滲透數形結合思想 積累數學活動經驗

崔旭

在平常的數學教學中，我們常常產生這樣的困惑：題目也沒有少講一道，但學生總是停留在模仿解題的水平上，只要題目稍微有些變化，就會不知所措。學生很難形成較強的解決問題的能力，就更談不上創新能力了。其實，細細想來，在平時的教學中，我們經常把教學的著眼點放在了解決難題上，而忽視了隱含在數學知識中的靈魂和精髓——數學思想方法。

在小學階段有意識地向學生滲透一些基本的數學思想方法對數學學科的后續學習，乃至對學生的終身發展都具有十分重要的意義。作為一線教師，該如何滲透好數形結合思想，幫助學生積累數學經驗呢？我有以下幾點想法。

一、直觀形象感受數形結合思想，激活顯化數學活動經驗

【案例１】最近聽了一位教師的“倍數和因數”一課。在設計探尋１２的因數時讓人眼前一亮：他首先幫助學生建立模型，引導學生想“（）×（）＝１２”，在學生找到３、４、２、６、１、１２這幾個因數后，他并沒有直接告訴學生怎樣做到不遺漏、不重復地寫出這些因數，而是出示了一根數軸，如圖１。

■

圖１

在數軸中依次成對出現１、１２；２、６；３、４（每一對均用不同顏色圓點標出），學生便能直觀感受到因數的特點，一對對出現，一頭一尾去思考、去尋找，而且每一對數會越來越接近。就在此時，教師點撥，以后在寫因數時，不必畫數軸，可以在心里想。隨即讓學生去嘗試著有序地直接列出１２的因數（１，２，３，４，６，１２）。學生有了這樣的直觀感受，一下子就找準找全了所有的因數。整個教學環節如行云流水般，讓人拍案叫絕！

我的思考：教師精心設計的這一環節，通過數軸將因數的特點形象地表現了出來，幫助學生積累了找因數的經驗。這樣使虛化的經驗看得見、摸得著，實在別出心裁。數軸的使用，使得找一個數的因數從機械的模仿變成形象化的理解。以往我們常常引導學生在做“（）×（）＝１２”時要進行有序的列舉，但學生在練習中卻很難做到不遺漏、不重復，但有了數軸，學生卻能體會到１２的因數肯定在１~１２之間，從而有了一定的范圍，然后體驗到逐步逼近的數學思想，這樣學生領悟得更加深刻。

二、經歷體驗數形結合思想，積累豐富數學活動經驗

１．經歷以“形”助“數”，直觀形象體驗

【案例２】六年級下冊“解決問題的策略——轉化”中有這樣一道題目“■＋■＋■＋■”，常常出現在課堂中的處理是——用通分的方法快速口算完成，至此學生都感覺十分輕松。

隨即變化題目：如果要計算■＋■＋■＋■＋…+■，你還愿意用剛才通分的方法嗎？學生紛紛表示再通分就太繁瑣了。

教師給足學生充分獨立思考的時間后追問：“仔細觀察這題中分數的特點，還有其他轉化方法嗎？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“發現了一些規律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上沒有一個學生會想到畫圖。很多教師在這時都采用了直接呈現圖讓學生觀察得知答案的教學方法。而有位教師很特別，他做了如下處理。

首先是引導學生觀察數據特點，然后逐步出示圖像（如圖２）幫助學生理解。例如一塊正方形地（也可看成一條線段），先把它的■種上菜，再種■，請在圖中表示出種在哪兒？現在有多少地方種上菜了？再種它的■、■。現在一共有多少地方種上菜了？（■）你怎么知道的？

■

圖２

再根據圖像引導學生假設添上■就是整體“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

師接著問：“如果繼續再加■、■，會是多少呢？”

學生有了前面的經驗，很快在腦海中勾勒出圖像，并在本子上畫出，很快便能得出相應的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”這樣的題目對于高年級學生來說，再簡單不過了，關鍵是如何老題新解？學生借助自己已有的解題經驗，想出了拆分、找規律等轉化方法，卻怎么也想不到畫圖。假如教師簡單呈現圖像，直接告知學生，那么學生就無法享受到畫圖思考的樂趣了，“數形結合”思想也就蕩然無存。而這位教師獨特的方式讓學生深切感受到了畫圖的魅力，體會到了精巧、簡潔的解題之路。同時教師并沒有停留于讓學生觀察和思考，又安排學生自己獨立畫一畫、想一想，為后面一系列類似題積累活動經驗，避免了學生的思維定式。

２．經歷以“數”輔“形”，嚴謹、科學體驗

【案例３】在數學教學中，大多是根據圖形的呈現來解決抽象的數學問題，但有時利用“數”來指導“形”，可以使圖形的教學更嚴謹、更科學，學生對圖形的認識會更加全面。

例如在教學完線段和三角形認識后，學生的作業練習中出現了數線段的練習題。

圖３－１ ■

圖３－２ ■

圖３－１出現時，大多數學生都是采用直接數的方法，很快得到答案有３條線段，但圖３－２的線段條數很難直接并正確地數出來。經過學生討論嘗試后，得出了以下兩種有序地數的方法：（１）從左邊的第一個點出發有５條線段，從第二個點出發有４條線段……以此類推。（２）有一條基本線段組成的線段有５條，有兩條基本線段組成的線段有４條……以此類推。

我的思考：學生討論得出的想法真讓人感到驚嘆！他們的方法克服了數線段的繁瑣性，提高了解題的正確率。可見，經常在數學教學中滲透“數形結合”思想，就會在學生的頭腦中播下“數”與“形”密切聯系的種子，學生也就會逐漸體會到它的無窮魅力！

三、領悟數形結合思想，提升數學活動經驗

【案例４】“倍數和因數”一課接近尾聲時，教師設計了這樣一道拓展題：圖４中（家用地板中的一部分）有倍數、因數關系嗎？

■

圖４

學生仔細看圖后，得出各種不同的答案：２和９是１８的因數，１８是２和９的倍數；９是房間總長度的因數，房間總長度是９的倍數；２是房間總寬度的因數，房間總寬度是２的倍數……

我的思考：簡單的一道生活中的拓展題，充分讓學生感悟了“數形結合”的數學思想方法，促使學生領悟其精髓，正所謂“潤物細無聲”。在學生充分積累倍數和因數的經驗后及時進行靈活運用，活動經驗的反芻和運用將再次強化、提升了學生的數學活動經驗。

總之，在以后的數學教學中，我們應做個有心人，充分利用“一圖抵百語”的“數形結合”優勢，以“形”的直觀表達數，以“數”的精確研究形，將抽象變具體，把無形變有形，這不僅有利于學生順利、高效地學好數學知識，更有利于學生學習數學興趣的培養、數學活動的積累！

（責編金鈴）

endprint

在平常的數學教學中，我們常常產生這樣的困惑：題目也沒有少講一道，但學生總是停留在模仿解題的水平上，只要題目稍微有些變化，就會不知所措。學生很難形成較強的解決問題的能力，就更談不上創新能力了。其實，細細想來，在平時的教學中，我們經常把教學的著眼點放在了解決難題上，而忽視了隱含在數學知識中的靈魂和精髓——數學思想方法。

在小學階段有意識地向學生滲透一些基本的數學思想方法對數學學科的后續學習，乃至對學生的終身發展都具有十分重要的意義。作為一線教師，該如何滲透好數形結合思想，幫助學生積累數學經驗呢？我有以下幾點想法。

一、直觀形象感受數形結合思想，激活顯化數學活動經驗

【案例１】最近聽了一位教師的“倍數和因數”一課。在設計探尋１２的因數時讓人眼前一亮：他首先幫助學生建立模型，引導學生想“（）×（）＝１２”，在學生找到３、４、２、６、１、１２這幾個因數后，他并沒有直接告訴學生怎樣做到不遺漏、不重復地寫出這些因數，而是出示了一根數軸，如圖１。

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圖１

在數軸中依次成對出現１、１２；２、６；３、４（每一對均用不同顏色圓點標出），學生便能直觀感受到因數的特點，一對對出現，一頭一尾去思考、去尋找，而且每一對數會越來越接近。就在此時，教師點撥，以后在寫因數時，不必畫數軸，可以在心里想。隨即讓學生去嘗試著有序地直接列出１２的因數（１，２，３，４，６，１２）。學生有了這樣的直觀感受，一下子就找準找全了所有的因數。整個教學環節如行云流水般，讓人拍案叫絕！

我的思考：教師精心設計的這一環節，通過數軸將因數的特點形象地表現了出來，幫助學生積累了找因數的經驗。這樣使虛化的經驗看得見、摸得著，實在別出心裁。數軸的使用，使得找一個數的因數從機械的模仿變成形象化的理解。以往我們常常引導學生在做“（）×（）＝１２”時要進行有序的列舉，但學生在練習中卻很難做到不遺漏、不重復，但有了數軸，學生卻能體會到１２的因數肯定在１~１２之間，從而有了一定的范圍，然后體驗到逐步逼近的數學思想，這樣學生領悟得更加深刻。

二、經歷體驗數形結合思想，積累豐富數學活動經驗

１．經歷以“形”助“數”，直觀形象體驗

【案例２】六年級下冊“解決問題的策略——轉化”中有這樣一道題目“■＋■＋■＋■”，常常出現在課堂中的處理是——用通分的方法快速口算完成，至此學生都感覺十分輕松。

隨即變化題目：如果要計算■＋■＋■＋■＋…+■，你還愿意用剛才通分的方法嗎？學生紛紛表示再通分就太繁瑣了。

教師給足學生充分獨立思考的時間后追問：“仔細觀察這題中分數的特點，還有其他轉化方法嗎？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“發現了一些規律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上沒有一個學生會想到畫圖。很多教師在這時都采用了直接呈現圖讓學生觀察得知答案的教學方法。而有位教師很特別，他做了如下處理。

首先是引導學生觀察數據特點，然后逐步出示圖像（如圖２）幫助學生理解。例如一塊正方形地（也可看成一條線段），先把它的■種上菜，再種■，請在圖中表示出種在哪兒？現在有多少地方種上菜了？再種它的■、■。現在一共有多少地方種上菜了？（■）你怎么知道的？

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圖２

再根據圖像引導學生假設添上■就是整體“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

師接著問：“如果繼續再加■、■，會是多少呢？”

學生有了前面的經驗，很快在腦海中勾勒出圖像，并在本子上畫出，很快便能得出相應的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”這樣的題目對于高年級學生來說，再簡單不過了，關鍵是如何老題新解？學生借助自己已有的解題經驗，想出了拆分、找規律等轉化方法，卻怎么也想不到畫圖。假如教師簡單呈現圖像，直接告知學生，那么學生就無法享受到畫圖思考的樂趣了，“數形結合”思想也就蕩然無存。而這位教師獨特的方式讓學生深切感受到了畫圖的魅力，體會到了精巧、簡潔的解題之路。同時教師并沒有停留于讓學生觀察和思考，又安排學生自己獨立畫一畫、想一想，為后面一系列類似題積累活動經驗，避免了學生的思維定式。

２．經歷以“數”輔“形”，嚴謹、科學體驗

【案例３】在數學教學中，大多是根據圖形的呈現來解決抽象的數學問題，但有時利用“數”來指導“形”，可以使圖形的教學更嚴謹、更科學，學生對圖形的認識會更加全面。

例如在教學完線段和三角形認識后，學生的作業練習中出現了數線段的練習題。

圖３－１ ■

圖３－２ ■

圖３－１出現時，大多數學生都是采用直接數的方法，很快得到答案有３條線段，但圖３－２的線段條數很難直接并正確地數出來。經過學生討論嘗試后，得出了以下兩種有序地數的方法：（１）從左邊的第一個點出發有５條線段，從第二個點出發有４條線段……以此類推。（２）有一條基本線段組成的線段有５條，有兩條基本線段組成的線段有４條……以此類推。

我的思考：學生討論得出的想法真讓人感到驚嘆！他們的方法克服了數線段的繁瑣性，提高了解題的正確率。可見，經常在數學教學中滲透“數形結合”思想，就會在學生的頭腦中播下“數”與“形”密切聯系的種子，學生也就會逐漸體會到它的無窮魅力！

三、領悟數形結合思想，提升數學活動經驗

【案例４】“倍數和因數”一課接近尾聲時，教師設計了這樣一道拓展題：圖４中（家用地板中的一部分）有倍數、因數關系嗎？

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圖４

學生仔細看圖后，得出各種不同的答案：２和９是１８的因數，１８是２和９的倍數；９是房間總長度的因數，房間總長度是９的倍數；２是房間總寬度的因數，房間總寬度是２的倍數……

我的思考：簡單的一道生活中的拓展題，充分讓學生感悟了“數形結合”的數學思想方法，促使學生領悟其精髓，正所謂“潤物細無聲”。在學生充分積累倍數和因數的經驗后及時進行靈活運用，活動經驗的反芻和運用將再次強化、提升了學生的數學活動經驗。

總之，在以后的數學教學中，我們應做個有心人，充分利用“一圖抵百語”的“數形結合”優勢，以“形”的直觀表達數，以“數”的精確研究形，將抽象變具體，把無形變有形，這不僅有利于學生順利、高效地學好數學知識，更有利于學生學習數學興趣的培養、數學活動的積累！

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在平常的數學教學中，我們常常產生這樣的困惑：題目也沒有少講一道，但學生總是停留在模仿解題的水平上，只要題目稍微有些變化，就會不知所措。學生很難形成較強的解決問題的能力，就更談不上創新能力了。其實，細細想來，在平時的教學中，我們經常把教學的著眼點放在了解決難題上，而忽視了隱含在數學知識中的靈魂和精髓——數學思想方法。

在小學階段有意識地向學生滲透一些基本的數學思想方法對數學學科的后續學習，乃至對學生的終身發展都具有十分重要的意義。作為一線教師，該如何滲透好數形結合思想，幫助學生積累數學經驗呢？我有以下幾點想法。

一、直觀形象感受數形結合思想，激活顯化數學活動經驗

【案例１】最近聽了一位教師的“倍數和因數”一課。在設計探尋１２的因數時讓人眼前一亮：他首先幫助學生建立模型，引導學生想“（）×（）＝１２”，在學生找到３、４、２、６、１、１２這幾個因數后，他并沒有直接告訴學生怎樣做到不遺漏、不重復地寫出這些因數，而是出示了一根數軸，如圖１。

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圖１

在數軸中依次成對出現１、１２；２、６；３、４（每一對均用不同顏色圓點標出），學生便能直觀感受到因數的特點，一對對出現，一頭一尾去思考、去尋找，而且每一對數會越來越接近。就在此時，教師點撥，以后在寫因數時，不必畫數軸，可以在心里想。隨即讓學生去嘗試著有序地直接列出１２的因數（１，２，３，４，６，１２）。學生有了這樣的直觀感受，一下子就找準找全了所有的因數。整個教學環節如行云流水般，讓人拍案叫絕！

我的思考：教師精心設計的這一環節，通過數軸將因數的特點形象地表現了出來，幫助學生積累了找因數的經驗。這樣使虛化的經驗看得見、摸得著，實在別出心裁。數軸的使用，使得找一個數的因數從機械的模仿變成形象化的理解。以往我們常常引導學生在做“（）×（）＝１２”時要進行有序的列舉，但學生在練習中卻很難做到不遺漏、不重復，但有了數軸，學生卻能體會到１２的因數肯定在１~１２之間，從而有了一定的范圍，然后體驗到逐步逼近的數學思想，這樣學生領悟得更加深刻。

二、經歷體驗數形結合思想，積累豐富數學活動經驗

１．經歷以“形”助“數”，直觀形象體驗

【案例２】六年級下冊“解決問題的策略——轉化”中有這樣一道題目“■＋■＋■＋■”，常常出現在課堂中的處理是——用通分的方法快速口算完成，至此學生都感覺十分輕松。

隨即變化題目：如果要計算■＋■＋■＋■＋…+■，你還愿意用剛才通分的方法嗎？學生紛紛表示再通分就太繁瑣了。

教師給足學生充分獨立思考的時間后追問：“仔細觀察這題中分數的特點，還有其他轉化方法嗎？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“發現了一些規律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上沒有一個學生會想到畫圖。很多教師在這時都采用了直接呈現圖讓學生觀察得知答案的教學方法。而有位教師很特別，他做了如下處理。

首先是引導學生觀察數據特點，然后逐步出示圖像（如圖２）幫助學生理解。例如一塊正方形地（也可看成一條線段），先把它的■種上菜，再種■，請在圖中表示出種在哪兒？現在有多少地方種上菜了？再種它的■、■。現在一共有多少地方種上菜了？（■）你怎么知道的？

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圖２

再根據圖像引導學生假設添上■就是整體“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

師接著問：“如果繼續再加■、■，會是多少呢？”

學生有了前面的經驗，很快在腦海中勾勒出圖像，并在本子上畫出，很快便能得出相應的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”這樣的題目對于高年級學生來說，再簡單不過了，關鍵是如何老題新解？學生借助自己已有的解題經驗，想出了拆分、找規律等轉化方法，卻怎么也想不到畫圖。假如教師簡單呈現圖像，直接告知學生，那么學生就無法享受到畫圖思考的樂趣了，“數形結合”思想也就蕩然無存。而這位教師獨特的方式讓學生深切感受到了畫圖的魅力，體會到了精巧、簡潔的解題之路。同時教師并沒有停留于讓學生觀察和思考，又安排學生自己獨立畫一畫、想一想，為后面一系列類似題積累活動經驗，避免了學生的思維定式。

２．經歷以“數”輔“形”，嚴謹、科學體驗

【案例３】在數學教學中，大多是根據圖形的呈現來解決抽象的數學問題，但有時利用“數”來指導“形”，可以使圖形的教學更嚴謹、更科學，學生對圖形的認識會更加全面。

例如在教學完線段和三角形認識后，學生的作業練習中出現了數線段的練習題。

圖３－１ ■

圖３－２ ■

圖３－１出現時，大多數學生都是采用直接數的方法，很快得到答案有３條線段，但圖３－２的線段條數很難直接并正確地數出來。經過學生討論嘗試后，得出了以下兩種有序地數的方法：（１）從左邊的第一個點出發有５條線段，從第二個點出發有４條線段……以此類推。（２）有一條基本線段組成的線段有５條，有兩條基本線段組成的線段有４條……以此類推。

我的思考：學生討論得出的想法真讓人感到驚嘆！他們的方法克服了數線段的繁瑣性，提高了解題的正確率。可見，經常在數學教學中滲透“數形結合”思想，就會在學生的頭腦中播下“數”與“形”密切聯系的種子，學生也就會逐漸體會到它的無窮魅力！

三、領悟數形結合思想，提升數學活動經驗

【案例４】“倍數和因數”一課接近尾聲時，教師設計了這樣一道拓展題：圖４中（家用地板中的一部分）有倍數、因數關系嗎？

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圖４

學生仔細看圖后，得出各種不同的答案：２和９是１８的因數，１８是２和９的倍數；９是房間總長度的因數，房間總長度是９的倍數；２是房間總寬度的因數，房間總寬度是２的倍數……

我的思考：簡單的一道生活中的拓展題，充分讓學生感悟了“數形結合”的數學思想方法，促使學生領悟其精髓，正所謂“潤物細無聲”。在學生充分積累倍數和因數的經驗后及時進行靈活運用，活動經驗的反芻和運用將再次強化、提升了學生的數學活動經驗。

總之，在以后的數學教學中，我們應做個有心人，充分利用“一圖抵百語”的“數形結合”優勢，以“形”的直觀表達數，以“數”的精確研究形，將抽象變具體，把無形變有形，這不僅有利于學生順利、高效地學好數學知識，更有利于學生學習數學興趣的培養、數學活動的積累！

（責編金鈴）

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