關于用列表法解決問題的思考和初探

凌娟+吳高平

“問題解決”是《數(shù)學課程標準》制定的四大總目標之一，并明確指出：“使學生步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。”解決問題的方法是解決問題的核心，沒有方法就是無本之木、無源之水，更談不上解決問題。小學數(shù)學解決問題的方法多種多樣，列表法就是其中一種很有效的解決問題的方法。由于列表法在解決問題的過程中比較繁瑣，且教師教學時也不夠重視，所以大多數(shù)學生不愿意去嘗試，導致一些能解決的問題而無法解決或者解決得不徹底。因此，在“問題解決”的教學中，教師要根據(jù)題目的內容和結構特點，適時引導、鼓勵學生用列表法解決問題，讓學生真正體會到用列表法解決問題的好處與作用，培養(yǎng)思維的有序性和縝密性，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

一、在“租車”問題中感知列表法

北師大版數(shù)學教材三年級下冊和五年級上冊都安排了“租車”問題這個內容。如五年級上冊“旅游費用”的“租車”問題（如下圖）：“我們學校共１１５人，準備去秋游，怎樣租車省錢？”

■

教學時，我是這樣組織的：１．先讓學生估一估怎樣租車省錢。有的學生認為都租大客車省錢，有的認為都租小客車省錢，還有的認為兩種客車都可以租用。２．引導學生自己探究哪種方案省錢。３．學生匯報如下：（１）１１５÷４０＝２（輛）……３５（人），需租３輛大客車，共付租金１０００×３＝３０００（元）；（２）１１５÷２５＝４（輛）……１５（人），需租５輛小客車，共付租金６５０×５＝３２５０（元）；（３）租兩輛大客車和兩輛小客車，租金是１０００×２＋６５０×２＝３３００（元）；（４）租一輛大客車和３輛小客車，租金是１０００＋６５０×３＝２９５０（元）……我一一列舉學生的租車方法，并追問：“還有不同的租車方法嗎？”“你們所有的方法都嘗試了嗎？”“到底哪種租車方法最省錢呢？”這時有不少學生處于茫然狀態(tài)，因為他們不敢保證是不是所有的方法都全部列舉出來了，而且面對這么多種解法，學生不容易比較，思維紊亂，缺乏整體感。在這種情況下，我設疑點撥：“有沒有一種能把你們列舉的方法全部都羅列出來并讓人一目了然，不擔心有沒有遺漏的方法呢？”在此基礎上引出列表法，并讓學生自己嘗試填表。

生１：

■

生２：

■

生３：

■

師：比較這幾個表，你喜歡哪個？為什么？

學生都認為第三個表格較好，因為它是按大客車的輛數(shù)依次減少來排列的，是有順序的思考。這說明按一定的順序來思考問題，不僅不會出現(xiàn)重復、遺漏的情況，而且很容易解決問題。這樣教學，既能突出列表解決問題的優(yōu)勢，使學生體會到列表雖然有點麻煩，但確實是解決“租車”問題的最好方法，又能引導學生的思維處于有序狀態(tài)，提高他們解決問題的興趣。

二、在“雞兔同籠”問題中凸顯列表法

“雞兔同籠”問題出自我國古代數(shù)學名著《孫子算經》，是一道很有趣味性的題目。北師大版教材將“雞兔同籠”的內容安排在五年級上冊，從教材的編排上看，其意圖不是為了使學生學會如何解決問題，而是要讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會解決問題的一般策略——列表。雖然解決“雞兔同籠”的問題有多種方法，如假設法、方程法等，但學生理解起來比較困難，唯有用列表法解決問題最簡單，能把復雜的問題變得淺顯易懂，適合各種層次的學生學習。

如有這樣一道題：“雞兔同籠，有２０個頭，５４條腿，雞、兔各有多少只？”教學時，我故意說道：“這道題有點難哦，能用什么方法算出雞、兔各有幾只呢？”此話一出，沒想到就有幾個機靈的學生說：“老師，我有辦法解決這個問題，我可以一個一個去試。” “這是個不錯的想法。那么，怎樣才能清晰地表示出你試的過程呢？”這個學生不假思索地說：“可以列表呀！”“那么，請同學們用列表的方法來解決這個問題。”因為有了前面“租車”問題的教學，學生對列表有了一定的經驗，不到１０分鐘時間，就有學生舉起了小手。

生１（列表如下）：先猜想有１只雞、１９只兔，算出它們腿的條數(shù)，然后一個一個去試。

■

生２：我不同意他的做法，這樣太麻煩了，可以省去一些步驟（列表如下）。因為假設有１只雞時，發(fā)現(xiàn)腿共有７８條，應該是把兔的只數(shù)假設多了，所以可假設雞的只數(shù)多一些，將兔的只數(shù)減少。而且，在假設有１０只雞時，發(fā)現(xiàn)多出６條腿，可直接得出雞有１３只，兔有７只。

■

生３：我從２０中間設雞有１０只、兔有１０只來計算腿數(shù)，列出下表。在看到６０條腿比５４多時，兔的只數(shù)要減少，第二行就為雞有１２只，兔有８只。

■

生４：因為６０比５４多６，６÷２＝３（只），所以只需把兔的只數(shù)減少３只即可。

……

學生匯報交流后，我做了一個統(tǒng)計：全班９５％的學生都列出了不同形式的表格，而且結果正確。這讓我很意外、很欣喜，說明用列表法解決“雞兔同籠”問題是一個好方法，不僅能使學生很容易接受和理解，而且很多學生在列表解決問題的過程中不知不覺地運用了假設法，使解決問題更簡便、快捷。

三、在舉一反三中建立模型思想

學習的關鍵及其目的在于運用。課堂教學中，教師應引導學生概括出解決“租車”和“雞兔同籠”問題的一般解題策略，使學生學會舉一反三、觸類旁通，提煉出此類問題的結構特征和問題解決的一般性策略，從而幫助學生建立模型思想。如北師大版教材五年級下冊“數(shù)學與生活”有這樣一道題：“粉刷某辦公室約需涂料３３０千克，如何購買不同包裝的涂料才能最省錢？每大桶１８千克，１６０元；每小桶１０千克，１０５元。”再如：“有２０張５元和２元的人民幣，一共是８２元。５元和２元的人民幣各有多少張？”因為學生在建模的過程中學會思維和推理，掌握了猜測、驗證、假設等數(shù)學思想方法，所以題目出示后，學生能很快運用列表法求解。

綜上所述，列表法確實有著其他方法不可替代的作用，教師教學中應引導學生根據(jù)問題恰當?shù)剡x擇解決問題的一般策略——列表，以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和探究能力。

（責編杜華）

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“問題解決”是《數(shù)學課程標準》制定的四大總目標之一，并明確指出：“使學生步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。”解決問題的方法是解決問題的核心，沒有方法就是無本之木、無源之水，更談不上解決問題。小學數(shù)學解決問題的方法多種多樣，列表法就是其中一種很有效的解決問題的方法。由于列表法在解決問題的過程中比較繁瑣，且教師教學時也不夠重視，所以大多數(shù)學生不愿意去嘗試，導致一些能解決的問題而無法解決或者解決得不徹底。因此，在“問題解決”的教學中，教師要根據(jù)題目的內容和結構特點，適時引導、鼓勵學生用列表法解決問題，讓學生真正體會到用列表法解決問題的好處與作用，培養(yǎng)思維的有序性和縝密性，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

一、在“租車”問題中感知列表法

北師大版數(shù)學教材三年級下冊和五年級上冊都安排了“租車”問題這個內容。如五年級上冊“旅游費用”的“租車”問題（如下圖）：“我們學校共１１５人，準備去秋游，怎樣租車省錢？”

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教學時，我是這樣組織的：１．先讓學生估一估怎樣租車省錢。有的學生認為都租大客車省錢，有的認為都租小客車省錢，還有的認為兩種客車都可以租用。２．引導學生自己探究哪種方案省錢。３．學生匯報如下：（１）１１５÷４０＝２（輛）……３５（人），需租３輛大客車，共付租金１０００×３＝３０００（元）；（２）１１５÷２５＝４（輛）……１５（人），需租５輛小客車，共付租金６５０×５＝３２５０（元）；（３）租兩輛大客車和兩輛小客車，租金是１０００×２＋６５０×２＝３３００（元）；（４）租一輛大客車和３輛小客車，租金是１０００＋６５０×３＝２９５０（元）……我一一列舉學生的租車方法，并追問：“還有不同的租車方法嗎？”“你們所有的方法都嘗試了嗎？”“到底哪種租車方法最省錢呢？”這時有不少學生處于茫然狀態(tài)，因為他們不敢保證是不是所有的方法都全部列舉出來了，而且面對這么多種解法，學生不容易比較，思維紊亂，缺乏整體感。在這種情況下，我設疑點撥：“有沒有一種能把你們列舉的方法全部都羅列出來并讓人一目了然，不擔心有沒有遺漏的方法呢？”在此基礎上引出列表法，并讓學生自己嘗試填表。

生１：

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生２：

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生３：

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師：比較這幾個表，你喜歡哪個？為什么？

學生都認為第三個表格較好，因為它是按大客車的輛數(shù)依次減少來排列的，是有順序的思考。這說明按一定的順序來思考問題，不僅不會出現(xiàn)重復、遺漏的情況，而且很容易解決問題。這樣教學，既能突出列表解決問題的優(yōu)勢，使學生體會到列表雖然有點麻煩，但確實是解決“租車”問題的最好方法，又能引導學生的思維處于有序狀態(tài)，提高他們解決問題的興趣。

二、在“雞兔同籠”問題中凸顯列表法

“雞兔同籠”問題出自我國古代數(shù)學名著《孫子算經》，是一道很有趣味性的題目。北師大版教材將“雞兔同籠”的內容安排在五年級上冊，從教材的編排上看，其意圖不是為了使學生學會如何解決問題，而是要讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會解決問題的一般策略——列表。雖然解決“雞兔同籠”的問題有多種方法，如假設法、方程法等，但學生理解起來比較困難，唯有用列表法解決問題最簡單，能把復雜的問題變得淺顯易懂，適合各種層次的學生學習。

如有這樣一道題：“雞兔同籠，有２０個頭，５４條腿，雞、兔各有多少只？”教學時，我故意說道：“這道題有點難哦，能用什么方法算出雞、兔各有幾只呢？”此話一出，沒想到就有幾個機靈的學生說：“老師，我有辦法解決這個問題，我可以一個一個去試。” “這是個不錯的想法。那么，怎樣才能清晰地表示出你試的過程呢？”這個學生不假思索地說：“可以列表呀！”“那么，請同學們用列表的方法來解決這個問題。”因為有了前面“租車”問題的教學，學生對列表有了一定的經驗，不到１０分鐘時間，就有學生舉起了小手。

生１（列表如下）：先猜想有１只雞、１９只兔，算出它們腿的條數(shù)，然后一個一個去試。

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生２：我不同意他的做法，這樣太麻煩了，可以省去一些步驟（列表如下）。因為假設有１只雞時，發(fā)現(xiàn)腿共有７８條，應該是把兔的只數(shù)假設多了，所以可假設雞的只數(shù)多一些，將兔的只數(shù)減少。而且，在假設有１０只雞時，發(fā)現(xiàn)多出６條腿，可直接得出雞有１３只，兔有７只。

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生３：我從２０中間設雞有１０只、兔有１０只來計算腿數(shù)，列出下表。在看到６０條腿比５４多時，兔的只數(shù)要減少，第二行就為雞有１２只，兔有８只。

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生４：因為６０比５４多６，６÷２＝３（只），所以只需把兔的只數(shù)減少３只即可。

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學生匯報交流后，我做了一個統(tǒng)計：全班９５％的學生都列出了不同形式的表格，而且結果正確。這讓我很意外、很欣喜，說明用列表法解決“雞兔同籠”問題是一個好方法，不僅能使學生很容易接受和理解，而且很多學生在列表解決問題的過程中不知不覺地運用了假設法，使解決問題更簡便、快捷。

三、在舉一反三中建立模型思想

學習的關鍵及其目的在于運用。課堂教學中，教師應引導學生概括出解決“租車”和“雞兔同籠”問題的一般解題策略，使學生學會舉一反三、觸類旁通，提煉出此類問題的結構特征和問題解決的一般性策略，從而幫助學生建立模型思想。如北師大版教材五年級下冊“數(shù)學與生活”有這樣一道題：“粉刷某辦公室約需涂料３３０千克，如何購買不同包裝的涂料才能最省錢？每大桶１８千克，１６０元；每小桶１０千克，１０５元。”再如：“有２０張５元和２元的人民幣，一共是８２元。５元和２元的人民幣各有多少張？”因為學生在建模的過程中學會思維和推理，掌握了猜測、驗證、假設等數(shù)學思想方法，所以題目出示后，學生能很快運用列表法求解。

綜上所述，列表法確實有著其他方法不可替代的作用，教師教學中應引導學生根據(jù)問題恰當?shù)剡x擇解決問題的一般策略——列表，以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和探究能力。

（責編杜華）

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“問題解決”是《數(shù)學課程標準》制定的四大總目標之一，并明確指出：“使學生步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。”解決問題的方法是解決問題的核心，沒有方法就是無本之木、無源之水，更談不上解決問題。小學數(shù)學解決問題的方法多種多樣，列表法就是其中一種很有效的解決問題的方法。由于列表法在解決問題的過程中比較繁瑣，且教師教學時也不夠重視，所以大多數(shù)學生不愿意去嘗試，導致一些能解決的問題而無法解決或者解決得不徹底。因此，在“問題解決”的教學中，教師要根據(jù)題目的內容和結構特點，適時引導、鼓勵學生用列表法解決問題，讓學生真正體會到用列表法解決問題的好處與作用，培養(yǎng)思維的有序性和縝密性，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

一、在“租車”問題中感知列表法

北師大版數(shù)學教材三年級下冊和五年級上冊都安排了“租車”問題這個內容。如五年級上冊“旅游費用”的“租車”問題（如下圖）：“我們學校共１１５人，準備去秋游，怎樣租車省錢？”

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教學時，我是這樣組織的：１．先讓學生估一估怎樣租車省錢。有的學生認為都租大客車省錢，有的認為都租小客車省錢，還有的認為兩種客車都可以租用。２．引導學生自己探究哪種方案省錢。３．學生匯報如下：（１）１１５÷４０＝２（輛）……３５（人），需租３輛大客車，共付租金１０００×３＝３０００（元）；（２）１１５÷２５＝４（輛）……１５（人），需租５輛小客車，共付租金６５０×５＝３２５０（元）；（３）租兩輛大客車和兩輛小客車，租金是１０００×２＋６５０×２＝３３００（元）；（４）租一輛大客車和３輛小客車，租金是１０００＋６５０×３＝２９５０（元）……我一一列舉學生的租車方法，并追問：“還有不同的租車方法嗎？”“你們所有的方法都嘗試了嗎？”“到底哪種租車方法最省錢呢？”這時有不少學生處于茫然狀態(tài)，因為他們不敢保證是不是所有的方法都全部列舉出來了，而且面對這么多種解法，學生不容易比較，思維紊亂，缺乏整體感。在這種情況下，我設疑點撥：“有沒有一種能把你們列舉的方法全部都羅列出來并讓人一目了然，不擔心有沒有遺漏的方法呢？”在此基礎上引出列表法，并讓學生自己嘗試填表。

生１：

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生２：

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生３：

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師：比較這幾個表，你喜歡哪個？為什么？

學生都認為第三個表格較好，因為它是按大客車的輛數(shù)依次減少來排列的，是有順序的思考。這說明按一定的順序來思考問題，不僅不會出現(xiàn)重復、遺漏的情況，而且很容易解決問題。這樣教學，既能突出列表解決問題的優(yōu)勢，使學生體會到列表雖然有點麻煩，但確實是解決“租車”問題的最好方法，又能引導學生的思維處于有序狀態(tài)，提高他們解決問題的興趣。

二、在“雞兔同籠”問題中凸顯列表法

“雞兔同籠”問題出自我國古代數(shù)學名著《孫子算經》，是一道很有趣味性的題目。北師大版教材將“雞兔同籠”的內容安排在五年級上冊，從教材的編排上看，其意圖不是為了使學生學會如何解決問題，而是要讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會解決問題的一般策略——列表。雖然解決“雞兔同籠”的問題有多種方法，如假設法、方程法等，但學生理解起來比較困難，唯有用列表法解決問題最簡單，能把復雜的問題變得淺顯易懂，適合各種層次的學生學習。

如有這樣一道題：“雞兔同籠，有２０個頭，５４條腿，雞、兔各有多少只？”教學時，我故意說道：“這道題有點難哦，能用什么方法算出雞、兔各有幾只呢？”此話一出，沒想到就有幾個機靈的學生說：“老師，我有辦法解決這個問題，我可以一個一個去試。” “這是個不錯的想法。那么，怎樣才能清晰地表示出你試的過程呢？”這個學生不假思索地說：“可以列表呀！”“那么，請同學們用列表的方法來解決這個問題。”因為有了前面“租車”問題的教學，學生對列表有了一定的經驗，不到１０分鐘時間，就有學生舉起了小手。

生１（列表如下）：先猜想有１只雞、１９只兔，算出它們腿的條數(shù)，然后一個一個去試。

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生２：我不同意他的做法，這樣太麻煩了，可以省去一些步驟（列表如下）。因為假設有１只雞時，發(fā)現(xiàn)腿共有７８條，應該是把兔的只數(shù)假設多了，所以可假設雞的只數(shù)多一些，將兔的只數(shù)減少。而且，在假設有１０只雞時，發(fā)現(xiàn)多出６條腿，可直接得出雞有１３只，兔有７只。

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生３：我從２０中間設雞有１０只、兔有１０只來計算腿數(shù)，列出下表。在看到６０條腿比５４多時，兔的只數(shù)要減少，第二行就為雞有１２只，兔有８只。

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生４：因為６０比５４多６，６÷２＝３（只），所以只需把兔的只數(shù)減少３只即可。

……

學生匯報交流后，我做了一個統(tǒng)計：全班９５％的學生都列出了不同形式的表格，而且結果正確。這讓我很意外、很欣喜，說明用列表法解決“雞兔同籠”問題是一個好方法，不僅能使學生很容易接受和理解，而且很多學生在列表解決問題的過程中不知不覺地運用了假設法，使解決問題更簡便、快捷。

三、在舉一反三中建立模型思想

學習的關鍵及其目的在于運用。課堂教學中，教師應引導學生概括出解決“租車”和“雞兔同籠”問題的一般解題策略，使學生學會舉一反三、觸類旁通，提煉出此類問題的結構特征和問題解決的一般性策略，從而幫助學生建立模型思想。如北師大版教材五年級下冊“數(shù)學與生活”有這樣一道題：“粉刷某辦公室約需涂料３３０千克，如何購買不同包裝的涂料才能最省錢？每大桶１８千克，１６０元；每小桶１０千克，１０５元。”再如：“有２０張５元和２元的人民幣，一共是８２元。５元和２元的人民幣各有多少張？”因為學生在建模的過程中學會思維和推理，掌握了猜測、驗證、假設等數(shù)學思想方法，所以題目出示后，學生能很快運用列表法求解。

綜上所述，列表法確實有著其他方法不可替代的作用，教師教學中應引導學生根據(jù)問題恰當?shù)剡x擇解決問題的一般策略——列表，以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和探究能力。

（責編杜華）

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