巧用數(shù)形結(jié)合 培養(yǎng)思維能力

陳彩虹

“數(shù)缺形時(shí)少知覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”這是數(shù)學(xué)家華羅庚先生對(duì)數(shù)形結(jié)合的重要性的形象生動(dòng)概括。數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想，也是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題過程中常用的一種思維方法，可以通過“以形助數(shù)”、“以數(shù)賦形”使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化、形象化、簡單化。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾问褂媒滩膶?duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有效滲透，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的形象性

形象思維又稱直感思維，是指以具體的形象或圖像為思維內(nèi)容的思維形態(tài)。在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)概念具有抽象性，數(shù)量關(guān)系具有復(fù)雜性，這給學(xué)生的理解帶來了困難，但我們可以發(fā)揮圖形的直觀作用，溝通圖形與數(shù)學(xué)語言之間的關(guān)系，使之形象化、直觀化，幫助學(xué)生形象地理解抽象的概念或數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時(shí)，課始先創(chuàng)設(shè)情境：我們學(xué)校暑假期間粉刷了部分教室（出示粉刷墻壁的畫面），裝修工人每小時(shí)粉刷這面墻的■，■小時(shí)可以粉刷這面墻的幾分之幾？

教師采用三步走的策略。

１．學(xué)生操作、交流

師：請(qǐng)大家準(zhǔn)備好一張長方形紙，如果把它看做要粉刷的一面墻，你怎樣表示出它的■呢？（學(xué)生動(dòng)手操作）

師：說說你是怎樣得到的？（把這張紙平均分成５份，涂出其中的一份）涂出的一份表示什么？（１小時(shí)粉刷的面積）

２．小組討論，再次操作

師：剛才我們通過折、量、涂得到了１小時(shí)粉刷墻壁的面積，那么■小時(shí)能刷這面墻的幾分之幾，在此基礎(chǔ)上該如何表示呢？

（學(xué)生討論、匯報(bào)）

師（及時(shí)點(diǎn)撥）：要將已涂出的這一份再平均分成４份，然后涂出其中的１份，這一份就是■小時(shí)粉刷的面積。

師：求■小時(shí)粉刷這面墻的幾分之幾，就是求■的■是多少。

３．課件演示，理解算理

師：根據(jù)涂色的結(jié)果，你能說出■的■是多少嗎？回想一下，你是怎樣得出結(jié)果的？

學(xué)生討論后匯報(bào)交流，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況用多媒體演示涂色過程，并歸納：先把這張紙看作“１”，平均分成５份，１份是這張紙的■，又把涂色部分的■平均分成４份，也就是把這張紙平均分成５×４＝２０份，因此１份就是這張紙的■。

這樣讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)，可以很直觀地得出■的■是■，由此寫出計(jì)算過程：■×■=■＝■。“以數(shù)賦形”，“數(shù)形結(jié)合”的過程，也就是讓學(xué)生看到圖形能聯(lián)想到算式，看到算式就聯(lián)想到圖形，從而理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。

二、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性指思維活動(dòng)的靈活程度。在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)匕褦?shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，可幫助學(xué)生克服思維定式；借助圖形直觀，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽合理的想象，提出符合實(shí)際的解決問題的新設(shè)想、新方案和新方法。

如在教學(xué)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的整理與復(fù)習(xí)中，設(shè)計(jì)了題目：

根據(jù)給出的線段圖，你能聯(lián)想到哪些分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)、比。

■

學(xué)生充分想象后，匯報(bào)整理如下：

（１）男生占全班人數(shù)的■（６０％）；

（２）女生占全班人數(shù)的■（４０％）；

（３）男生人數(shù)相當(dāng)于女生人數(shù)的■（１５０％）；

（４）女生人數(shù)相當(dāng)于男生人數(shù)的■；

（５）女生人數(shù)比男生人數(shù)少■；

（６）男生人數(shù)比女生人數(shù)多■（５０％）；

（７）女生與男生人數(shù)的比是２∶３，男生與女生人數(shù)的比是３∶２；

（８）男生與全班人數(shù)的比是３∶５，女生與全班人數(shù)的比是２∶５；

……

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合想到的分?jǐn)?shù)給題目補(bǔ)充一個(gè)條件，再用不同的方法解決下面問題：

（１）六（５）班有學(xué)生４０人，。六（５）班男女生各有多少人？

（２）六（５）班有男生２４人，。六（５）班有女生多少人？

……

任何思維，不論是多么抽象，多么理論，都是從分析材料開始的。因此，教師借助一條線段圖，“以形助數(shù)”，通過讓學(xué)生在想象、設(shè)計(jì)、計(jì)算等活動(dòng)中找到了知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，不僅讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握了知識(shí)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

三、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

學(xué)生的創(chuàng)造性思維是指在解決問題的過程中，能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題，善于做出與眾不同、富有創(chuàng)見的設(shè)想和別出心裁解決問題的方法的思維方式。在教學(xué)中，教師要選用合適的題目，通過數(shù)形結(jié)合，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生創(chuàng)造的沖動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。

如在教學(xué)“圓的面積”的公式推導(dǎo)時(shí)，先要求學(xué)生拿出事先分割成１６等份的圓形紙片，運(yùn)用割補(bǔ)、拼湊、轉(zhuǎn)化等方法，把手中１６等份的圓形紙片轉(zhuǎn)化成已學(xué)的圖形，并寫出計(jì)算方法。學(xué)生動(dòng)手的興致很高，有的學(xué)生擺出類似課本例題的長方形，得出長方形的長是■，高是ｒ，面積是Ｓ＝■×ｒ。有的卻擺出三角形、梯形和平行四邊形，如下圖：

■

學(xué)生思維活躍，方法各異，最后都簡化得出面積運(yùn)算公式。可見，通過數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生積極動(dòng)手操作，不僅能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，而且有助于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

四、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

發(fā)散思維是學(xué)生思維能力的核心。發(fā)散思維具有流暢、變通、獨(dú)特三個(gè)特點(diǎn)，它要求學(xué)生在思維活動(dòng)中靈活迅速、觸類旁通、隨機(jī)應(yīng)變，不限于某一方面，不受消極思維定式的束縛，能夠從前所未有的角度和觀念去認(rèn)識(shí)事物、反映事物，從而產(chǎn)生超常的構(gòu)想，提出獨(dú)特的見解。因此我們教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，洞察每一個(gè)研究對(duì)象的實(shí)質(zhì)，以及揭示這些對(duì)象之間的相互關(guān)系，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生從不同角度去分析、去思考，尋求不同的解題策略。

例如在教學(xué)長方體的體積公式時(shí)，我組織學(xué)生進(jìn)行了三次實(shí)踐活動(dòng)。

第一次活動(dòng)，用１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體擺一個(gè)任意的長方體。（如下圖）

■

引導(dǎo)學(xué)生初步感知長方體體積與它的長、寬、高的關(guān)系。一方面，這一活動(dòng)具有較強(qiáng)的開放性，只要求學(xué)生用１厘米的小正方體擺一個(gè)長方體，沒有規(guī)定怎樣擺，擺什么樣的長方體，充分體現(xiàn)了學(xué)生活動(dòng)的自主性，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維。另一方面，在擺完后讓學(xué)生充分地進(jìn)行交流，既有利于進(jìn)一步的比較與分析，還可以啟發(fā)學(xué)生把長方體的體積與它的長、寬、高聯(lián)系起來，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

第二次活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生仍用這１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體，憑借想象，擺出一個(gè)比１２立方厘米大的長方體。這時(shí)給出一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問題激發(fā)學(xué)生的好奇心與疑問：能擺出這樣的長方體嗎？學(xué)生個(gè)個(gè)躍躍欲試，小組內(nèi)同學(xué)相互交流，互相啟發(fā)，嘗試擺出了許多不同的圖形：

■

學(xué)生的思維火花在操作與交流中迸發(fā)，學(xué)生的發(fā)散思維和空間想象能力也得到了發(fā)展。

第三次活動(dòng)，讓學(xué)生用這１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體再擺一個(gè)體積更大的虛擬的長方體，這時(shí)學(xué)生已不再困惑，擺出圖形：

這時(shí)，教師及時(shí)在電腦上演示，使學(xué)生對(duì)長方體的體積和它的長、寬、高之間的關(guān)系有了一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)。

最后，教師出示一個(gè)長方體圖形：

讓學(xué)生計(jì)算它的體積。學(xué)生根據(jù)給出的圖形，結(jié)合前面的操作活動(dòng)，很快算出體積：８×４×５＝１６０立方厘米。

通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生對(duì)長方體里含有的體積單位數(shù)正好是它的長、寬、高的乘積有了一個(gè)清晰的理解，真正做到知其然又知其所以然。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域，只要我們根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)男蜗髨D形，將抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系具體化，無形的解題思路形象化，就有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

（責(zé)編金鈴）

endprint

“數(shù)缺形時(shí)少知覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”這是數(shù)學(xué)家華羅庚先生對(duì)數(shù)形結(jié)合的重要性的形象生動(dòng)概括。數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想，也是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題過程中常用的一種思維方法，可以通過“以形助數(shù)”、“以數(shù)賦形”使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化、形象化、簡單化。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾问褂媒滩膶?duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有效滲透，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的形象性

形象思維又稱直感思維，是指以具體的形象或圖像為思維內(nèi)容的思維形態(tài)。在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)概念具有抽象性，數(shù)量關(guān)系具有復(fù)雜性，這給學(xué)生的理解帶來了困難，但我們可以發(fā)揮圖形的直觀作用，溝通圖形與數(shù)學(xué)語言之間的關(guān)系，使之形象化、直觀化，幫助學(xué)生形象地理解抽象的概念或數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時(shí)，課始先創(chuàng)設(shè)情境：我們學(xué)校暑假期間粉刷了部分教室（出示粉刷墻壁的畫面），裝修工人每小時(shí)粉刷這面墻的■，■小時(shí)可以粉刷這面墻的幾分之幾？

教師采用三步走的策略。

１．學(xué)生操作、交流

師：請(qǐng)大家準(zhǔn)備好一張長方形紙，如果把它看做要粉刷的一面墻，你怎樣表示出它的■呢？（學(xué)生動(dòng)手操作）

師：說說你是怎樣得到的？（把這張紙平均分成５份，涂出其中的一份）涂出的一份表示什么？（１小時(shí)粉刷的面積）

２．小組討論，再次操作

師：剛才我們通過折、量、涂得到了１小時(shí)粉刷墻壁的面積，那么■小時(shí)能刷這面墻的幾分之幾，在此基礎(chǔ)上該如何表示呢？

（學(xué)生討論、匯報(bào)）

師（及時(shí)點(diǎn)撥）：要將已涂出的這一份再平均分成４份，然后涂出其中的１份，這一份就是■小時(shí)粉刷的面積。

師：求■小時(shí)粉刷這面墻的幾分之幾，就是求■的■是多少。

３．課件演示，理解算理

師：根據(jù)涂色的結(jié)果，你能說出■的■是多少嗎？回想一下，你是怎樣得出結(jié)果的？

學(xué)生討論后匯報(bào)交流，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況用多媒體演示涂色過程，并歸納：先把這張紙看作“１”，平均分成５份，１份是這張紙的■，又把涂色部分的■平均分成４份，也就是把這張紙平均分成５×４＝２０份，因此１份就是這張紙的■。

這樣讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)，可以很直觀地得出■的■是■，由此寫出計(jì)算過程：■×■=■＝■。“以數(shù)賦形”，“數(shù)形結(jié)合”的過程，也就是讓學(xué)生看到圖形能聯(lián)想到算式，看到算式就聯(lián)想到圖形，從而理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。

二、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性指思維活動(dòng)的靈活程度。在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)匕褦?shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，可幫助學(xué)生克服思維定式；借助圖形直觀，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽合理的想象，提出符合實(shí)際的解決問題的新設(shè)想、新方案和新方法。

如在教學(xué)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的整理與復(fù)習(xí)中，設(shè)計(jì)了題目：

根據(jù)給出的線段圖，你能聯(lián)想到哪些分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)、比。

■

學(xué)生充分想象后，匯報(bào)整理如下：

（１）男生占全班人數(shù)的■（６０％）；

（２）女生占全班人數(shù)的■（４０％）；

（３）男生人數(shù)相當(dāng)于女生人數(shù)的■（１５０％）；

（４）女生人數(shù)相當(dāng)于男生人數(shù)的■；

（５）女生人數(shù)比男生人數(shù)少■；

（６）男生人數(shù)比女生人數(shù)多■（５０％）；

（７）女生與男生人數(shù)的比是２∶３，男生與女生人數(shù)的比是３∶２；

（８）男生與全班人數(shù)的比是３∶５，女生與全班人數(shù)的比是２∶５；

……

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合想到的分?jǐn)?shù)給題目補(bǔ)充一個(gè)條件，再用不同的方法解決下面問題：

（１）六（５）班有學(xué)生４０人，。六（５）班男女生各有多少人？

（２）六（５）班有男生２４人，。六（５）班有女生多少人？

……

任何思維，不論是多么抽象，多么理論，都是從分析材料開始的。因此，教師借助一條線段圖，“以形助數(shù)”，通過讓學(xué)生在想象、設(shè)計(jì)、計(jì)算等活動(dòng)中找到了知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，不僅讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握了知識(shí)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

三、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

學(xué)生的創(chuàng)造性思維是指在解決問題的過程中，能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題，善于做出與眾不同、富有創(chuàng)見的設(shè)想和別出心裁解決問題的方法的思維方式。在教學(xué)中，教師要選用合適的題目，通過數(shù)形結(jié)合，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生創(chuàng)造的沖動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。

如在教學(xué)“圓的面積”的公式推導(dǎo)時(shí)，先要求學(xué)生拿出事先分割成１６等份的圓形紙片，運(yùn)用割補(bǔ)、拼湊、轉(zhuǎn)化等方法，把手中１６等份的圓形紙片轉(zhuǎn)化成已學(xué)的圖形，并寫出計(jì)算方法。學(xué)生動(dòng)手的興致很高，有的學(xué)生擺出類似課本例題的長方形，得出長方形的長是■，高是ｒ，面積是Ｓ＝■×ｒ。有的卻擺出三角形、梯形和平行四邊形，如下圖：

■

學(xué)生思維活躍，方法各異，最后都簡化得出面積運(yùn)算公式。可見，通過數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生積極動(dòng)手操作，不僅能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，而且有助于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

四、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

發(fā)散思維是學(xué)生思維能力的核心。發(fā)散思維具有流暢、變通、獨(dú)特三個(gè)特點(diǎn)，它要求學(xué)生在思維活動(dòng)中靈活迅速、觸類旁通、隨機(jī)應(yīng)變，不限于某一方面，不受消極思維定式的束縛，能夠從前所未有的角度和觀念去認(rèn)識(shí)事物、反映事物，從而產(chǎn)生超常的構(gòu)想，提出獨(dú)特的見解。因此我們教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，洞察每一個(gè)研究對(duì)象的實(shí)質(zhì)，以及揭示這些對(duì)象之間的相互關(guān)系，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生從不同角度去分析、去思考，尋求不同的解題策略。

例如在教學(xué)長方體的體積公式時(shí)，我組織學(xué)生進(jìn)行了三次實(shí)踐活動(dòng)。

第一次活動(dòng)，用１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體擺一個(gè)任意的長方體。（如下圖）

■

引導(dǎo)學(xué)生初步感知長方體體積與它的長、寬、高的關(guān)系。一方面，這一活動(dòng)具有較強(qiáng)的開放性，只要求學(xué)生用１厘米的小正方體擺一個(gè)長方體，沒有規(guī)定怎樣擺，擺什么樣的長方體，充分體現(xiàn)了學(xué)生活動(dòng)的自主性，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維。另一方面，在擺完后讓學(xué)生充分地進(jìn)行交流，既有利于進(jìn)一步的比較與分析，還可以啟發(fā)學(xué)生把長方體的體積與它的長、寬、高聯(lián)系起來，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

第二次活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生仍用這１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體，憑借想象，擺出一個(gè)比１２立方厘米大的長方體。這時(shí)給出一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問題激發(fā)學(xué)生的好奇心與疑問：能擺出這樣的長方體嗎？學(xué)生個(gè)個(gè)躍躍欲試，小組內(nèi)同學(xué)相互交流，互相啟發(fā)，嘗試擺出了許多不同的圖形：

■

學(xué)生的思維火花在操作與交流中迸發(fā)，學(xué)生的發(fā)散思維和空間想象能力也得到了發(fā)展。

第三次活動(dòng)，讓學(xué)生用這１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體再擺一個(gè)體積更大的虛擬的長方體，這時(shí)學(xué)生已不再困惑，擺出圖形：

這時(shí)，教師及時(shí)在電腦上演示，使學(xué)生對(duì)長方體的體積和它的長、寬、高之間的關(guān)系有了一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)。

最后，教師出示一個(gè)長方體圖形：

讓學(xué)生計(jì)算它的體積。學(xué)生根據(jù)給出的圖形，結(jié)合前面的操作活動(dòng)，很快算出體積：８×４×５＝１６０立方厘米。

通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生對(duì)長方體里含有的體積單位數(shù)正好是它的長、寬、高的乘積有了一個(gè)清晰的理解，真正做到知其然又知其所以然。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域，只要我們根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)男蜗髨D形，將抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系具體化，無形的解題思路形象化，就有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

（責(zé)編金鈴）

endprint

“數(shù)缺形時(shí)少知覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”這是數(shù)學(xué)家華羅庚先生對(duì)數(shù)形結(jié)合的重要性的形象生動(dòng)概括。數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想，也是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題過程中常用的一種思維方法，可以通過“以形助數(shù)”、“以數(shù)賦形”使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化、形象化、簡單化。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾问褂媒滩膶?duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有效滲透，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的形象性

形象思維又稱直感思維，是指以具體的形象或圖像為思維內(nèi)容的思維形態(tài)。在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)概念具有抽象性，數(shù)量關(guān)系具有復(fù)雜性，這給學(xué)生的理解帶來了困難，但我們可以發(fā)揮圖形的直觀作用，溝通圖形與數(shù)學(xué)語言之間的關(guān)系，使之形象化、直觀化，幫助學(xué)生形象地理解抽象的概念或數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時(shí)，課始先創(chuàng)設(shè)情境：我們學(xué)校暑假期間粉刷了部分教室（出示粉刷墻壁的畫面），裝修工人每小時(shí)粉刷這面墻的■，■小時(shí)可以粉刷這面墻的幾分之幾？

教師采用三步走的策略。

１．學(xué)生操作、交流

師：請(qǐng)大家準(zhǔn)備好一張長方形紙，如果把它看做要粉刷的一面墻，你怎樣表示出它的■呢？（學(xué)生動(dòng)手操作）

師：說說你是怎樣得到的？（把這張紙平均分成５份，涂出其中的一份）涂出的一份表示什么？（１小時(shí)粉刷的面積）

２．小組討論，再次操作

師：剛才我們通過折、量、涂得到了１小時(shí)粉刷墻壁的面積，那么■小時(shí)能刷這面墻的幾分之幾，在此基礎(chǔ)上該如何表示呢？

（學(xué)生討論、匯報(bào)）

師（及時(shí)點(diǎn)撥）：要將已涂出的這一份再平均分成４份，然后涂出其中的１份，這一份就是■小時(shí)粉刷的面積。

師：求■小時(shí)粉刷這面墻的幾分之幾，就是求■的■是多少。

３．課件演示，理解算理

師：根據(jù)涂色的結(jié)果，你能說出■的■是多少嗎？回想一下，你是怎樣得出結(jié)果的？

學(xué)生討論后匯報(bào)交流，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況用多媒體演示涂色過程，并歸納：先把這張紙看作“１”，平均分成５份，１份是這張紙的■，又把涂色部分的■平均分成４份，也就是把這張紙平均分成５×４＝２０份，因此１份就是這張紙的■。

這樣讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)，可以很直觀地得出■的■是■，由此寫出計(jì)算過程：■×■=■＝■。“以數(shù)賦形”，“數(shù)形結(jié)合”的過程，也就是讓學(xué)生看到圖形能聯(lián)想到算式，看到算式就聯(lián)想到圖形，從而理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。

二、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性指思維活動(dòng)的靈活程度。在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)匕褦?shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，可幫助學(xué)生克服思維定式；借助圖形直觀，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽合理的想象，提出符合實(shí)際的解決問題的新設(shè)想、新方案和新方法。

如在教學(xué)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的整理與復(fù)習(xí)中，設(shè)計(jì)了題目：

根據(jù)給出的線段圖，你能聯(lián)想到哪些分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)、比。

■

學(xué)生充分想象后，匯報(bào)整理如下：

（１）男生占全班人數(shù)的■（６０％）；

（２）女生占全班人數(shù)的■（４０％）；

（３）男生人數(shù)相當(dāng)于女生人數(shù)的■（１５０％）；

（４）女生人數(shù)相當(dāng)于男生人數(shù)的■；

（５）女生人數(shù)比男生人數(shù)少■；

（６）男生人數(shù)比女生人數(shù)多■（５０％）；

（７）女生與男生人數(shù)的比是２∶３，男生與女生人數(shù)的比是３∶２；

（８）男生與全班人數(shù)的比是３∶５，女生與全班人數(shù)的比是２∶５；

……

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合想到的分?jǐn)?shù)給題目補(bǔ)充一個(gè)條件，再用不同的方法解決下面問題：

（１）六（５）班有學(xué)生４０人，。六（５）班男女生各有多少人？

（２）六（５）班有男生２４人，。六（５）班有女生多少人？

……

任何思維，不論是多么抽象，多么理論，都是從分析材料開始的。因此，教師借助一條線段圖，“以形助數(shù)”，通過讓學(xué)生在想象、設(shè)計(jì)、計(jì)算等活動(dòng)中找到了知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，不僅讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握了知識(shí)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

三、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

學(xué)生的創(chuàng)造性思維是指在解決問題的過程中，能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題，善于做出與眾不同、富有創(chuàng)見的設(shè)想和別出心裁解決問題的方法的思維方式。在教學(xué)中，教師要選用合適的題目，通過數(shù)形結(jié)合，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生創(chuàng)造的沖動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。

如在教學(xué)“圓的面積”的公式推導(dǎo)時(shí)，先要求學(xué)生拿出事先分割成１６等份的圓形紙片，運(yùn)用割補(bǔ)、拼湊、轉(zhuǎn)化等方法，把手中１６等份的圓形紙片轉(zhuǎn)化成已學(xué)的圖形，并寫出計(jì)算方法。學(xué)生動(dòng)手的興致很高，有的學(xué)生擺出類似課本例題的長方形，得出長方形的長是■，高是ｒ，面積是Ｓ＝■×ｒ。有的卻擺出三角形、梯形和平行四邊形，如下圖：

■

學(xué)生思維活躍，方法各異，最后都簡化得出面積運(yùn)算公式。可見，通過數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生積極動(dòng)手操作，不僅能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，而且有助于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

四、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

發(fā)散思維是學(xué)生思維能力的核心。發(fā)散思維具有流暢、變通、獨(dú)特三個(gè)特點(diǎn)，它要求學(xué)生在思維活動(dòng)中靈活迅速、觸類旁通、隨機(jī)應(yīng)變，不限于某一方面，不受消極思維定式的束縛，能夠從前所未有的角度和觀念去認(rèn)識(shí)事物、反映事物，從而產(chǎn)生超常的構(gòu)想，提出獨(dú)特的見解。因此我們教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，洞察每一個(gè)研究對(duì)象的實(shí)質(zhì)，以及揭示這些對(duì)象之間的相互關(guān)系，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生從不同角度去分析、去思考，尋求不同的解題策略。

例如在教學(xué)長方體的體積公式時(shí)，我組織學(xué)生進(jìn)行了三次實(shí)踐活動(dòng)。

第一次活動(dòng)，用１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體擺一個(gè)任意的長方體。（如下圖）

■

引導(dǎo)學(xué)生初步感知長方體體積與它的長、寬、高的關(guān)系。一方面，這一活動(dòng)具有較強(qiáng)的開放性，只要求學(xué)生用１厘米的小正方體擺一個(gè)長方體，沒有規(guī)定怎樣擺，擺什么樣的長方體，充分體現(xiàn)了學(xué)生活動(dòng)的自主性，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維。另一方面，在擺完后讓學(xué)生充分地進(jìn)行交流，既有利于進(jìn)一步的比較與分析，還可以啟發(fā)學(xué)生把長方體的體積與它的長、寬、高聯(lián)系起來，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

第二次活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生仍用這１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體，憑借想象，擺出一個(gè)比１２立方厘米大的長方體。這時(shí)給出一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問題激發(fā)學(xué)生的好奇心與疑問：能擺出這樣的長方體嗎？學(xué)生個(gè)個(gè)躍躍欲試，小組內(nèi)同學(xué)相互交流，互相啟發(fā)，嘗試擺出了許多不同的圖形：

■

學(xué)生的思維火花在操作與交流中迸發(fā)，學(xué)生的發(fā)散思維和空間想象能力也得到了發(fā)展。

第三次活動(dòng)，讓學(xué)生用這１２個(gè)棱長為１厘米的小正方體再擺一個(gè)體積更大的虛擬的長方體，這時(shí)學(xué)生已不再困惑，擺出圖形：

這時(shí)，教師及時(shí)在電腦上演示，使學(xué)生對(duì)長方體的體積和它的長、寬、高之間的關(guān)系有了一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)。

最后，教師出示一個(gè)長方體圖形：

讓學(xué)生計(jì)算它的體積。學(xué)生根據(jù)給出的圖形，結(jié)合前面的操作活動(dòng)，很快算出體積：８×４×５＝１６０立方厘米。

通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生對(duì)長方體里含有的體積單位數(shù)正好是它的長、寬、高的乘積有了一個(gè)清晰的理解，真正做到知其然又知其所以然。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域，只要我們根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)男蜗髨D形，將抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系具體化，無形的解題思路形象化，就有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

（責(zé)編金鈴）

endprint