由“平分已知角”另作引發的思考

章遠歆

摘要：《由“平分已知角”另作引發的思考》是在教育教學改革中，學生質疑、創新、探究出尺規作圖——平分已知角的另一方法后，教師引發的對教與學的方式、師生雙邊關系、教師的教以及學生的學的一個反思，從反思中獲取對教學有指導意義的寶貴經驗。

關鍵詞：“平分已知角”另作；新課程改革；思考

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0241-01

在教學北師大版《數學》九年級上冊《證明（二）》中“用尺規平分已知角”這一內容時，質疑環節有一個學生提出問題：能否用這樣的方法來平分一個角。（方法如下）

已知：∠AOB（如圖所示）。

求作：射線OP，使∠AOP=∠BOP。

作法：1.以O為圓心，分別以任意兩條線段的長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、E和D、F。

2.連接ED、CF交于P點。

3.作射線OP。

射線OP即為所求作的圖形。

我看后，當即對著全班同學說：“曹成洪同學嘗試用另一種方法來平分已知角，無論他的做法是否正確，他敢于打破陳規，勇于創新的精神都值得大家學習，如果能證明這種作法是正確的，那更應是我們大家去嘗試、去追求的。”

沒過多久，這位同學把完整的、完全正確的證明過程呈現在我面前。可以想象，這位同學在平分已知角探究過程中，首先對平分已知角作圖有著濃厚興趣與參與熱情，激發其通過實踐活動—尺規作圖，然后依靠直覺大膽猜測—所作射線即為該角平分線，在初步獲得成功體驗后，促使自己進行邏輯推理，證明OP平分∠AOB。這節課，該同學收獲是巨大的，他從成功體驗中增強了學習數學的自信心，同時也真切地感受到知識的價值，培養了自己勇于質疑和獨立思考的習慣。我想，學生能另作“平分已知角”不是偶然的，應該是學生思維發展及創造精神和創新能力萌發的必然結果。這正是新課程對學生數學素質提出的新要求，也是我們每位教師應該共同追求的教學素養。

新課程標準頒布以后，通過新課標學習，不斷更新教育觀念，課堂上轉變自己的角色，努力改進教與學方式。或許正是這些做法產生了積極效果，開發了學生“平分已知角”另作潛力。這些做法也更值得自己在今后教學中進一步去感悟、去發現、去探索。

1.建立和諧平等的師生關系，解放學生心理，讓學生有話敢說，有話想說，激發學生對數學學習和探究欲望。俗語有云：親其師，信其道。要讓學生喜歡數學，先應讓學生喜歡數學老師。教學中，尤其注重擺正自己的角色，不居高臨下，課堂上是師生，課余是朋友。對于學生學習從不馬虎，嚴格要求，同時又盡量參與到學生各項活動中。比如：同學生一起選材辦墻報，討論電腦知識、研究書法等。時刻與學生“共同研究”、“一起探討”。讓學生體會到平等，具有與老師一樣“問題探討者”的地位。消除了學生的戒備心理，以至于時常學生同我說玩笑話，讓我感受到的不是學生的放肆，而是來自學生的信任、親昵，還帶有一絲幸福感，與學生交流盡量使語言有幽默感。因而使學生感受到自己在對待他們學習上的嚴肅，又能體會到隨時的親近感，他們愿意與我交流，更喜歡上了數學，愛上數學課，喜歡探究數學問題。

2.鼓勵學生觀察、實驗，猜想、推理，經歷這些數學活動過程，培養思維能力和創新精神。教學中，我努力給學生提供時間、空間，讓學生參與到數學活動中。例如教學《視圖》，畫物體三視圖時，讓學生用正方體自擺多種實物，讓他們從不同方向去觀察，畫出三種視圖，鼓勵學生用自己的語言說出這樣畫的想法。時常向學生表明：老師不在意同學們思考問題結果是否正確，只想知道大家怎樣想的，說出自己為什么要這樣去推導、證明，思路方法是怎樣想到的，說出自己在解題中的困難，把單純解題上升到數學思想方法上。鼓勵學生一題多解、大膽猜想、勇于創新。

3.變“聽講—練習”的學習方式為探究式學習。在以前教學中，強調的是學生對知識的掌握。老師講，學生聽，再進行大量的重復練習加以鞏固，學生是被動接受知識。現在要對學生學習方式進行轉變，強調學生知識、技能、思維、運用、創新、情感等各方面的全面發展，在探究活動中，學生處于主動。

在前邊的例子教學畫物體三視圖時，我這樣引導學生去探究學習，收到了較好效果。學生通過從不同方向看畫出物體三視圖后，我讓學生把自己畫的視圖與書中視圖作比較，找出不同。全體學生經過深入觀察、比較后，找出的不同點是：擺放位置不同、畫的大小不同。于是我提出問題：該如何確定視圖大小？讓學生討論，鼓勵學生大膽猜想，并用自己的語言說出想法，和同桌交流。綜合一部分學生的想法：因為視圖是從不同方向看到物體的形狀，視圖大小應與物體大小一樣。另外一部分同學提出反駁觀點：請問怎樣、又在哪里畫出足球場俯視圖？學生通過討論得到的結論是：先應把實物抽象成幾何體，視圖大小與幾何體大小一樣。學生都一致贊同，進一步探究三種視圖大小如何確定。我及時肯定了學生的推理與想象，然后問學生：書中的作圖是這樣做的嗎？學生通過測量驗證加以肯定。接著問學生位置如何確定，學生看書后猜想的結果是主視圖下面畫俯視圖，右邊畫左視圖。最后我給學生介紹了畫三視圖的要求并對學生探究思路及結果予以認同。

在這一例中，我引導學生圍繞“如何確定視圖大小、位置？”兩個問題展開，學生經歷了觀察、討論、想象、猜測、交流、驗證等探究活動過程，獲得了知識、訓練了思維能力，培養了學生參與探究的意識和能力。

通過對課程改革的實踐，我可以肯定的說，學生是可以創新的！學生創造精神和創新能力的培養需要我們去審視、校正自己的教學：我們是否真正地擺正了自己的角色？是否在不斷開發學生創新潛能？是否在用心去關注學生每一個發現……在課改的今天，我們沒有太多的選擇，只能勇往直前，不斷去實踐、理解、發展新課程改革。

endprint

摘要：《由“平分已知角”另作引發的思考》是在教育教學改革中，學生質疑、創新、探究出尺規作圖——平分已知角的另一方法后，教師引發的對教與學的方式、師生雙邊關系、教師的教以及學生的學的一個反思，從反思中獲取對教學有指導意義的寶貴經驗。

關鍵詞：“平分已知角”另作；新課程改革；思考

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0241-01

在教學北師大版《數學》九年級上冊《證明（二）》中“用尺規平分已知角”這一內容時，質疑環節有一個學生提出問題：能否用這樣的方法來平分一個角。（方法如下）

已知：∠AOB（如圖所示）。

求作：射線OP，使∠AOP=∠BOP。

作法：1.以O為圓心，分別以任意兩條線段的長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、E和D、F。

2.連接ED、CF交于P點。

3.作射線OP。

射線OP即為所求作的圖形。

我看后，當即對著全班同學說：“曹成洪同學嘗試用另一種方法來平分已知角，無論他的做法是否正確，他敢于打破陳規，勇于創新的精神都值得大家學習，如果能證明這種作法是正確的，那更應是我們大家去嘗試、去追求的。”

沒過多久，這位同學把完整的、完全正確的證明過程呈現在我面前。可以想象，這位同學在平分已知角探究過程中，首先對平分已知角作圖有著濃厚興趣與參與熱情，激發其通過實踐活動—尺規作圖，然后依靠直覺大膽猜測—所作射線即為該角平分線，在初步獲得成功體驗后，促使自己進行邏輯推理，證明OP平分∠AOB。這節課，該同學收獲是巨大的，他從成功體驗中增強了學習數學的自信心，同時也真切地感受到知識的價值，培養了自己勇于質疑和獨立思考的習慣。我想，學生能另作“平分已知角”不是偶然的，應該是學生思維發展及創造精神和創新能力萌發的必然結果。這正是新課程對學生數學素質提出的新要求，也是我們每位教師應該共同追求的教學素養。

新課程標準頒布以后，通過新課標學習，不斷更新教育觀念，課堂上轉變自己的角色，努力改進教與學方式。或許正是這些做法產生了積極效果，開發了學生“平分已知角”另作潛力。這些做法也更值得自己在今后教學中進一步去感悟、去發現、去探索。

1.建立和諧平等的師生關系，解放學生心理，讓學生有話敢說，有話想說，激發學生對數學學習和探究欲望。俗語有云：親其師，信其道。要讓學生喜歡數學，先應讓學生喜歡數學老師。教學中，尤其注重擺正自己的角色，不居高臨下，課堂上是師生，課余是朋友。對于學生學習從不馬虎，嚴格要求，同時又盡量參與到學生各項活動中。比如：同學生一起選材辦墻報，討論電腦知識、研究書法等。時刻與學生“共同研究”、“一起探討”。讓學生體會到平等，具有與老師一樣“問題探討者”的地位。消除了學生的戒備心理，以至于時常學生同我說玩笑話，讓我感受到的不是學生的放肆，而是來自學生的信任、親昵，還帶有一絲幸福感，與學生交流盡量使語言有幽默感。因而使學生感受到自己在對待他們學習上的嚴肅，又能體會到隨時的親近感，他們愿意與我交流，更喜歡上了數學，愛上數學課，喜歡探究數學問題。

2.鼓勵學生觀察、實驗，猜想、推理，經歷這些數學活動過程，培養思維能力和創新精神。教學中，我努力給學生提供時間、空間，讓學生參與到數學活動中。例如教學《視圖》，畫物體三視圖時，讓學生用正方體自擺多種實物，讓他們從不同方向去觀察，畫出三種視圖，鼓勵學生用自己的語言說出這樣畫的想法。時常向學生表明：老師不在意同學們思考問題結果是否正確，只想知道大家怎樣想的，說出自己為什么要這樣去推導、證明，思路方法是怎樣想到的，說出自己在解題中的困難，把單純解題上升到數學思想方法上。鼓勵學生一題多解、大膽猜想、勇于創新。

3.變“聽講—練習”的學習方式為探究式學習。在以前教學中，強調的是學生對知識的掌握。老師講，學生聽，再進行大量的重復練習加以鞏固，學生是被動接受知識。現在要對學生學習方式進行轉變，強調學生知識、技能、思維、運用、創新、情感等各方面的全面發展，在探究活動中，學生處于主動。

在前邊的例子教學畫物體三視圖時，我這樣引導學生去探究學習，收到了較好效果。學生通過從不同方向看畫出物體三視圖后，我讓學生把自己畫的視圖與書中視圖作比較，找出不同。全體學生經過深入觀察、比較后，找出的不同點是：擺放位置不同、畫的大小不同。于是我提出問題：該如何確定視圖大小？讓學生討論，鼓勵學生大膽猜想，并用自己的語言說出想法，和同桌交流。綜合一部分學生的想法：因為視圖是從不同方向看到物體的形狀，視圖大小應與物體大小一樣。另外一部分同學提出反駁觀點：請問怎樣、又在哪里畫出足球場俯視圖？學生通過討論得到的結論是：先應把實物抽象成幾何體，視圖大小與幾何體大小一樣。學生都一致贊同，進一步探究三種視圖大小如何確定。我及時肯定了學生的推理與想象，然后問學生：書中的作圖是這樣做的嗎？學生通過測量驗證加以肯定。接著問學生位置如何確定，學生看書后猜想的結果是主視圖下面畫俯視圖，右邊畫左視圖。最后我給學生介紹了畫三視圖的要求并對學生探究思路及結果予以認同。

在這一例中，我引導學生圍繞“如何確定視圖大小、位置？”兩個問題展開，學生經歷了觀察、討論、想象、猜測、交流、驗證等探究活動過程，獲得了知識、訓練了思維能力，培養了學生參與探究的意識和能力。

通過對課程改革的實踐，我可以肯定的說，學生是可以創新的！學生創造精神和創新能力的培養需要我們去審視、校正自己的教學：我們是否真正地擺正了自己的角色？是否在不斷開發學生創新潛能？是否在用心去關注學生每一個發現……在課改的今天，我們沒有太多的選擇，只能勇往直前，不斷去實踐、理解、發展新課程改革。

endprint

摘要：《由“平分已知角”另作引發的思考》是在教育教學改革中，學生質疑、創新、探究出尺規作圖——平分已知角的另一方法后，教師引發的對教與學的方式、師生雙邊關系、教師的教以及學生的學的一個反思，從反思中獲取對教學有指導意義的寶貴經驗。

關鍵詞：“平分已知角”另作；新課程改革；思考

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0241-01

在教學北師大版《數學》九年級上冊《證明（二）》中“用尺規平分已知角”這一內容時，質疑環節有一個學生提出問題：能否用這樣的方法來平分一個角。（方法如下）

已知：∠AOB（如圖所示）。

求作：射線OP，使∠AOP=∠BOP。

作法：1.以O為圓心，分別以任意兩條線段的長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、E和D、F。

2.連接ED、CF交于P點。

3.作射線OP。

射線OP即為所求作的圖形。

我看后，當即對著全班同學說：“曹成洪同學嘗試用另一種方法來平分已知角，無論他的做法是否正確，他敢于打破陳規，勇于創新的精神都值得大家學習，如果能證明這種作法是正確的，那更應是我們大家去嘗試、去追求的。”

沒過多久，這位同學把完整的、完全正確的證明過程呈現在我面前。可以想象，這位同學在平分已知角探究過程中，首先對平分已知角作圖有著濃厚興趣與參與熱情，激發其通過實踐活動—尺規作圖，然后依靠直覺大膽猜測—所作射線即為該角平分線，在初步獲得成功體驗后，促使自己進行邏輯推理，證明OP平分∠AOB。這節課，該同學收獲是巨大的，他從成功體驗中增強了學習數學的自信心，同時也真切地感受到知識的價值，培養了自己勇于質疑和獨立思考的習慣。我想，學生能另作“平分已知角”不是偶然的，應該是學生思維發展及創造精神和創新能力萌發的必然結果。這正是新課程對學生數學素質提出的新要求，也是我們每位教師應該共同追求的教學素養。

新課程標準頒布以后，通過新課標學習，不斷更新教育觀念，課堂上轉變自己的角色，努力改進教與學方式。或許正是這些做法產生了積極效果，開發了學生“平分已知角”另作潛力。這些做法也更值得自己在今后教學中進一步去感悟、去發現、去探索。

1.建立和諧平等的師生關系，解放學生心理，讓學生有話敢說，有話想說，激發學生對數學學習和探究欲望。俗語有云：親其師，信其道。要讓學生喜歡數學，先應讓學生喜歡數學老師。教學中，尤其注重擺正自己的角色，不居高臨下，課堂上是師生，課余是朋友。對于學生學習從不馬虎，嚴格要求，同時又盡量參與到學生各項活動中。比如：同學生一起選材辦墻報，討論電腦知識、研究書法等。時刻與學生“共同研究”、“一起探討”。讓學生體會到平等，具有與老師一樣“問題探討者”的地位。消除了學生的戒備心理，以至于時常學生同我說玩笑話，讓我感受到的不是學生的放肆，而是來自學生的信任、親昵，還帶有一絲幸福感，與學生交流盡量使語言有幽默感。因而使學生感受到自己在對待他們學習上的嚴肅，又能體會到隨時的親近感，他們愿意與我交流，更喜歡上了數學，愛上數學課，喜歡探究數學問題。

2.鼓勵學生觀察、實驗，猜想、推理，經歷這些數學活動過程，培養思維能力和創新精神。教學中，我努力給學生提供時間、空間，讓學生參與到數學活動中。例如教學《視圖》，畫物體三視圖時，讓學生用正方體自擺多種實物，讓他們從不同方向去觀察，畫出三種視圖，鼓勵學生用自己的語言說出這樣畫的想法。時常向學生表明：老師不在意同學們思考問題結果是否正確，只想知道大家怎樣想的，說出自己為什么要這樣去推導、證明，思路方法是怎樣想到的，說出自己在解題中的困難，把單純解題上升到數學思想方法上。鼓勵學生一題多解、大膽猜想、勇于創新。

3.變“聽講—練習”的學習方式為探究式學習。在以前教學中，強調的是學生對知識的掌握。老師講，學生聽，再進行大量的重復練習加以鞏固，學生是被動接受知識。現在要對學生學習方式進行轉變，強調學生知識、技能、思維、運用、創新、情感等各方面的全面發展，在探究活動中，學生處于主動。

在前邊的例子教學畫物體三視圖時，我這樣引導學生去探究學習，收到了較好效果。學生通過從不同方向看畫出物體三視圖后，我讓學生把自己畫的視圖與書中視圖作比較，找出不同。全體學生經過深入觀察、比較后，找出的不同點是：擺放位置不同、畫的大小不同。于是我提出問題：該如何確定視圖大小？讓學生討論，鼓勵學生大膽猜想，并用自己的語言說出想法，和同桌交流。綜合一部分學生的想法：因為視圖是從不同方向看到物體的形狀，視圖大小應與物體大小一樣。另外一部分同學提出反駁觀點：請問怎樣、又在哪里畫出足球場俯視圖？學生通過討論得到的結論是：先應把實物抽象成幾何體，視圖大小與幾何體大小一樣。學生都一致贊同，進一步探究三種視圖大小如何確定。我及時肯定了學生的推理與想象，然后問學生：書中的作圖是這樣做的嗎？學生通過測量驗證加以肯定。接著問學生位置如何確定，學生看書后猜想的結果是主視圖下面畫俯視圖，右邊畫左視圖。最后我給學生介紹了畫三視圖的要求并對學生探究思路及結果予以認同。

在這一例中，我引導學生圍繞“如何確定視圖大小、位置？”兩個問題展開，學生經歷了觀察、討論、想象、猜測、交流、驗證等探究活動過程，獲得了知識、訓練了思維能力，培養了學生參與探究的意識和能力。

通過對課程改革的實踐，我可以肯定的說，學生是可以創新的！學生創造精神和創新能力的培養需要我們去審視、校正自己的教學：我們是否真正地擺正了自己的角色？是否在不斷開發學生創新潛能？是否在用心去關注學生每一個發現……在課改的今天，我們沒有太多的選擇，只能勇往直前，不斷去實踐、理解、發展新課程改革。

endprint