱c為x的極限，記作limx=c或x→c.極限思想是微積分學(xué)的基本思想，它將有限與無限、常量和變量、近似與精確統(tǒng)一起來.對于高中生來講，極限的嚴(yán)格定義并不易理解.本文將列舉極限思想在高中數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用.

一、用極限思想解釋為什么指數(shù)函數(shù)的定義域包括無理數(shù)

指數(shù)函數(shù)是高中生必須掌握的基本初等函數(shù)之一，其基本形式是y=ax（a>0，a≠1），定義域?yàn)镽.在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前，學(xué)生已經(jīng)掌握了冪運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)指數(shù)與根式的互化，因此，學(xué)生很容易理解指數(shù)函數(shù)的定義域從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù).例如，函數(shù)f（x）=2x，當(dāng)x為任意有理數(shù)時(shí)，因有理數(shù)可化為分?jǐn)?shù)，我們能理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，因而能求出對應(yīng)的函數(shù)值.但是，當(dāng)x為無理數(shù)，比方說x= 時(shí)，2 有意義嗎？它的值可求嗎？事實(shí)上，指數(shù)函數(shù)的定義域也包括無理數(shù)，用極限思想來解釋就很容易理解了.對于任意有理數(shù)x，x的值越大，2x的值也越大，即當(dāng)x< 時(shí)，2 >2x，當(dāng)x> 時(shí)，2 <2x.由此我們可以得出下表.

隨著 的不足近似值和過剩近似值分別從兩邊無限地逼近 ，2 的值也無限地逼近一個(gè)確定的實(shí)數(shù).用實(shí)數(shù)理論來解釋無理指數(shù)冪太過深?yuàn)W，不利于學(xué)生理解，而用極限思想中無限逼近的方法說明無理指數(shù)冪存在的合理性，按照高中生的認(rèn)知水平足以理解.這樣就將指數(shù)函數(shù)的定義域從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，進(jìn)而可以解釋用描點(diǎn)法作指數(shù)函數(shù)圖像時(shí)要用光滑的曲線連接了.

二、用祖暅原理求球的體積

用“無限分割，近似求和，取極限”的思想方法求球的體積.將球分割為無數(shù)個(gè)“薄圓片”，表示出任意一個(gè)“薄圓片”的體積表達(dá)式，然后求代數(shù)式的和式，最后取極限.這是定積分的基本思想，也是極限思想的重要運(yùn)用.求球的體積的另一個(gè)方法是運(yùn)用“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里認(rèn)為線是由無限多個(gè)點(diǎn)組成，面是由無限多平行線組成，立體則是由無限多個(gè)平行平面組成.他分別把這些元素叫作線、面和體的“不可分量”（indivisible）.利用祖暅原理和“不可分量”，可以求出球的體積.設(shè)曲線DHC是以為O圓心的半圓，ABCD是它的外切矩形，以O(shè)H為旋轉(zhuǎn)軸，則正方形OHBC畫出圓柱，三角形OHB畫出圓錐， 的圓OHKC畫出半球.如上圖，在與底面平行的任何地方去截這些立體的截面，得到以G為中心，半徑分RG，F(xiàn)G，EG的圓，它們分別是圓柱、圓錐和半球的不可分量，這些不可分量存在關(guān)系：OE2=GO2+EG2，OE2=RG2=FG2+EG2.所以，πRG2=πFG2+πEG2，由于這個(gè)關(guān)系對于垂直于軸的任何截面都成立，所以根據(jù)卡瓦列里原理，圓柱的體積等于半球與圓錐的體積之和，即πOH3=V半球+ πOH3，所以，V半球= πOH3.因此，球的體積為 πR3（R是球半徑）.這里的“不可分量”和定積分應(yīng)用中的微元法類似，雖然卡瓦列里的不可分量并不嚴(yán)謹(jǐn)，但是將線作為面的微元，將面作為體的微元的思想有利于學(xué)生理解定積分的概念.

三、用極限證明雙曲線的漸近線

雙曲線 - =1有兩條漸近線 ± =0，教材中這樣描述雙曲線的漸近線：雙曲線與兩條漸近線無限接近，但永不相交.愛思考的學(xué)生可能會有疑問，為什么雙曲線的漸近線是這兩條直線？真的是永不相交嗎？用極限思想就能清楚地回答這兩個(gè)問題.以第一象限為例，無限接近，但永不相交，用數(shù)學(xué)語言表示為：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是雙曲線上的動點(diǎn)，要證明點(diǎn)P到直線 - =0的距離|PN|隨著點(diǎn)P遠(yuǎn)離原點(diǎn)而越來越小最終趨于0.由下圖知，|PN|=|PMcosα|= （x- ）. = （x- ）= · = · ，P點(diǎn)無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)等價(jià)于P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x趨于正無窮大，因此 · = =0.當(dāng)x逐漸增大，x+ 也隨著增大，而 越來越小.當(dāng)x趨向于無窮大， 就趨近于0.點(diǎn)P與直線 - =0的距離也趨近于0，但無論x有多大，這個(gè)距離也不可能為0.

極限思想還貫穿了導(dǎo)數(shù)和積分的內(nèi)容，新課程標(biāo)準(zhǔn)刪去了極限的概念，但是課本上仍然出現(xiàn)了極限符號和極限的簡單運(yùn)算.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)卦黾訕O限的教學(xué).在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生使用極限思想，開闊解題思路，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]袁小明.數(shù)學(xué)思想史導(dǎo)論[M].廣西教育出版社，1991.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1（A版）[M].人民教育出版社，2010.endprint