明本質 念舊知

俞新龍

同學們在做2014年高考題時，應該從解法上去尋找對我們解題有幫助的收獲.

一、對解法要有本質的認識

為便于問題的說明，先給出2014年高考全國卷（新課標1）理科第21題及參考解法如下：

全國1高考題：設函數f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2. （1）求a，b；（2）證明：f（x）>1.

參考解法：（1）函數f（x）的定義域為（0， +∞）， f′（x）=aexlnx++，由題意得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.

（2）由（1）知f（x）=exlnx+，從而f（x）>1等價于xlnx>-.

設函數g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，

所以當x∈（0， ）時，g′（x）<0，

當x∈（，+∞）時，g′（x）>0，

故g（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（）=-.

設函數h（x）=-， 則h′（x）=， 所以當x∈（0，1）時， h′（x）>0，

當x∈（1，+∞）時，h′（x）<0，故h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-.

綜上，當x>0時，g（x）>h（x），即f（x）>1.

本質認識：在第（2）問中是通過證明g（x）的最小值大于h（x）的最大值來證明xlnx>-，從而證明f（x）>1.這里很顯然就產生了一個問題：g（x）>1的最小值大于h（x）的最大值一定會有g（x）>h（x）成立，但g（x）>h（x）成立并不一定會有、也并不一定需要g（x）的最小值大于h（x）的最大值，實際上只需g（x）-h（x）>0即可.由此可見，課標卷的參考解法是在增強了問題的條件下（即高要求）都成立，那么原問題當然也成立.下面我們通過2014年高考山東卷理科15題的兩種解法對比來理解上述產生的問題.

山東高考題：已知函數y=f（x）（x∈R），對函數y=g（x）（x∈I），定義g（x）關于f（x）的“對稱函數”為函數y=h（x）（x∈D），y=h（x）滿足：對任意x∈I，兩個點（x，h（x）），（x，g（x））關于點（x，f（x））對稱.若h（x）是關于f（x）=3x+b的“對稱函數”，且h（x）>g（x）恒成立，則實數b的取值范圍是________.

解析：由對稱函數的定義得h（x）=6x+2b-，所以

h（x）>g（x）可化為3x+b>，若按照全國卷的理解則應該有3x+b的最小值b-6大于的最大值2，故得到錯解b>8.而事實上，我們可以從幾何意義即數形結合形象直觀的得到正確答案：

3x+b>成立，即直線y=3x+b與半圓y=（即x2+y2=4（y≥0））相離（如圖1所示），所以>2，b>2.

一般地，通常將條件g（x）>h（x）轉化為g（x）-h（x）>0進行求解，下面我們以2014年高考福建理科第20（2）題為例來講解.

福建高考題：已知函數f（x）=ex-ax（a為常數）的圖像與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為-1.證明：當x>0時，x2

解析：因為A（0，1），所以由f′（0）=e0-a=-1得a=2，故f（x）=ex-2x.由f′（x）=ex-2知f（x）在（-∞，ln2）遞減，（ln2，+∞）遞增，故f（x）有最小值即為極小值f（ln2）=2-2ln2>0.

記g（x）=x2-ex，則g′（x）=2x-ex=-f（x）<0，所以g（x）是減函數，則當x>0時，g（x）

類似地問題實際上有一個系列：

（1）若對任意的x∈D，使得f（x）≥g（x）成立?對任意的x∈D，f（x）-g（x）≥0恒成立；

（2）若對任意的x1，x2∈D，使得f（x1）≥g（x2）成立?f（x）的最小值≥g（x）的最大值；

（3）若對任意的x1∈D，必存在x2∈D，使得g（x2）=

f（x1）成立?f（x）的值域?g（x）的值域；

（4）若對至少存在一個x0∈D，使得f（x0）≥g（x0）成立?

f（x）-g（x）>0在D內有解.

下面給出相應的習題供同學們練習鞏固.

1. 已知函數f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.若對任意的x∈[1，e]（e為自然對數的底數），使得f（x）≥g（x）成立，求實數a的取值范圍.（參考答案：a≥）

2. 已知函數f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.若對任意的x1，x2∈[1，e]（e為自然對數的底數），使得f（x1）≥g（x2）成立，求實數a的取值范圍.（參考答案：a≥）

3. 已知函數f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.若對任意的x1∈[1，e]（e為自然對數的底數），必存在x2∈[1，e]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實數a的取值范圍.（參考答案：0

4. 已知函數f（x）=x+，g（x）=x+lnx，若在[1，e]（e為自然對數的底數）上至少存在一點x0，使得f（x0）>g（x0）成立，求實數a的取值范圍.（參考答案：（-∞，0）∪（0，+∞））

二、對初中所學知識需要重視：以一元二次解高考題為例

初中所學的知識對高考解題也有十分重要的幫助作用，有時甚至初中知識就能解高考題.下面舉例用一元二次方程有解和最值關系解高考題.

2014年高考全國卷（新課標2）理科第16題：設點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是_________.

解析：如圖2，從數形結合的角度考慮.過點M作圓O的切線MN′，切點為N′，連ON′，則∠OMN′≥45°，所以│OM│≤，故x2

0+1≤2，-1≤x0≤1.

這種解法需要能發現∠OMN′≥45°并建立關系解題，而實際上我們完全可以在△OMN中利用余弦定理得ON2=OM2+MN2-2OM·MNcos∠OMN，整理得MN2-+x2

0=0，因為MN有解，所以方程判別式△=2x2

0+2-4x2

0≥0，解得-1≤x0≤1.

應該說這種解法比較好理解.下面我們繼續來用一元二次有解解高考題.

2014年高考浙江文科第16題：已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是__________.

解析：下面先看不等式解法：因為b+c=-a，所以1-a2=b2+c2=（b+c）2-2bc=a2-2bc，則2a2-1=2bc≤b2+c2=1-a2，所以a2≤，解得-≤a≤，故a的最大值是.

從解答過程看變化過程有一定難度，而用一元二次方程有解來解則簡潔多了，請看：因為a2+（a+c）2+c2=1，整理得關于c的方程2c2+2ac+2a2-1=0有解，所以判別式△=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，故a的最大值是.

2014年高考浙江文科第9題：設θ為兩個非零向量，的夾角，已知對任意實數t，│+t│的最小值為1（ ）

A. 若θ確定，則││唯一確定

B. 若θ確定，則││唯一確定

C. 若││確定，則θ唯一確定

D. 若││確定，則θ唯一確定

解析：因為關于t的二次函數| +t |2=[][2]t2+2·t+[][2]最小值1，所以=[][2]-[][2]cos2θ=[][2]sin2θ=1，則| |=，所以若θ確定，則 | | 唯一確定，選B.

這里僅用一元二次函數的最值關系就解決了問題，下面我們繼續用相同的方法來解

2014年高考浙江理科第17題：如圖3，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是__________.（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）

解析：過點P作PD⊥BC于點D，設CD=x，則PD=x.在Rt△ABC中，AB=15，AC=25，則BC=20，故BD=（20-x），所以AD==，由題意知θ=∠PAD，所以在Rt△PAD中tanθ====，從而當=，即x=時，tanθ取得最大值為=.

每年的高考題是值得我們復習中好好利用的，但在做題中不能僅止于“做出”，也要注意對解法的反思理解，最好能找出一些規律性的知識，從而達到舉一反三，只有這樣才能發揮這些高考題的最大作用.

（作者單位：浙江省紹興越崎中學）

責任編校 徐國堅endprint

2014年高考全國卷（新課標2）理科第16題：設點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是_________.

解析：如圖2，從數形結合的角度考慮.過點M作圓O的切線MN′，切點為N′，連ON′，則∠OMN′≥45°，所以│OM│≤，故x2

0+1≤2，-1≤x0≤1.

這種解法需要能發現∠OMN′≥45°并建立關系解題，而實際上我們完全可以在△OMN中利用余弦定理得ON2=OM2+MN2-2OM·MNcos∠OMN，整理得MN2-+x2

0=0，因為MN有解，所以方程判別式△=2x2

0+2-4x2

0≥0，解得-1≤x0≤1.

應該說這種解法比較好理解.下面我們繼續來用一元二次有解解高考題.

2014年高考浙江文科第16題：已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是__________.

解析：下面先看不等式解法：因為b+c=-a，所以1-a2=b2+c2=（b+c）2-2bc=a2-2bc，則2a2-1=2bc≤b2+c2=1-a2，所以a2≤，解得-≤a≤，故a的最大值是.

從解答過程看變化過程有一定難度，而用一元二次方程有解來解則簡潔多了，請看：因為a2+（a+c）2+c2=1，整理得關于c的方程2c2+2ac+2a2-1=0有解，所以判別式△=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，故a的最大值是.

2014年高考浙江文科第9題：設θ為兩個非零向量，的夾角，已知對任意實數t，│+t│的最小值為1（ ）

A. 若θ確定，則││唯一確定

B. 若θ確定，則││唯一確定

C. 若││確定，則θ唯一確定

D. 若││確定，則θ唯一確定

解析：因為關于t的二次函數| +t |2=[][2]t2+2·t+[][2]最小值1，所以=[][2]-[][2]cos2θ=[][2]sin2θ=1，則| |=，所以若θ確定，則 | | 唯一確定，選B.

這里僅用一元二次函數的最值關系就解決了問題，下面我們繼續用相同的方法來解

2014年高考浙江理科第17題：如圖3，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是__________.（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）

解析：過點P作PD⊥BC于點D，設CD=x，則PD=x.在Rt△ABC中，AB=15，AC=25，則BC=20，故BD=（20-x），所以AD==，由題意知θ=∠PAD，所以在Rt△PAD中tanθ====，從而當=，即x=時，tanθ取得最大值為=.

每年的高考題是值得我們復習中好好利用的，但在做題中不能僅止于“做出”，也要注意對解法的反思理解，最好能找出一些規律性的知識，從而達到舉一反三，只有這樣才能發揮這些高考題的最大作用.

（作者單位：浙江省紹興越崎中學）

責任編校 徐國堅endprint

2014年高考全國卷（新課標2）理科第16題：設點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是_________.

解析：如圖2，從數形結合的角度考慮.過點M作圓O的切線MN′，切點為N′，連ON′，則∠OMN′≥45°，所以│OM│≤，故x2

0+1≤2，-1≤x0≤1.

這種解法需要能發現∠OMN′≥45°并建立關系解題，而實際上我們完全可以在△OMN中利用余弦定理得ON2=OM2+MN2-2OM·MNcos∠OMN，整理得MN2-+x2

0=0，因為MN有解，所以方程判別式△=2x2

0+2-4x2

0≥0，解得-1≤x0≤1.

應該說這種解法比較好理解.下面我們繼續來用一元二次有解解高考題.

2014年高考浙江文科第16題：已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是__________.

解析：下面先看不等式解法：因為b+c=-a，所以1-a2=b2+c2=（b+c）2-2bc=a2-2bc，則2a2-1=2bc≤b2+c2=1-a2，所以a2≤，解得-≤a≤，故a的最大值是.

從解答過程看變化過程有一定難度，而用一元二次方程有解來解則簡潔多了，請看：因為a2+（a+c）2+c2=1，整理得關于c的方程2c2+2ac+2a2-1=0有解，所以判別式△=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，故a的最大值是.

2014年高考浙江文科第9題：設θ為兩個非零向量，的夾角，已知對任意實數t，│+t│的最小值為1（ ）

A. 若θ確定，則││唯一確定

B. 若θ確定，則││唯一確定

C. 若││確定，則θ唯一確定

D. 若││確定，則θ唯一確定

解析：因為關于t的二次函數| +t |2=[][2]t2+2·t+[][2]最小值1，所以=[][2]-[][2]cos2θ=[][2]sin2θ=1，則| |=，所以若θ確定，則 | | 唯一確定，選B.

這里僅用一元二次函數的最值關系就解決了問題，下面我們繼續用相同的方法來解

2014年高考浙江理科第17題：如圖3，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是__________.（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）

解析：過點P作PD⊥BC于點D，設CD=x，則PD=x.在Rt△ABC中，AB=15，AC=25，則BC=20，故BD=（20-x），所以AD==，由題意知θ=∠PAD，所以在Rt△PAD中tanθ====，從而當=，即x=時，tanθ取得最大值為=.

每年的高考題是值得我們復習中好好利用的，但在做題中不能僅止于“做出”，也要注意對解法的反思理解，最好能找出一些規律性的知識，從而達到舉一反三，只有這樣才能發揮這些高考題的最大作用.

（作者單位：浙江省紹興越崎中學）

責任編校 徐國堅endprint