關注數學表征 促進意義建構

吳永生

“方程的意義”是小學階段“數與代數”領域中一個非常重要的基礎內容，首次引領學生將未知當作已知參與到等量關系的數學思維中來，這對小學生來說是一個重要的思維過渡階段。

教學片斷一：

師（出示下圖）：你發現了什么？

■

生１：我發現１個紅蘿卜等于２個胡蘿卜的質量。

生２：我發現３個桃子與２個梨的質量相等。

師：為什么相等？

生3：因為天平是平衡的。

師：如果一個紅蘿卜的質量是２００克，一個梨的質量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２個胡蘿卜的質量是２００克，３個桃子的質量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

師：你能解釋一下這兩個算式的意義嗎？

生4：我用ｘ表示胡蘿卜的質量，ａ表示桃子的數量，２個胡蘿卜就是２ｘ，等于２００克；３個桃子就是３ａ，等于２４０克。

師：這就是我們今天學習的方程。你認為方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知數的等式。

師：怎么理解符合方程的條件？你能寫出這樣的等式嗎？

……

教學片斷二：

師：在以下情境中，你能找到等量關系并列出方程嗎？

Ａ．買一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．圖書室借出了５６本書，還剩３８本書。

Ｃ．一臺電話１２２元，售貨員找給媽媽７８元。

生１：設褲子是ｘ元。列式為３８＋ｘ＝８６，這里有一個等量關系，即褲子與上衣的價格總和為８６元。

生２：設圖書館原有的圖書量為ｘ。因為“原有的圖書量＝借出去的圖書量＋剩下的圖書量”，所以列式為ｘ－５６＝３８。

生３：設付出的錢為ｘ元。因為“付出的錢＝電話的錢＋找回的錢”，所以列式為ｘ－１２２＝７８。

師：下面句子，哪個可以列出方程？

（1）買４個玩具小狗，每個ｙ元，１８０元不夠。

（2）買３個玩具小狗，每個ｙ元，１２０元不夠。

（3）買３個玩具小狗，每個ｙ元，１２９元剛剛夠。

（4）買４個玩具小狗，每個ｙ元，１２４元剛好夠。

生４：剛好夠的，可以列出方程，因為有等量關系。

師（出示２ｘ＝１８０）：你能用線段圖表示嗎？說說你對這個方程的理解。

生５：每個小皮球２元，正好付了１８０元，能買多少個？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

師：為什么不同的表述，可以用同樣的方程表示？

……

思考：

此課教學的難點在于等量關系的把握，如何讓學生把握方程的本質內涵和建構方程的意義，這是教師需要深入思考的問題。從上述教學中可以看出，關注數學表征，帶領學生建構意義，是一條有效的途徑。

何謂數學表征？建構主義理論認為，表征是一種知識的呈現方式，能夠促進抽象概念的建構。為此，在數學概念教學中，針對概念的理解，教師要重視學生科學直觀的表征概括，促進他們對概念意義的深刻理解和建構。

１．提供表征替代意象

數學表征具有直觀和感性的特點。因此，數學概念教學中，教師要抓住概念的本質，從概念要素尋找替代物，喚醒學生的認知經驗，以此促進學生對概念的理解和把握。如教學片斷一中，教師借用天平的情境圖，試圖讓學生體會方程與天平的直接聯系，從而感悟方程的表征，進行意義初探。學生抓住平衡、相等的直觀要素尋找突破點，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，為方程概念的引入搭建了“腳手架”。

２．遵循表征的順序性

數學概念的建立是一個循序漸進的過程。因此，教師在引導學生探究的過程中，要從概念表征的內在順序入手，一步步進行思維的過渡，最終實現概念的建構。如教學片斷一中，教師遵循“感悟——嘗試——運用”的表征順序，進行遞進式的課堂教學設計，先讓學生從天平情境圖感悟方程，探討方程的特征，再根據情境列出方程，然后重點把握數量關系，理解方程。在這三個環節中，學生的思維被激活，最終實現對方程意義的整體建構。

３．關注表征的多元性

“方程的意義”的教學重點是讓學生準確把握數量關系，并根據數量關系列出方程。如教學片斷二中，教師采用多元化的表征，讓不同的學生根據自己的生活經驗來理解方程的意義。如設置問題“針對方程２ｘ＝１８０，說說你對這個方程的理解”，這樣就給學生提供了多元表征的機會，使他們在意義層面真正理解方程。

總之，對方程這一概念的教學，教師要從深層的本質內涵入手，關注數學表征，促進學生對概念本質意義的建構，這才是數學教學的價值所在。

（責編杜華）

endprint

“方程的意義”是小學階段“數與代數”領域中一個非常重要的基礎內容，首次引領學生將未知當作已知參與到等量關系的數學思維中來，這對小學生來說是一個重要的思維過渡階段。

教學片斷一：

師（出示下圖）：你發現了什么？

■

生１：我發現１個紅蘿卜等于２個胡蘿卜的質量。

生２：我發現３個桃子與２個梨的質量相等。

師：為什么相等？

生3：因為天平是平衡的。

師：如果一個紅蘿卜的質量是２００克，一個梨的質量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２個胡蘿卜的質量是２００克，３個桃子的質量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

師：你能解釋一下這兩個算式的意義嗎？

生4：我用ｘ表示胡蘿卜的質量，ａ表示桃子的數量，２個胡蘿卜就是２ｘ，等于２００克；３個桃子就是３ａ，等于２４０克。

師：這就是我們今天學習的方程。你認為方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知數的等式。

師：怎么理解符合方程的條件？你能寫出這樣的等式嗎？

……

教學片斷二：

師：在以下情境中，你能找到等量關系并列出方程嗎？

Ａ．買一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．圖書室借出了５６本書，還剩３８本書。

Ｃ．一臺電話１２２元，售貨員找給媽媽７８元。

生１：設褲子是ｘ元。列式為３８＋ｘ＝８６，這里有一個等量關系，即褲子與上衣的價格總和為８６元。

生２：設圖書館原有的圖書量為ｘ。因為“原有的圖書量＝借出去的圖書量＋剩下的圖書量”，所以列式為ｘ－５６＝３８。

生３：設付出的錢為ｘ元。因為“付出的錢＝電話的錢＋找回的錢”，所以列式為ｘ－１２２＝７８。

師：下面句子，哪個可以列出方程？

（1）買４個玩具小狗，每個ｙ元，１８０元不夠。

（2）買３個玩具小狗，每個ｙ元，１２０元不夠。

（3）買３個玩具小狗，每個ｙ元，１２９元剛剛夠。

（4）買４個玩具小狗，每個ｙ元，１２４元剛好夠。

生４：剛好夠的，可以列出方程，因為有等量關系。

師（出示２ｘ＝１８０）：你能用線段圖表示嗎？說說你對這個方程的理解。

生５：每個小皮球２元，正好付了１８０元，能買多少個？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

師：為什么不同的表述，可以用同樣的方程表示？

……

思考：

此課教學的難點在于等量關系的把握，如何讓學生把握方程的本質內涵和建構方程的意義，這是教師需要深入思考的問題。從上述教學中可以看出，關注數學表征，帶領學生建構意義，是一條有效的途徑。

何謂數學表征？建構主義理論認為，表征是一種知識的呈現方式，能夠促進抽象概念的建構。為此，在數學概念教學中，針對概念的理解，教師要重視學生科學直觀的表征概括，促進他們對概念意義的深刻理解和建構。

１．提供表征替代意象

數學表征具有直觀和感性的特點。因此，數學概念教學中，教師要抓住概念的本質，從概念要素尋找替代物，喚醒學生的認知經驗，以此促進學生對概念的理解和把握。如教學片斷一中，教師借用天平的情境圖，試圖讓學生體會方程與天平的直接聯系，從而感悟方程的表征，進行意義初探。學生抓住平衡、相等的直觀要素尋找突破點，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，為方程概念的引入搭建了“腳手架”。

２．遵循表征的順序性

數學概念的建立是一個循序漸進的過程。因此，教師在引導學生探究的過程中，要從概念表征的內在順序入手，一步步進行思維的過渡，最終實現概念的建構。如教學片斷一中，教師遵循“感悟——嘗試——運用”的表征順序，進行遞進式的課堂教學設計，先讓學生從天平情境圖感悟方程，探討方程的特征，再根據情境列出方程，然后重點把握數量關系，理解方程。在這三個環節中，學生的思維被激活，最終實現對方程意義的整體建構。

３．關注表征的多元性

“方程的意義”的教學重點是讓學生準確把握數量關系，并根據數量關系列出方程。如教學片斷二中，教師采用多元化的表征，讓不同的學生根據自己的生活經驗來理解方程的意義。如設置問題“針對方程２ｘ＝１８０，說說你對這個方程的理解”，這樣就給學生提供了多元表征的機會，使他們在意義層面真正理解方程。

總之，對方程這一概念的教學，教師要從深層的本質內涵入手，關注數學表征，促進學生對概念本質意義的建構，這才是數學教學的價值所在。

（責編杜華）

endprint

“方程的意義”是小學階段“數與代數”領域中一個非常重要的基礎內容，首次引領學生將未知當作已知參與到等量關系的數學思維中來，這對小學生來說是一個重要的思維過渡階段。

教學片斷一：

師（出示下圖）：你發現了什么？

■

生１：我發現１個紅蘿卜等于２個胡蘿卜的質量。

生２：我發現３個桃子與２個梨的質量相等。

師：為什么相等？

生3：因為天平是平衡的。

師：如果一個紅蘿卜的質量是２００克，一個梨的質量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２個胡蘿卜的質量是２００克，３個桃子的質量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

師：你能解釋一下這兩個算式的意義嗎？

生4：我用ｘ表示胡蘿卜的質量，ａ表示桃子的數量，２個胡蘿卜就是２ｘ，等于２００克；３個桃子就是３ａ，等于２４０克。

師：這就是我們今天學習的方程。你認為方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知數的等式。

師：怎么理解符合方程的條件？你能寫出這樣的等式嗎？

……

教學片斷二：

師：在以下情境中，你能找到等量關系并列出方程嗎？

Ａ．買一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．圖書室借出了５６本書，還剩３８本書。

Ｃ．一臺電話１２２元，售貨員找給媽媽７８元。

生１：設褲子是ｘ元。列式為３８＋ｘ＝８６，這里有一個等量關系，即褲子與上衣的價格總和為８６元。

生２：設圖書館原有的圖書量為ｘ。因為“原有的圖書量＝借出去的圖書量＋剩下的圖書量”，所以列式為ｘ－５６＝３８。

生３：設付出的錢為ｘ元。因為“付出的錢＝電話的錢＋找回的錢”，所以列式為ｘ－１２２＝７８。

師：下面句子，哪個可以列出方程？

（1）買４個玩具小狗，每個ｙ元，１８０元不夠。

（2）買３個玩具小狗，每個ｙ元，１２０元不夠。

（3）買３個玩具小狗，每個ｙ元，１２９元剛剛夠。

（4）買４個玩具小狗，每個ｙ元，１２４元剛好夠。

生４：剛好夠的，可以列出方程，因為有等量關系。

師（出示２ｘ＝１８０）：你能用線段圖表示嗎？說說你對這個方程的理解。

生５：每個小皮球２元，正好付了１８０元，能買多少個？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

師：為什么不同的表述，可以用同樣的方程表示？

……

思考：

此課教學的難點在于等量關系的把握，如何讓學生把握方程的本質內涵和建構方程的意義，這是教師需要深入思考的問題。從上述教學中可以看出，關注數學表征，帶領學生建構意義，是一條有效的途徑。

何謂數學表征？建構主義理論認為，表征是一種知識的呈現方式，能夠促進抽象概念的建構。為此，在數學概念教學中，針對概念的理解，教師要重視學生科學直觀的表征概括，促進他們對概念意義的深刻理解和建構。

１．提供表征替代意象

數學表征具有直觀和感性的特點。因此，數學概念教學中，教師要抓住概念的本質，從概念要素尋找替代物，喚醒學生的認知經驗，以此促進學生對概念的理解和把握。如教學片斷一中，教師借用天平的情境圖，試圖讓學生體會方程與天平的直接聯系，從而感悟方程的表征，進行意義初探。學生抓住平衡、相等的直觀要素尋找突破點，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，為方程概念的引入搭建了“腳手架”。

２．遵循表征的順序性

數學概念的建立是一個循序漸進的過程。因此，教師在引導學生探究的過程中，要從概念表征的內在順序入手，一步步進行思維的過渡，最終實現概念的建構。如教學片斷一中，教師遵循“感悟——嘗試——運用”的表征順序，進行遞進式的課堂教學設計，先讓學生從天平情境圖感悟方程，探討方程的特征，再根據情境列出方程，然后重點把握數量關系，理解方程。在這三個環節中，學生的思維被激活，最終實現對方程意義的整體建構。

３．關注表征的多元性

“方程的意義”的教學重點是讓學生準確把握數量關系，并根據數量關系列出方程。如教學片斷二中，教師采用多元化的表征，讓不同的學生根據自己的生活經驗來理解方程的意義。如設置問題“針對方程２ｘ＝１８０，說說你對這個方程的理解”，這樣就給學生提供了多元表征的機會，使他們在意義層面真正理解方程。

總之，對方程這一概念的教學，教師要從深層的本質內涵入手，關注數學表征，促進學生對概念本質意義的建構，這才是數學教學的價值所在。

（責編杜華）

endprint